Загрузка

Текстовые задачи

Числитель правильной несократимой дроби уменьшили на $$2$$, а ее знаменатель – в $$2$$ раза. Так как произведение этой дроби и дроби, обратной полученной, равно $$1,5$$, то знаменатель наибольшей из них равен:

  1. Обыкновенную дробь записывают в виде $$\frac{a}{b}$$.
  2. Дробь $$\frac{a}{b}$$ правильная, если $$a<b$$.
  3. Дробь $$\frac{a}{b}$$ несократима, если числа $$a$$ и $$b$$ не имеют общих делителей.

  1. Запишем искомую дробь в виде $$\frac{a}{b}$$.
  2. Уменьшим ее числитель на $$2$$, а ее знаменатель – в $$2$$ раза: $$\frac{a-2}{b: 2}=\frac{2(a-2)}{b}$$.
  3. Запишем дробь, обратную полученной: $$\frac{b}{2(a-2)}$$.
  4. Решим уравнение: $$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{2(a-2)}=\frac{3}{2}$$, $$\frac{a}{a-2}=\frac{3}{1}$$, $$3a-6=a$$, $$2a=6$$, $$a=3$$.
  5. При $$b>3$$ будем получать дроби: $$\frac{3}{4}$$,$$\frac{3}{5}$$,$$\frac{3}{7}$$,$$\frac{3}{8}$$ и т. д. Наибольшая из них равна $$\frac{3}{4}$$.

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньший знаменатель:$$\frac{a}{b}>\frac{a}{c}$$, если $$b<c$$

Выберите один из вариантов

Если от двузначного числа, сумма цифр которого равна $$8$$, отнять число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, и в результате получить $$18$$, то модуль разности цифр искомого числа будет равен:

Если $$a$$ – цифра десятков, $$b$$ – цифра единиц некоторого двузначного числа, то это число записывают:
$$\overline{ab}=10a+b.$$

Пусть $$\overline{ab}$$ – искомое число. Согласно условию запишем:

$$\begin{cases} a+b=8,\\ \overline{ab}-\overline{ba}=18; \end{cases} \begin{cases} a+b=8,\\ 10a+b-10b-a=18;\end{cases} $$

$$\begin{cases} a+b=8,\\ 9a-9b=18; \end{cases} $$ $$\begin{cases} a+b=8,\\ a-b=2. \end{cases}$$
В результате сложения этих уравнений получим:

$$2a=10$$, откуда $$a=5$$. Тогда $$b=3$$.

Искомое число $$53$$, а модуль разности его цифр равен $$2$$.

При записи чисел в буквенной форме над числом ставится черта. Различайте число $$\overline{3ab}=300+10a+b$$ ($$3$$, $$a$$ и $$b$$ – цифры) и произведение $$3ab=3 \cdot a \cdot b$$ (буквы $$a$$, $$b$$ и число $$3$$ – множители).

Выберите один из вариантов

Оценки по русскому языку, математике и физике, полученные абитуриентом на централизованном тестировании, относятся как $$3,4:3:2$$ соответственно. Так как оценка по русскому языку выше оценки по математике на $$8$$ баллов, то суммарное число баллов, полученных абитуриентом, равно:

Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными, если отношение их значений остается неизменным. Неизменное отношение пропорциональных величин называют коэффициентом пропорциональности и обозначают $$k$$.

Введем коэффициент пропорциональности $$k$$. Запишем оценки:

  1. русский язык: $$3,4k$$;
  2. математика: $$3k$$;
  3. физика: $$2k$$.
Согласно условию получим уравнение:
$$3,4k-3k=8$$
; $$0,4k=8$$; $$4k=80$$; $$k=20$$.
Найдем суммарное число баллов, полученных абитуриентом:
$$3,4k+3k+2k=8,4k=8,4 \cdot 20=168$$
.

Можно не вводить коэффициент пропорциональности, а решать эту задачу, как задачу на части:

  1. $$3,4-3=0,4$$ (на сколько частей оценка по русскому языку выше оценки по математике);
  2. $$8:0,4=80:4=20$$ (сколько баллов соответствует одной части);
  3. $$(3,4+3+2) \cdot20=8,4 \cdot20=168$$ (суммарное число баллов).
Выберите один из вариантов

Сплав весом в $$10$$ кг содержит серебро и медь в отношении $$2:3$$. Если массу серебра уменьшить на $$10$$ %, а массу меди увеличить на столько же процентов, то масса сплава будет равна:

  1. Процентом числа называют одну сотую часть этого числа:

    $$1$$% от числа $$a$$ равен $$0,01a$$.

