Загрузка

Показательные неравенства

Не имеют решений неравенства:

  1. $$5^{-x}\geq 0$$;
  2. $$5^x\leq 0$$;
  3. $$5^x> -1$$;
  4. $$5^x\leq -1$$;
  5. $$5^x< 0,5$$.

Показательной называют функцию вида $$y=a^x$$, где $$a>0$$ и $$a\neq 1$$.

$$D(f):x\in R$$; $$E(f): y\in (0;+\infty )$$.

  1. Неравенство $$5^{-x}\geq 0$$ имеет решения, так как выполняется условие $$5^{-x}>0$$.
  2. Неравенство $$5^x\leq 0$$ не имеет решений, так как $$5^x>0$$.
  3. Неравенство $$5^x> -1$$ имеет решения, так как любое положительное число всегда больше отрицательного.
  4. Неравенство $$5^x\leq -1$$ не имеет решений, так как положительное число не может быть меньше отрицательного.

  5. Неравенство $$5^x< 0,5$$ имеет решения, так как найдутся положительные числа, которые меньше числа $$0,5$$.

    Следовательно, не имеют решений неравенства $$2$$ и $$4$$.

Неравенство $$a^{f(x)}\geq b$$ имеет решения при любом значении числа $$b$$, а неравенство $$a^{f(x)}\leq b$$ – только при $$b>0$$.

Выберите один из вариантов

Наибольшее целое решение неравенства $$0,2^x< 0,2^{2x+3}$$ равно:

Если неравенство имеет вид $$a^{f(x)}< a^{g(x)}$$ $$(\leq ,> ,\geq )$$, то при $$0 < a < 1$$ получим $$f(x)>g(x)$$.

Так как $$0,2<1$$, то $$x>2x+3$$, $$-3>x$$, $$x<-3$$.

Наибольшее целое решение неравенства равно $$-4$$.

Знак неравенства $$0,2^x<0,2^{2x+3}$$ заменили на противоположный по смыслу: $$x>2x+3$$.

Выберите один из вариантов

Решение неравенства $$2^{x^2+1}\leq 4^x$$ имеет вид:

  1. Если неравенство имеет вид $$a^{f(x)} < g^{f(x)}$$ $$(\leq ,> ,\geq )$$, то при $${a} > 1$$, получим $$f(x) < g(x)$$.
  2. Свойство степеней: $${(a^n)}^m=a^{nm}$$.
  3. Формула квадрата суммы (разности): $$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.

Запишем неравенство в виде: $$2^{x^2+1}\leq 2^{2x}$$.

Так как $$2>1$$, то $$x^2+1\leq 2x$$, $$x^2-2x+1\leq 0$$, $$(x-1)^2\leq 0$$, откуда $$x=1$$.

Неравенство $$(x-a)^2\geq 0$$ выполняется на множестве всех действительных чисел, а неравенство $$(x-a)^2\leq 0$$ выполняется только при $$x=a$$.

Выберите один из вариантов

Длина промежутка, который образуют все решения неравенства $$0,1^{\sqrt{2-x^2}}\geq -10$$, равна:

  1. Выражение $$\sqrt[2n]{a}$$ определено при $$a\geq 0$$, где $$n\in N$$.
  2. Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\leq a$$, то оно равносильно системе неравенств $$\begin{equation*} \begin{cases} f(x)\leq a,\\ f(x)\geq -a. \end{cases} \end{equation*} $$
  1. ОДЗ: $$2-x^2\geq 0\Leftrightarrow x^2\leq 2\Leftrightarrow \left | x \right |\leq \sqrt{2}\Leftrightarrow x\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$$.
  2. Так как на ОДЗ $$0,1^{\sqrt{2-x^2}}>0$$, то верно, что $$0,1^{\sqrt{2-x^2}}\geq -10$$. Следовательно, это неравенство выполняется на ОДЗ.
  3. Найдем длину промежутка, который образуют решения неравенства: $$\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$$.
  1. Четное число записывают в виде: $$2n$$, где $$n\in N$$.
  2. Различайте записи: $$x^2=a\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{a}$$ и $$x^2\leq a\Leftrightarrow \left | x \right |\leq \sqrt{a}$$.
Выберите один из вариантов

