Загрузка

Логарифмические неравенства

Середина промежутка, который является решением неравенства $$log_{0,1}(2-x)>-2$$, равна:

Если $$log_af(x)>b$$, то при $$f(x)>0$$ и $$0 < a < 1$$ получим $$f(x)< a^b$$.

  1. ОДЗ: $$2-x>0\Leftrightarrow x<2$$.
  2. Так как $$0,1<1$$, то $$2-x<0,1^{-2}$$, $$2-x<100$$, $$x>-98$$.
  3. Учитывая ОДЗ, запишем: $$x\in (-98;2)$$.
  4. Найдем середину этого промежутка: $$\frac{-98+2}{2}=-48$$.

Мы дважды изменяли смысловой знак неравенства.

Выберите один из вариантов

Решение неравенства $$log_{\sqrt{10}}(x-10)^2<4$$ имеет вид:

  1. Если неравенство имеет вид $$log_af(x) < b$$, то при $$f(x)>0$$ и $$a>1$$ получим $$f(x) < a^b$$.
  2. Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\leq a$$, то оно равносильно системе неравенств $$\begin{equation*} \begin{cases} f(x)\le a,\\f(x)\ge-a. \end{cases} \end{equation*}$$
  1. ОДЗ: $$(x-10)^2>0\Leftrightarrow x\in (-\infty ;10)\cup (10; +\infty )$$.
  2. Так как $$\sqrt{10}>1$$, то

    $${(x-10)}^2 < 10^2\Leftrightarrow |x-10| < 10\Leftrightarrow \ \begin{equation*} \begin{cases} x-10<10,\\ x-10>-10; \end{cases} \end{equation*} \Leftrightarrow $$

    $$\Leftrightarrow \begin{equation*} \begin{cases} x<20,\\ x>0; \end{cases} \end{equation*}\Leftrightarrow x\in (0;20)$$.
  3. Учитывая ОДЗ, запишем: $$x\in (0;10)\cup (10;20)$$.

Различайте записи:

  1. $$x^2=a\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{a}$$;
  2. $$x^2\leq a\Leftrightarrow \left | x \right |\leq \sqrt{a}$$.
Выберите один из вариантов

Наименьшее целое решение неравенства $$log_2(5+x)\geq log_{0,5}(x-5)$$ равно:

  1. Свойства логарифмов:
    1. $$log_ab^n=n\cdot log_ab$$;
    2. $$log_{a^m}b=\frac{1}{m}log_ab$$.
  2. Если неравенство имеет вид $$log_af(x)\geq log_ag(x)$$, то ОДЗ: $$\begin{equation*} \begin{cases} f(x)>0,\\f(x)>0. \end{cases} \end{equation*}$$.

    При условии, что $$a>1$$ получим $$f(x)\geq g(x)$$.

  3. Формула разности квадратов: $$a^2-b^2=(a-b)(a+b))$$.
  4. Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\geq a$$, то оно равносильно совокупности неравенств $$\left [\begin{matrix} f(x)\geq a, \hfill \\ f(x)\leq -a. \end{matrix}\right.$$
  1. ОДЗ: $$ \begin{equation*} \begin{cases} 5+x>0,\\ x-5>0; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x>-5,\\ x>5; \end{cases} \end{equation*} \Leftrightarrow x>5 $$.
  2. Преобразуем неравенство:

    $$log_2(5+x)\geq log_{2{-1}}(x-5)$$;

    $$log_2(5+x)\geq -log_2(x-5)$$;

    $$log_2(5+x)\geq log_2{(x-5)}^{-1}$$.