  2. Нахождение указанного количества процентов от числа:

    $$p$$% от числа $$a$$ равны $$\frac{a}{100} \cdot p$$.

  1. Так как сплав состоит из $$5$$ частей и имеет массу $$10$$ кг, то масса одной части равна $$2$$ кг. Тогда серебра в сплаве будет $$4$$ кг, а меди – $$6$$ кг.
  2. Так как массу серебра уменьшили на $$10$$ %, то она составила $$90$$ % от числа $$4$$ или $$0,9$$ от $$4$$ и оказалась равной $$0,9 \cdot 4=3,6$$ (кг).
  3. Так как массу меди увеличили на $$10$$ %, то она составила $$110$$ % от числа $$6$$ или $$1,1$$ от $$6$$ и оказалась равной $$1,1 \cdot 6=6,6$$ (кг).
  4. Найдем массу нового сплава: $$3,6+6,6=10,2$$ (кг).

Если записать $$p$$% как $$0,01p$$, то $$p$$% от числа $$a$$ равны $$0,01pa$$.

Выберите один из вариантов

Если свежие грибы содержат по массе $$90$$ % воды, а сушеные – $$10$$ %, то из $$18$$ кг свежих грибов сушеных получим:

Нахождение указанного количества процентов от числа:

$$p$$% от числа $$a$$ равны $$\frac{a}{100} \cdot p$$.

Так как свежие грибы содержат по массе $$90$$ % воды, то некого другого вещества они содержат $$10$$ %.

Зная массу свежих грибов, найдем массу вещества:

$$18:100 \cdot 10=1,8$$ (кг).

Так как сушеные грибы содержат по массе $$10$$ % воды, то вещества они содержат $$90$$ %.

Зная массу вещества, найдем массу сушеных грибов:

$$1,8:90 \cdot 100 = 2$$ (кг).

При сушке грибов уменьшается масса воды, а масса грибного вещества не изменяется, но изменяется ее процентное содержание.

Выберите один из вариантов

Два насоса, работая одновременно, наполняют бассейн за $$3$$ ч. Так как, работая раздельно, первый насос наполняет бассейн в $$1,5$$ раза быстрее, чем второй, то он наполнит бассейн за:

Уравнения, которые необходимо составить на основании условий задач на работу, как правило, содержат следующие величины: работу $$A$$, скорость выполнения работы (производительность)$$v$$, время выполнения работы $$t$$.

Эти величины связаны формулой:

$$A=vt$$, откуда $$v=\frac{A}{t}$$, $$t=\frac{A}{v}$$.

Пусть $$a$$– объем бассейна.
Рассмотрим раздельную работу, учитывая при этом, что каждый насос выполняет весь объем работы:
Зная производительность каждого насоса, рассмотрим совместную работу:
Решим уравнение: $$\frac{3a}{x}+\frac{2a}{x}=a$$, $$\frac{5a}{x}=a$$, $$\frac{5}{x}=1$$, $$x=5$$.
Следовательно, работая самостоятельно, первый насос наполнит бассейн за $$5$$ ч.

Если объем работы не известен, то целесообразно ввести параметр, то есть считать его постоянной величиной, например, равной $$a$$.

Выберите один из вариантов

По окружности длиной $$20$$ м одновременно в одном направлении из одного и того же пункта начали движение две точки. Так как первая точка движется со скоростью $$12$$ м/мин, а вторая со скоростью $$13$$ м/мин, то точки встречаются через:

Уравнения, которые необходимо составить на основании условий задач на движение, как правило, содержат следующие величины: расстояние $$S$$, скорость $$v$$, время $$t$$.

Связь между этими величинами выражается формулой:

$$S=vt$$, откуда $$v=\frac{S}{t}$$, $$t=\frac{S}{v}$$.

Пусть $$x$$ мин – время, через которое точки встретятся. Заполним таблицу:


Так как скорость второго тела больше скорости первого, то до встречи оно проходит расстояние на $$20$$ м (длину окружности) большее, чем первое тело.
Получим уравнение:
$$13x=12x+20$$
, откуда $$x=20$$.
Следовательно, точки встречаются через каждые $$20$$ мин.

Если два тела движутся по окружности, то одно из них догонит другое, если разность пройденных ими расстояний будет равна длине окружности.