Наименьшее целое решение неравенства $$\sqrt{2}^{3-2x}\geq 3\sqrt{3}^{1-2x}$$ равно:

  1. Если неравенство имеет вид $$a^{f(x)} < g^{f(x)}$$, то при $$0 < a < 1$$ оно равносильно неравенству $$f(x)>g(x)$$.
  2. Свойства степеней:
    1. $${(a^n)}^m=a^{nm}$$;
    2. $$ a^na^m=a^{n+m}$$
    3. $$\left( \frac{a}{b} \right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$;
    4. $$a^0=1$$.
  1. Запишем неравенство в виде:

    $$2^{\frac{1}{2}(3-2x)}\geq 3^1\cdot 3^{\frac{1}{2}(1-2x)}$$; $$2^{1,5-x}\geq 3^{1+0,5-x}$$; $$2^{1,5-x}\geq 3^{1,5-x}$$.

  2. Разделим обе части последнего неравенства на $$3^{1,5-x}$$ и получим:

    $$\frac{2^{1,5-x}}{3^{1,5-x}}\geq 1$$; $$\left(\frac{2}{3}\right)^{1,5-x}\geq \left(\frac{2}{3}\right)^0$$.

  3. Так как $$\frac{2}{3}<1$$, то $$1,5-x\leq 0$$, $$-x\leq -1,5$$, $$x\geq 1,5$$.
  4. Наименьшее целое решение неравенства равно $$2$$.
  1. Умножая обе части неравенства $$-x\leq -1,5$$ на отрицательное число $$-1$$, мы заменили знак неравенства на противоположный по смыслу: $$x\geq 1,5$$.
  2. Выполняя деление неравенства $$2^{1,5-x}\geq 3^{1,5-x}$$ на положительное число $$3^{1,5-x}$$, смысловой знак неравенства не изменяли: $$\frac{2^{1,5-x}}{3^{1,5-x}}\geq 1$$.
Выберите один из вариантов

Среднее арифметическое целых решений неравенства $$4^{x+1}+31\cdot 2^x-8>0$$, удовлетворяющих условию $$\left | x \right |<\sqrt{5}$$, равно:

  1. Свойства степеней:
    1. $${(a^n)}^m=a^{nm}$$;
    2. $$a^na^m=a^{n+m}$$.
  2. Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\leq a$$, то оно равносильно системе неравенств $$\begin{equation*} \begin{cases} f(x)\leq a,\\ f(x)\geq -a. \end{cases} \end{equation*} $$
  1. Запишем неравенство в виде:

    $$4\cdot 4^x+31\cdot 2^x-8>0$$, $$4\cdot 2^{2x}+31\cdot 2^x-8>0$$.
  2. Найдем нули функции $$f(x)=4\cdot 2^{2x}+31\cdot 2^x-8$$, полагая $$2^x=a$$:

    $$4a^2+31a-8=0$$, откуда $$D=31^2+16\cdot 8=1089=33^2$$,

    $$a_1=\frac{-31-33}{8}=-8$$, $$a_2=\frac{-31+33}{8}=\frac{1}{4}$$.

    Тогда:

    1. $$2^x=-8$$, откуда $$x\in \varnothing$$;
    2. $$2^x=2^{-2}$$, откуда $$x=-2$$.
  3. Согласно рисунку 7.20 запишем: $$x>-2$$.

  4. Учитывая, что $$\left | x \right |<\sqrt{5}$$, получим промежуток: $$(-2;\sqrt{5})$$.
  5. Найдем среднее арифметическое целых чисел, принадлежащих этому промежутку: $$\frac{-1+0+1+2}{4}=0,5$$.

