Загрузка

Многоугольники

Если площадь правильного треугольника равна $$3\sqrt{3}$$, то его периметр равен:

  1. Площадь правильного треугольника со стороной $$a$$ находят по формуле: $$S=\frac{\sqrt3a^2}{4}$$.
  2. Периметр правильного треугольника со стороной $$a$$ находят по формуле: $$P=3a$$.

  1. Так как $$S=\frac{\sqrt3a^2}{4}$$, то $$3\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$$, откуда $$a^2=3\cdot4$$, $$a=2\sqrt{3}$$.
  2. Тогда $$P=3a=6\sqrt{3}$$.

Треугольник называют правильным, если все его стороны и все углы равны.

Выберите один из вариантов

Если стороны треугольника относятся как 3 : 2 : 1,5, а его полупериметр равен 13, то площадь треугольника равна:

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона: $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$,
где $$a$$, $$b$$, $$c$$ – стороны, $$p=\frac{a+b+c}{2}$$ – полупериметр треугольника.

  1. Пусть коэффициент пропорциональности равен $$k$$. Тогда:
    $$a=3k$$, $$b=2k$$, $$c=1,5k$$.
    Так как полупериметр треугольника равен $$13$$, то $$13=\frac{3k+2k+1,5k}{2}$$,
    $$6,5k=26$$,
    $$13k=26\cdot2$$,
    $$k=4$$.
    Запишем стороны треугольника:
    $$a=3k=12$$,
    $$b=2k=8$$,
    $$c=1,5k=6$$.
  2. По формуле Герона:
    $$S=\sqrt{13(13-12)(13-8)(13-6)}=\sqrt{13\cdot 1\cdot 5\cdot 7}=\sqrt{455}$$.

Площадь треугольника можно найти и по другим формулам, например, по формуле:

$$S=\frac{1}{2}ah_a$$, где $$a$$ – сторона, $$h_a$$ – высота, проведенная к стороне $$a$$.

Но, если известны все стороны треугольника, то целесообразно применять формулу Герона.

Выберите один из вариантов

Если площадь квадрата равна 24, то половина его диагонали равна:

  1. Квадратом называют четырехугольник, у которого все стороны равны, а все углы прямые.
  2. Диагонали квадрата равны.
  3. Площадь квадрата можно вычислить по формуле:

    $$S=\frac{1}{2}d^2$$, где $$d$$–диагональ.

Так как $$S=24$$, то

$$\frac{1}{2}d^2=24$$,

$$d^2=48$$,

$$d=4\sqrt{3}$$.

Тогда, $$\frac{d}{2}=2\sqrt3$$.

Площадь квадрата можно вычислить и по другой формуле:

$$S=a^2$$, где $$a$$ – сторона квадрата.

Выберите один из вариантов

Если смежные стороны прямоугольника относятся как 4 : 3, а его площадь равна 27, то периметр этого прямоугольника равен:

  1. Прямоугольником называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, а все углы – прямые. Противолежащие стороны прямоугольника попарно равны.
  2. Периметр прямоугольника можно вычислить по формуле:

    $$P=2\cdot(a+b)$$, где $$a$$ и $$b$$ – его смежные стороны.
  3. Площадь прямоугольника можно вычислить по формуле:

    $$S=ab$$.

  1. Пусть коэффициент пропорциональности равен $$k$$. Тогда, $$a=4k$$, а $$b=3k$$.
  2. Так как $$S=27$$, то $$4k\cdot3k=27$$, $$4k^2=9$$, $$k=1,5$$.
  3. Тогда, $$a=6$$, $$b=4,5$$, а $$P=2\cdot(6+4,5)=21$$.

Смежными называют стороны прямоугольника (многоугольника), имеющие общую вершину.

Выберите один из вариантов

Если диагонали параллелограмма соответственно равны $$8$$ и $$\sqrt{34}$$, его периметр равен $$16$$, а острый угол составляет $$45^o$$, то площадь параллелограмма равна:

  1. Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
  2. Периметр параллелограмма можно вычислить по формуле:

    $$P=2(a+b)$$,

    где $$a$$ и $$b$$ – его смежные стороны.
  3. Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле:

    $$S=absin\alpha$$,

    где $$a$$ и $$b$$ – его смежные стороны, $$\alpha$$ – величина одного из его углов.
  4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон:

    $$d^2_1+d^2_2=2a^2+2b^2$$.
  5. Формула квадрата суммы (разности):

    $$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$$.

  1. Так как $$P=16$$, то $$2(a+b)=16$$ и $$a+b=8$$.
  2. По свойству диагоналей параллелограмма:

    $$64+34=2a^2+2b^2$$, $$a^2+b^2=50$$.
  3. Возведем равенство $$a+b=8$$ в квадрат:

    $$a^2+2ab+b^2=64$$.

    Так как $$a^2+b^2=50$$, то $$2ab+50=64$$ и $$ab=7$$.
  4. Тогда, $$S=absin45^o=7\cdot\frac{\sqrt2}{2}=3,5\sqrt2$$.

Противолежащие стороны параллелограмма попарно равны.