Выберите один из вариантов

Так как моторная лодка, собственная скорость которой равна $$40$$ км/ч, на путь по течению реки длиной в $$22$$ км, затратила столько же времени, сколько на путь против течения длиной $$18$$ км, то она находилась в пути:

  1. Если тело движется по течению реки, то его скорость слагается из собственной скорости и скорости течения реки:

    $$V$$по теч. =$$V$$с. +$$V$$теч.

  2. Если тело движется против течения реки, то

    $$V$$пр. теч. = $$V$$c. –$$V$$теч.

  3. Путь, пройденный телом, определяют по формуле:

    $$S=vt$$, где расстояние $$S$$, скорость $$v$$, время $$t$$.

Пусть скорость течения реки равна $$x$$ км/ч. Заполним таблицу:
Решим уравнение:
$$\frac{22}{40+x}=\frac{18}{40-x}$$
, $$\frac{11}{40+x}=\frac{9}{40-x}$$,
$$440-11x=360+9x$$, $$20x=80$$, $$x=4$$.
Найдем время, которое находилась в пути лодка:
$$\frac{22}{40+4}+\frac{18}{40-4}=\frac{22}{44}+\frac{18}{36}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$ (ч).

Свойство пропорции $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$: произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов, т. е. $$bc=ad$$.

Выберите один из вариантов

На первом репетиционном тестировании по математике абитуриент получил $$15$$ баллов, а на втором и третьем тестировании количество баллов увеличивалось на одно и то же число процентов. Так как на третьем тестировании абитуриент получил $$60$$ баллов, то это число процентов равно:

Нахождение указанного количества процентов от числа:

$$p$$ % от числа $$a$$ равны $$\frac{a}{100} \cdot p$$.

Пусть количество баллов на каждом тестировании

увеличивалось на $$x$$ %.
Тогда на втором тестировании количество баллов абитуриента составило:

$$(100+x)$$ % от $$15$$ или $$\frac{15 \cdot (100+x)}{100}$$.
На третьем тестировании абитуриент получил $$60$$ баллов, что составило:

$$(100+x)$$ % от $$\frac{15 \cdot (100+x)}{100}$$ или $$60=\frac{15 \cdot (100+x) \cdot (100+x)}{100 \cdot 100}$$,

откуда $$4=\frac{(100+x)^2}{100^2}$$, $$(100+x)^2=4 \cdot 100^2$$, $$100+x=2 \cdot 100$$, $$x=100$$.
Следовательно, на каждом тестировании количество баллов, полученных абитуриентом, увеличивалось на $$100$$ %.

Уравнение $$(100+x)^2=4 \cdot 100^2$$ имеет два корня:

$$100+x=\pm 2 \cdot 100$$, $$x=\pm 2 \cdot 100 - 100$$.

Но отрицательный корень мы не рассматривали.

Введите ответ в поле

Из пунктов $$A$$ и $$B$$ одновременно навстречу друг другу отправились пешеход и велосипедист и встретились через полчаса. Продолжая движение в том же направлении, пешеход прибыл в пункт $$B$$ на $$45$$ мин позже, чем велосипедист прибыл в пункт $$A$$. Время движения велосипедиста (в минутах) составило:

Если $$S$$ – расстояние, $$v$$ – скорость, а $$t$$ – время, то:

$$S=vt$$, $$t=\frac{S}{v}$$, $$v=\frac{S}{t}$$.

Пусть пешеход двигался со скоростью $$x$$ км/ч, а велосипедист – со скоростью $$y$$ км/ч. Заполним таблицы.
До встречи:

После встречи:

Запишем уравнение:
$$\frac{y}{2x}=\frac{x}{2y}+\frac{45}{60}$$, $$\frac{y}{2x}=\frac{x}{2y}+\frac{3}{4}$$, $$\frac{2y}{x}=\frac{2x}{y}+3$$.
Полагая $$\frac{x}{y}=a$$, получим:
$$2a+3-\frac{2}{a}=0$$, $$2a^2+3a-2=0$$,
откуда $$D=9+16=25$$; $$a_1=\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2}$$, $$a_2<0$$.
Тогда, $$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$$.
Так как до встречи велосипедист находился в пути $$30$$ мин,
а после встречи $$\frac{x}{2y}=\frac{1}{4}$$ ч или
$$15$$ мин, то его время движения составило $$45$$ мин.

Справедливы равенства: $$t$$ ч =$$60t$$ мин, а $$t$$ мин =$$\frac{t}{60}$$ ч.

Введите ответ в поле