Загрузка

Текстовые задачи (тест 1)

Если от двузначного числа, сумма цифр которого равна $$8$$, отнять число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, и в результате получить $$18$$, то модуль разности цифр искомого числа будет равен:

Если $$a$$ – цифра десятков, $$b$$ – цифра единиц некоторого двузначного числа, то это число записывают:
$$\overline{ab}=10a+b.$$

Пусть $$\overline{ab}$$ – искомое число. 

Согласно условию запишем:

$$\begin{cases} a+b=8,\\ \overline{ab}-\overline{ba}=18; \end{cases}$$ $$\begin{cases} a+b=8,\\ 10a+b-10b-a=18;\end{cases} $$

$$\begin{cases} a+b=8,\\ 9a-9b=18; \end{cases} $$ $$\begin{cases} a+b=8,\\ a-b=2. \end{cases}$$
В результате сложения этих уравнений получим:

$$2a=10$$, откуда $$a=5$$. Тогда $$b=3$$.

Искомое число $$53$$, а модуль разности его цифр равен $$2$$.

При записи чисел в буквенной форме над числом ставится черта. 

Различайте:

число $$\overline{3ab}=300+10a+b$$ ($$3$$, $$a$$ и $$b$$ – цифры);

 произведение $$3ab=3 \cdot a \cdot b$$ (буквы $$a$$, $$b$$ и число $$3$$ – множители).

Выберите один из вариантов
Трехзначное число оканчивается цифрой 1. Если ее перенести в начало записи числа, то полученное число будет на 81 меньше первоначального. Исходное число равно:
Если $$а$$ – цифра сотен, $$b$$ – цифра десятков, $$с$$ – цифра единиц некоторого трехзначного числа, то это число записывают:
$$\overline{abc}=100a+10b+c$$.
Пусть $$\overline{ab1}$$ – исходное число,$$\overline{1bc}$$  – новое число. 
 Получим уравнение:
$$\overline{ab1}=\overline{1bc}=81$$,
$$(10\cdot \overline{ab+1})-(100+\overline{ab})=81$$,
$$9\cdot \overline{ab}=81+99$$, откуда $$\overline{ab}=20$$. 
 Тогда, $$\overline{ab1}=10\cdot 20+1=201$$.
Решение задачи можно записать иначе. 
Пусть $$\overline{x1}$$ – исходное число,$$\overline{1x}$$  – новое число. 
Получим уравнение:
$$$$\overline{x1}-\overline{1x}=81$$, 
$$(10x+1)-(10+x)=81$$, 
$$9x=180$$, откуда $$x=20$$. 
 Тогда, .
Введите ответ в поле

Числитель правильной несократимой дроби уменьшили на $$2$$, а ее знаменатель – в $$2$$ раза. Так как произведение этой дроби и дроби, обратной полученной, равно $$1,5$$, то знаменатель наибольшей из них равен:

  1. Обыкновенную дробь записывают в виде $$\frac{a}{b}$$.
  2. Дробь $$\frac{a}{b}$$ правильная, если $$a.
  3. Дробь $$\frac{a}{b}$$ несократима, если числа $$a$$ и $$b$$ не имеют общих делителей.

  1. Запишем искомую дробь в виде

    $$\frac{a}{b}$$.

  2. Уменьшим ее числитель на $$2$$, а ее знаменатель – в $$2$$ раза:

    $$\frac{a-2}{b: 2}=\frac{2(a-2)}{b}$$.

  3. Запишем дробь, обратную полученной:

    $$\frac{b}{2(a-2)}$$.

  4. Решим уравнение:

    $$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{2(a-2)}=\frac{3}{2}$$,

    $$\frac{a}{a-2}=\frac{3}{1}$$,

    $$3a-6=a$$,

    $$a=3$$.

  5. При $$b>3$$ будем получать дроби:

    $$\frac{3}{4}$$$$\frac{3}{5}$$$$\frac{3}{7}$$$$\frac{3}{8}$$ и т. д.

    Наибольшая из них равна $$\frac{3}{4}$$.

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньший знаменатель:

$$\frac{a}{b}>\frac{a}{c}$$, если $$b

Выберите один из вариантов

Оценки по русскому языку, математике и физике, полученные абитуриентом на централизованном тестировании, относятся как $$3,4:3:2$$ соответственно. Так как оценка по русскому языку выше оценки по математике на $$8$$ баллов, то суммарное число баллов, полученных абитуриентом, равно:

Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными, если отношение их значений остается неизменным. Неизменное отношение пропорциональных величин называют коэффициентом пропорциональности и обозначают $$k$$.

Введем коэффициент пропорциональности $$k$$

Запишем оценки:

1) русский язык: $$3,4k$$;

2) математика: $$3k$$;

3) физика: $$2k$$.

Согласно условию получим уравнение:
$$3,4k-3k=8$$, 
откуда $$k=20$$.
Найдем суммарное число баллов, полученных абитуриентом:
$$3,4k+3k+2k=8,4k=168$$.

Задачу можно решить иначе:

1) $$3,4-3=0,4$$ (на сколько частей оценка по русскому языку выше оценки по математике);

2) $$8:0,4=80:4=20$$ (сколько баллов соответствует одной части);

3) $$(3,4+3+2) \cdot20=8,4 \cdot20=168$$ (суммарное число баллов).