  3. Так как $$2>1$$, то $$5+x\geq \frac{1}{x-5}$$, $$x^2-25\geq 1$$, $$x^2\geq 26$$, $$\left | x \right |\geq \sqrt{26}$$, $$x\in (-\infty ;-\sqrt{26}]\cup [\sqrt{26};+\infty )$$.
  4. Учитывая ОДЗ, запишем: $$x\in [\sqrt{26};+\infty )$$.
  5. Наименьшее целое решение этого неравенства равно $$6$$.
  1. Обе части неравенства $$5+x\geq \frac{1}{x-5}$$ мы можем умножать на $$x-5$$, так как согласно ОДЗ это выражение всегда положительное.
  2. Различайте записи:
    1. $$x^2=a\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{a}$$;
    2. $$x^2\geq a\Leftrightarrow \left | x \right |\geq \sqrt{a}$$.
Выберите один из вариантов

Длина промежутка, который образуют все решения неравенства $$log^2_{\sqrt{2}}(2-x)<4$$, равна:

  1. Если неравенство имеет вид $$log_af(x) < b$$, то при $$f(x)>0$$ и $$a>1$$ получим $$f(x) < a^b$$.
  2. Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\leq a$$, то оно равносильно системе неравенств $$\begin{equation*} \begin{cases} f(x)\le a,\\f(x)\ge-a. \end{cases} \end{equation*}$$
  1. ОДЗ: $$2-x>0\Leftrightarrow x<2$$.
  2. Выполним преобразования:

    $$log^2_{\sqrt{2}}(2-x)<4$$; $$\left | log_{\sqrt{2}}(2-x) \right |<2$$; .

    $$ \begin{equation*} \begin{cases} log_{\sqrt{2}}(2-x)<2,\\ log_{\sqrt{2}}(2-x)>-2; \end{cases} \end{equation*}$$ $$ \begin{equation*} \begin{cases} 2-x<2,\\ 2-x>0,5; \end{cases} \end{equation*}$$

    $$\begin{equation*} \begin{cases} x>0, \\ x<1,5; \end{cases} \end{equation*}$$ $$x\in (0;1,5)$$.

  3. Учитывая ОДЗ, запишем: $$x\in (0;1,5)$$.
  4. Длина этого интервала равна $$1,5$$.
  1. Различайте записи:
    1. $$log^n_ax=(log_ax)^n$$;
    2. $$log_ax^n=nlog_ax$$.
  2. Различайте записи:
    1. $$x^2=a \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{a}$$;
    2. $$x^2 < a \Leftrightarrow |x|<\sqrt{a}$$.
Выберите один из вариантов

Решение неравенства $$2log_{3x}3-2log_3\sqrt{3x}\geq 1$$ имеет вид:

Свойства логарифмов:

  1. $$log_aa=1$$;
  2. $$log_abc=log_ab+log_ac$$;
  3. $$log_ab^n=n\cdot log_ab$$;
  4. $$log_ab=\frac{1}{log_ba}$$.
  1. ОДЗ: $$ \begin{equation*} \begin{cases} x>0,\\ 3x\neq 1. \end{cases} \end{equation*}$$
  2. Выполним преобразования:

    $$\frac{2}{log_33x}-2(log_3\sqrt{3}+log_3x)-1\geq 0$$;

    $$\frac{2}{1+log_{3}x}-2(\frac{1}{2}+log_{3}x)-1\geq 0$$;

    $$\frac{2}{1+log_{3}x}-2log_{3}x-2\geq 0$$;

    $$\frac{1}{1+log_3x}-log_3x-1\geq 0$$.

  3. Найдем нули функции, записанной в левой части последнего неравенства, полагая $$log_3x=a$$.

    Получим: $$\frac{1}{1+a}=1+a$$, $$(1+a)^2=1$$, откуда:

    1. $$1+a=1$$ и $$a=0$$;
    2. $$1+a=-1$$ и $$a=-2$$.

    Тогда, $$log_3x=0$$ и $$x=1$$ или $$log_3x=-2$$ и $$x=\frac{1}{9}$$.

    Нанесем нули функции на ОДЗ и согласно рисунку 7.25 запишем: $$x\in \left(0;\frac{1}{9}\right]\cup \left(\frac{1}{3};1\right]$$.

Аргумент логарифмической функции всегда положительный, а ее основание – положительное и, к тому же, не равно $$1$$.

Выберите один из вариантов

Длина промежутка, который является решением неравенства

$$lg$$ $$log_{0,2}(6+2x)<0$$, равна:

Если $$ log_af(x)< b$$, то ОДЗ: $$f(x)>0$$.