Выберите один из вариантов

Если одна из диагоналей ромба равна 1 и равна его боковой стороне, то высота ромба равна:

  1. Ромбом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны и все его стороны равны.
  2. Площадь ромба можно вычислить формулам:

    $$S=ah_a$$ или $$S=a^2sin\alpha$$,

    где $$a$$ – сторона ромба, $$h_a$$ – высота ромба, проведенная к этой стороне, $$\alpha$$ – величина одного из его углов.

  1. Так как $$AB=AC=1$$, то треугольник $$ABC$$ – равносторонний (рис. 8.5). Следовательно, имеем ромб со стороной 1 и углом $$60^o$$.
  2. Тогда, $$S=1^2sin60^o=\frac{\sqrt3}{2}=0,5\sqrt3$$.

    С другой стороны $$S=ah_a$$.

    Поэтому $$0,5\sqrt3=1\cdot h_a$$, $$h_a=0,5\sqrt3$$.

Все углы равностороннего треугольника равны $$60^o$$.

Выберите один из вариантов

Если высота равнобокой трапеции равна 2 см и в полтора раза меньше ее средней линии, а диагонали пересекаются под прямым углом, то сумма их длин равна:

  1. Трапецией называют четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.
    Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.
  2. Трапеция является равнобокой, если длины ее боковых (не параллельных) сторон равны.
  3. Площадь трапеции можно вычислить по формулам:
    $$S=\frac{1}{2}(a+b)h$$ или $$S=\frac{1}{2}d_1d_2sin\varphi$$,
    где $$a$$, $$b$$ – основания,
    $$h$$ – высота трапеции,
    $$d_1$$, $$d_2$$ – диагонали,
    $$\varphi$$ – угол между диагоналями.
  4. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
    Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.

  1. Так как $$h=2$$,
    а $$a+b=2\cdot\frac{3}{2}=3$$,
    то $$S=\frac{1}{2}\cdot3\cdot2=3$$.
  2. Так как $$d_1=d_2$$ и $$S=\frac{1}{2}d^2sin90^o$$,
    то $$3=\frac{1}{2}d^2\cdot1$$,
    $$d^2=6$$,
    $$d_1=d_2=\sqrt6$$.
  3. Тогда, $$d_1+d_2=2\sqrt6$$.

Диагонали равнобокой (равнобедренной) трапеции равны.

Выберите один из вариантов

Если площадь правильного шестиугольника равна $$6\sqrt6$$, то периметр этого шестиугольника равен:

  1. Площадь правильного шестиугольника со стороной $$a$$ находят по формуле:

    $$S=\frac{3\sqrt3a^2}{2}$$.
  2. Периметр правильного шестиугольника со стороной $$a$$ находят по формуле:

    $$P=6a$$.

  1. Зная площадь шестиугольника, найдем его сторону:

    $$\frac{3\sqrt3a^2}{2}=6\sqrt6$$, $$\frac{a^2}{2}=2\sqrt2$$, $$a^2=4\sqrt2$$, $$a=2\sqrt[4]{2}$$.

  2. Найдем периметр шестиугольника:

    $$P=12\sqrt[4]{2}$$.

  1. Многоугольник называется правильным, если все его стороны и все его углы равны.
  2. Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников.

Выберите один из вариантов

Если боковая сторона равнобедренного треугольника равна $$\sqrt{34}$$, а его основание равно $$\sqrt{15}$$, то медиана, проведенная боковой стороне этого треугольника, равна:

  1. Если две стороны треугольника равны, то треугольник равнобедренный. Стороны, имеющие одинаковую длину, называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием этого треугольника. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
  2. Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон:

    $$d^2_1+d^2_2=2a^2+2b^2$$.

  1. Рассмотрим треугольник $$ABC$$ с боковыми сторонами $$AB=BC=\sqrt{34}$$ и медианой $$AO=x$$ (рис. 8.6).
  2. Достроим треугольник $$ABC$$ до параллелограмма $$ABDC$$.

    По свойству диагоналей параллелограмма получим:

    $$AD^2+BC^2=2AB^2+2AC^2$$,

    $$4x^2+34=2\cdot34+2\cdot15$$,

    $$4x^2=34+30$$, откуда $$x=4$$.

В равнобедренном треугольнике различайте медиану, проведенную к основанию треугольника, которая является его биссектрисой и высотой, и медиану, проведенную к боковой стороне треугольника, которая этим свойствами не обладает.

Введите ответ в поле

Если площади двух подобных треугольников относятся как 4 : 9, а разность их сходственных сторон равна 18, то сумма длин этих сторон равна:

  1. Два треугольника подобны, если их соответственные углы равны, а стороны – пропорциональны.
  2. Площади подобных треугольников (многоугольников) пропорциональны квадратам их соответственных линий.

  1. Пусть сторона одного треугольника равна $$x$$, а сходственная сторона подобного ему треугольника равна $$x+8$$. Тогда: $$\frac{x^2}{(x+8)^2}=\frac{S_1}{S_2}$$,

    $$\frac{x^2}{{x+8}^2}=\frac{4}{9}$$, откуда $$\frac{x}{(x+8)}=\frac{2}{3}$$, $$3x=2x+16$$, $$x=16$$.
  2. Найдем сумму длин сходственных сторон треугольников:

    $$16+24=40$$.

Сходственными называют пары пропорциональных сторон (или других линий) подобных треугольников.

Введите ответ в поле