Выберите один из вариантов

Сплав весом в $$10$$ кг содержит серебро и медь в отношении $$2:3$$. Если массу серебра уменьшить на $$10$$ %, а массу меди увеличить на столько же процентов, то масса сплава будет равна:

  1. Процентом числа называют одну сотую часть этого числа:

    $$1$$% от числа $$a$$ равен $$0,01a$$.

  2. Нахождение указанного количества процентов от числа:

    $$p$$% от числа $$a$$ равны $$\frac{a}{100} \cdot p$$.

  1. Так как сплав состоит из $$5$$ частей и имеет массу $$10$$ кг, то масса одной части равна $$2$$ кг. Тогда серебра в сплаве будет $$4$$ кг, а меди – $$6$$ кг.
  2. Так как массу серебра уменьшили на $$10$$ %, то она составила $$90$$ % от числа $$4$$ или $$0,9$$ от $$4$$ и оказалась равной

    $$0,9 \cdot 4=3,6$$ (кг).

  3. Так как массу меди увеличили на $$10$$ %, то она составила $$110$$ % от числа $$6$$ или $$1,1$$ от $$6$$ и оказалась равной

    $$1,1 \cdot 6=6,6$$ (кг).

  4. Найдем массу нового сплава:

    $$3,6+6,6=10,2$$ (кг).

Если записать $$p$$% как $$0,01p$$, то $$p$$% от числа $$a$$ равны $$0,01pa$$.

Выберите один из вариантов

На первом репетиционном тестировании по математике абитуриент получил $$15$$ баллов, а на втором и третьем тестировании количество баллов увеличивалось на одно и то же число процентов. Так как на третьем тестировании абитуриент получил $$60$$ баллов, то это число процентов равно:

Нахождение указанного количества процентов от числа:

$$p$$ % от числа $$a$$ равны $$\frac{a}{100} \cdot p$$.

Пусть количество баллов на каждом тестировании увеличивалось на $$x$$ %. 

Тогда на втором тестировании количество баллов абитуриента составило:

$$(100+x)$$ % от $$15$$ или $$\frac{15 \cdot (100+x)}{100}$$.
На третьем тестировании абитуриент получил $$60$$ баллов, что составило:

$$(100+x)$$ % от $$\frac{15 \cdot (100+x)}{100}$$ или $$60=\frac{15 \cdot (100+x) \cdot (100+x)}{100 \cdot 100}$$откуда 

$$4=\frac{(100+x)^2}{100^2}$$

$$(100+x)^2=4 \cdot 100^2$$

$$100+x=2 \cdot 100$$

$$x=100$$

Следовательно, на каждом тестировании количество баллов, полученных абитуриентом, увеличивалось на $$100$$ %.

Уравнение $$(100+x)^2=4 \cdot 100^2$$ имеет два корня:

$$100+x=\pm 2 \cdot 100$$

$$x=\pm 2 \cdot 100 - 100$$.

Отрицательный корень уравнения не удовлетворяет условию задачи.

Введите ответ в поле
Для приготовления варенья купили по $$5$$ кг яблок и груш. За груши заплатили на $$8$$ рублей больше, чем за яблоки. Так как стоимость одного килограмма яблок составляет $$2$$ руб. $$40$$ коп., то процентное отношение цены яблок и цены груш составляет:
Процентное отношение чисел $$a$$ и $$b$$:
$$a:b\cdot 100%$$.
1. Узнаем, на сколько цена груш больше цены яблок:
$$8:5=1,6$$ (руб.). 
 2. Найдем цену груш:
$$2,4+1,6=4$$ (руб.). 
 3. Найдем процентное отношение цены яблок и цены груш:
$$2,4:4\cdot 100%=60%$$ .
Чтобы найти цену товара (стоимость одной единицы товара), необходимо стоимость товара разделить на его количество.
Выберите один из вариантов

Если свежие грибы содержат по массе $$90$$ % воды, а сушеные – $$10$$ %, то из $$18$$ кг свежих грибов сушеных получим:

Нахождение указанного количества процентов от числа:

$$p$$% от числа $$a$$ равны $$\frac{a}{100} \cdot p$$.

Так как свежие грибы содержат по массе $$90$$ % воды, то некого другого вещества они содержат $$10$$ %.

Зная массу свежих грибов, найдем массу вещества:

$$18:100 \cdot 10=1,8$$ (кг).

Так как сушеные грибы содержат по массе $$10$$ % воды, то вещества они содержат $$90$$ %.

Зная массу вещества, найдем массу сушеных грибов:

$$1,8:90 \cdot 100 = 2$$ (кг).

При сушке грибов уменьшается масса воды, а масса грибного вещества не изменяется, но изменяется ее процентное содержание.

Выберите один из вариантов
Даны два положительных числа. Если их среднее арифметическое на $$2$$ больше среднего геометрического, а среднее геометрическое в $$2$$ раза меньше большего из чисел, то большее число равно:
Введите ответ в поле
Сумма трех первых членов пропорции равна $$25$$. Если второй член составляет $$\frac{3}{8}$$ третьего и $$\frac{1}{4}$$  первого члена, то четвертый член пропорции равен:
Пропорцией называется равенство двух отношений: 
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$ .
Свойство пропорции $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$:
$$ad=bc$$.
Введите ответ в поле