Тогда:

  1. при условии, что $$a > 1$$ получим $$f(x) < a^b$$;
  2. при условии, что $$0 < a < 1$$ получим $$f(x)>a^b$$.
  1. ОДЗ: $$ \begin{cases}6+2x>0, \\ log_{0,2}(6+2x)>0; \end{cases}\begin{cases}x>-3, \\ 6+2x<1; \end{cases}\begin{cases}x>-3, \\ x<-2,5; \end{cases}.$$ $$x\in (-3;-2,5)$$.
  2. Решим неравенство $$log_{0,2}(6+2x)<1$$:

    $$6+2x>0,2$$; $$x>-2,9$$.

  3. Учитывая ОДЗ, запишем: $$x\in (-2,9;-2,5)$$.
  4. Найдем длину этого промежутка: $$-2,5+2,9=0,4$$.

Десятичный логарифм числа $$b$$ записывают $$log_{10}b=lgb$$.

Выберите один из вариантов

Количество натуральных решений неравенства $$4^{log_2\sqrt{4-x}}<4^{-log_4\sqrt{4-x}}+4^{\frac{1}{log_{4-x}4}}$$ равно:

  1. Свойства логарифмов:

    $$log_ab^n=n \cdot log_ab$$; $$log_ab=\frac{1}{log_ba}$$.

  2. Основное логарифмическое тождество:

    $$a^{log_ab}=b$$.

  1. ОДЗ: $$\begin{equation*} \begin{cases} x < 4, \\ x\neq 3. \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x < 4, \\ x\neq 3. \end{cases} \end{equation*}$$
  2. Выполним преобразования:

    $$2^{log_2(4-x)}<4^{log_4(\sqrt{4-x})^{-1}}+4^{log_4(4-x)}$$;

    $$4-x<\frac{1}{\sqrt{4-x}}+4-x$$;

    $$\frac{1}{\sqrt{4-x}}>0$$;

    $$4-x>0$$;

    $$x<4$$.

  3. Учитывая ОДЗ, запишем: $$x\in (-\infty ;3)\cup (3;4)$$.
  4. Запишем натуральные решения неравенства: $$1$$ и $$2$$.

Число $$0$$ не является натуральным.

Выберите один из вариантов

Сумма всех целых решений неравенства $$(0,5x)^{log_2x+1}\leq 8$$ равна:

  1. Свойства степеней:
    1. $$a^na^m=a^{n+m}$$;
    2. $${(a^n)}^m=a^{nm}$$.
  2. Формула разности квадратов: $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$.
  3. Если неравенство имеет вид $$log_af(x) < b$$, то при $$f(x)>0$$ и $$a>1$$ получим $$f(x) < a^b$$.
  4. Если неравенство имеет вид $$\left | f(x) \right |\leq a$$, то оно равносильно системе неравенств $$\begin{equation*} \begin{cases} f(x) \leq a,\\ f(x)\geq -a. \end{cases} \end{equation*}$$
  1. ОДЗ: $$x>0$$.
  2. Полагая, что $$log_2x=a$$, а $$x=2^a$$, запишем:

    $$(2^{-1}\cdot 2^a)^{a+1}\leq 2^3$$, $$(2^{a-1})^{a+1}\leq 2^3$$, $$2^{a^2-1}\leq 2^3$$,

    $$a^2-1\leq 3$$, $$a^2\leq 4$$, $$\left | a \right |\leq 2$$.

    Тогда: $$\left | log_2x \right |\leq 2$$; $$\begin{equation*} \begin{cases} log_2x\leq 2, \\ log_2x\geq -2; \end{cases} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \begin{cases} x\leq 4, \\ x\geq 0,25; \end{cases} \end{equation*}$$ $$x\in [0,25;4]$$.