Если область определения выражения $$-$$ множество всех действительных чисел, то ее можно не указывать.

Выберите один из вариантов

Количество целых решений неравенства $$5^{\sqrt{x+1}}-6\cdot 5^{1-\sqrt{x}}+25\leq 0$$ равно:

Свойства степеней:

  1. $$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$$;
  2. $$a^na^m=a^{n+m}$$.

  1. ОДЗ: $$x\geq 0$$.
  2. Запишем неравенство в виде:

    $$5\cdot 5^{\sqrt{x}}-\frac{6\cdot 5}{5^{\sqrt{x}}}+25\leq 0$$; $$5^{\sqrt{x}}-\frac{6}{5^{\sqrt{x}}}+5\leq 0$$.
  3. Найдем нули функции $$f(x)=5^{\sqrt{x}}-\frac{6}{5^{\sqrt{x}}}+5$$, полагая $$5^{\sqrt{x}}=a$$:

    $$a-\frac{6}{a}+5=0$$, $$a^2+5a-6=0$$, откуда $$D=25+24=49$$, $$a_1=\frac{-5-7}{2}=-6$$, $$a_2=\frac{-5+7}{2}=1$$.

    Тогда:

    1. $$5^{\sqrt{x}}=-6$$, откуда $$x\in \varnothing$$;
    2. $$5^{\sqrt{x}}=1$$, откуда $$x=0$$.
  4. Согласно рисунку 7.21 запишем: $$x=0$$.

Поскольку функция $$f(x)=5^{\sqrt{x}}-\frac{6}{5^{\sqrt{x}}}+5$$ не отрицательна на всей своей области определения, и имеет только один нуль, точку $$x=0$$, то неравенство $$5^{\sqrt{x}}-\frac{6}{5^{\sqrt{x}}}+5\leq 0$$ имеет единственное решение $$x=0$$.

Выберите один из вариантов

Середина отрезка, являющегося решением неравенства $$2^{2x+1}-5\cdot 6^x+3^{2x+1}\leq 0$$, равна:

Свойства степеней:

  1. $$a^na^m=a^{n+m}$$;
  2. $$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$$;
  3. $$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n$$.
  1. Запишем неравенство в виде:

    $$2\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^x\cdot 3^x+3\cdot 3^2{x}\leq 0$$.
  2. Разделим его на $$2^x\cdot 3^x$$:

    $$\frac{2\cdot 2^{2x}}{2^x\cdot 3^x}-\frac{5\cdot 2^x\cdot 3^x}{2^x\cdot 3^x}+\frac{3\cdot 3^{2x}}{2^x\cdot 3^x}\leq 0$$,

    $$\frac{2\cdot 2^x}{3^x}-5+\frac{3\cdot 3^x}{2^x}\leq 0$$,

    $$2\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x-5+3\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x\leq 0$$.
  3. Найдем нули функции $$f(x)=2\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x-5+3\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x$$, полагая $$\left(\frac{2}{3}\right)^x=a$$.

    Запишем: $$2a-5+\frac{3}{a}=0$$, $$2a^2-5a+3=0$$,

    откуда $$D=25-24=1$$,

    $$a_1=\frac{5-1}{4}=1$$, $$a_2=\frac{5+1}{4}=\frac{3}{2}$$.

    Тогда:

    1. $$\left(\frac{2}{3}\right)^x=1$$, откуда $$x=0$$;
    2. $$\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{3}{2}$$, откуда $$x=-1$$.
  4. Согласно рисунку 7.22 запишем решение неравенства: $$x\in [-1;0]$$.

  5. Найдем середину отрезка, являющегося решением неравенства: $$\frac{-1+0}{2}=-0,5$$.

Деление обеих частей неравенства на выражение $$2^x\cdot 3^x$$ возможно, поскольку оно всегда положительное.

Выберите один из вариантов

Количество всех целых решений неравенства $$\left | x-2 \right |\cdot 10^{\sqrt{\frac{x+6}{x}}}>0$$, не превосходящих по абсолютной величине число $$7$$, равно:

  1. Выражение $$\sqrt[2n]{a}$$ определено при $$a\geq 0$$, где $$n\in N$$.
  2. Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\leq a$$, то оно равносильно системе неравенств $$\begin{equation*} \begin{cases} f(x)\leq a,\\ f(x)\geq -a. \end{cases} \end{equation*} $$
  3. Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\geq a$$, то оно равносильно совокупности неравенств $$\left [\begin{matrix} f(x)\geq a, \hfill \\ f(x)\leq -a. \end{matrix}\right.$$
  1. ОДЗ: $$\frac{x+6}{x}\geq 0\Leftrightarrow x\in (-\infty ;-6]\cup (0;+\infty )$$ (рис. 7.23).
  2. Так как на ОДЗ $$10^{\sqrt{\frac{x+6}{x}}}>0$$ и $$\left | x-2 \right |>0$$, при $$x\neq 2$$, то решение неравенства имеет вид: $$x\in (-\infty ;-6]\cup (0;2)\cup (2;+\infty )$$.
  3. Учитывая, что $$\left | x \right |\leq 7$$, получим: $$[-7;-6]\cup (0;2)\cup (2;7]$$.
  4. Запишем целые числа, являющиеся решениями неравенства:

    $$-7$$, $$-6$$, $$1$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$, $$7$$.

Неравенство $$\left | x-a \right |\geq 0$$ выполняется при $$x\in R$$, а неравенство $$\left | x-a \right |>0$$ выполняется при $$x\in (-\infty ;a)\cup (a;+\infty )$$.

Введите ответ в поле

Сумма модулей всех целых чисел, не принадлежащих области определения функции $$f(x)=\frac{\sqrt{x^2-16}}{\sqrt{7-8\cdot 7^x+7^{2x}}}$$, равна:

  1. Выражение $$\sqrt[2n]{a}$$ определено при $$a\geq 0$$, где $$n\in N$$.
  2. Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\geq 0$$, то оно равносильно совокупности неравенств $$\left [\begin{matrix} f(x)\geq a, \hfill \\ f(x)\leq -a. \end{matrix}\right.$$

Область определения функции найдем, решая систему неравенств:

$$x^2-16\geq 0$$ и $$7^{2x}-8\cdot 7^x+7>0$$.

  1. Найдем решение первого неравенства:

    $$x^2\geq 16$$; $$\left | x \right |\geq 4$$; $$x\in (-\infty ;-4)\cup [4;+\infty )$$.

  2. Второе неравенство решим методом интервалов.

    Найдем нули функции $$f(x)=7^{2x}-8\cdot 7^x+7$$.

    Так как по теореме Виета $$7^{x_1}+7^{x_2}=8$$, а $$7^{x_1}\cdot 7^{x_2}=7$$, то получим:

    $$7^{x_1}=7$$, откуда $$x_1=1$$ и $$7^{x_2}=1$$, откуда $$x_2=0$$.

    Согласно рисунку 7.24 запишем решение этого неравенства: $$x\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$$.

  3. Запишем решение системы неравенств: $$x\in (-\infty ;-4]\cup [4;+\infty )$$.
  4. Найдем сумму модулей всех целых чисел, не принадлежащих области определения функции: $$\left | -3 \right |+\left | -2 \right |+\left | -1 \right |+\left | 0 \right |+\left | 1 \right |+\left | 2 \right |+\left | 3 \right |=12$$.
  1. Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти множества решений каждого неравенства системы. Тогда общая часть (пересечение) этих множеств и будет решением системы.
  2. Различайте записи: $$x^2=a\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{a}$$ и $$x^2\geq a\Leftrightarrow \left | x \right |\geq \sqrt{a}$$.
  3. Уравнение $$7^{2x}-8\cdot 7^x+7=0$$ является квадратным относительно $$7^x$$. Решать его можно с помощью подстановки $$7^x=a$$.
Введите ответ в поле