  3. Найдем сумму всех целых решений неравенства: $$1+2+3+4=10$$.
  1. Различайте записи: $$log_a(x+b)$$ и $$log_ax+b=(log_ax)+b$$.
  2. Различайте записи: $$x^2=a\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{a}$$ и $$x^2\leq a\Leftrightarrow \left | x \right |\leq \sqrt{a}$$.
Выберите один из вариантов

Наибольшее целое число, которое удовлетворяет неравенству $$ log_{-x}(2x^2+10)>log_{-x}18$$, равно:

Если неравенство имеет вид $$log_{q(x)}f(x)>log_{q(x)}g(x)$$, то ОДЗ: $$\begin{equation*} \begin{cases} f(x)>0,\\ g(x)>0,\\q(x)>0, q(x)\neq 1. \end{cases} \end{equation*}$$

  1. ОДЗ: $$\begin{equation*} \begin{cases}-x>0,\\-x \neq 1; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x<0,\\x \neq -1. \end{cases} \end{equation*}$$
  2. Запишем неравенство в виде:

    $$log_{-x}(2x^2+10)- log_{-x}18>0$$

    $$log_{-x} \frac{2(2x^2+5)}{18}>0$$

    $$log_{-x} \frac{(2x^2+5)}{9}>0$$.
  3. Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули функции, записанной в левой части неравенства:

    $$log_{-x}\frac{(2x^2+5)}{9}=0$$, $$\frac{(2x^2+5)}{9}=1$$, $$2x^2+5=9$$,

    $$x^2=2$$, откуда $$x=-\sqrt{2}$$ или $$x=\sqrt{2}$$ (посторонний корень).

    Согласно рисунку 7.26 запишем решение:

    $$x\in (-\infty;-\sqrt{2})\cup (-1;0)$$.
  4. Наибольшее целое число, которое является решением неравенства, равно $$-2$$.

  1. Выражение $$2x^2+10$$ всегда положительное
  2. Решая неравенство методом интервалов, нам не пришлось отдельно рассматривать случаи $$-x > 1$$ и $$0 < -x < 1$$. Тем самым удалось избежать решения cовокупности систем неравенств.
Введите ответ в поле

Середина промежутка, который является областью определения функции $$f(x)=lg^{-0,25}(32x-16x^2-7)$$, заключена между целыми числами, сумма которых равна:

  1. Определения степеней:
    1. $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$;
    2. $$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$$.
  2. Если $$log_af(x) < b$$, то при $$f(x)>0$$ и $$a>1$$ получим: $$f(x) < a^b$$.
  1. Запишем: $$f(x)=(lg(32x-16x^2-7))^{-\frac{1}{4}}$$ или $$f(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{lg(32x-16x^2-7)}}$$.
  2. Найдем область определения функции:

    $$D(f): \begin{equation*} \begin{cases} 32x-16x^2-7>0,\\ lg(32x-16x^2-7)>0; \end{cases} \end{equation*}$$  $$ \begin{equation*} \begin{cases} 16x^2-32x+7<0,\\ 32x-16x^2-7>1; \end{cases} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \begin{cases} 16x^2-32x+7<0,\\ 2x^2-4x+1<0. \end{cases} \end{equation*}$$

    1. Рассмотрим первое неравенство:

      $$D=32\cdot 32-4\cdot 16\cdot 7=4\cdot 16\cdot (8\cdot 2-7)=4\cdot 16\cdot 9=24^2$$;

      $$x_1=\frac{32-24}{32}=0,25$$;

      $$x_2=\frac{32+24}{32}=\frac{56}{32}=\frac{7}{4}=0,75$$.

      Решение: $$(0,25;0,75)$$(рис. 7.27).

    2. Рассмотрим второе неравенство:

      $$D=16-8=8$$;

      $$x_1=\frac{4-2\sqrt{2}}{4}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}\approx 0,3$$;

      $$x_2=\frac{2+\sqrt{2}}{2}\approx 1,7$$.

      Решение: $$\left(\frac{2-\sqrt{2}}{2};\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)$$(рис. 7.28).

      Решение системы неравенств: $$\left(\frac{2-\sqrt{2}}{2};\frac{3}{4}\right)$$.

      Середина этого промежутка приближенно равна: $$\frac{0,3+0,75}{2}=\frac{1,05}{2}=0,525$$.

      Сумма целых чисел, между которыми заключено это число, равна: $$0+1=1$$.

Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти множества решений каждого неравенства системы. Тогда общая часть (пересечение) этих множеств и будет решением системы.

Введите ответ в поле