1. Трапецией называют четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.
   Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.
2. Трапеция является равнобокой, если длины ее боковых (не параллельных) сторон равны.
3. Площадь трапеции можно вычислить по формулам:
   $$S=\frac{1}{2}(a+b)h$$ или $$S=\frac{1}{2}d_1d_2\sin\varphi$$,
   где $$a$$, $$b$$ – основания, $$h$$ – высота трапеции, $$d_1$$, $$d_2$$ – диагонали, $$\varphi$$ – угол между диагоналями.
4. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
5. Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований:
   $$l=\frac{a+b}{2}$$.

1. Так как $$h=\sqrt{2}$$, то $$l=\sqrt{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{\sqrt{2}}$$. 
2. Найдем площадь трапеции: 
   $$S=\frac{1}{2}(a+b)h$$, $$S=l\cdot h$$, $$S=\frac{3}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2}=3$$.
3. Так как трапеция равнобокая (рис. 9), то треугольники $$BAD$$ и $$CDA$$ равны по двум сторонам и углу между ними ($$BA=CD$$, $$\angle A=\angle D$$, сторона $$AD$$ - общая).
   Следовательно, $$d_1=d_2$$. Тогда: $$S=\frac{1}{2}d^2\sin90^{\circ}$$.
   Решим уравнение: 
   $$3=\frac{1}{2}d^2\cdot 1$$, $$d^2=6$$, $$d_1=d_2=\sqrt6$$.
4. Найдем сумму длин диагоналей: $$d_1+d_2=2\sqrt6$$.
                                                              

Диагонали равнобокой (равнобедренной) трапеции равны.

1. Площадь правильного треугольника со стороной $$a$$ находят по формуле:
   $$S=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$$. 
2. Площадь квадрата с диагональю $$d$$ находят по формуле:
    $$S=\frac{1}{2}d^2$$.

1. Так как площадь треугольника $$S=\frac{\sqrt3a^2}{4}$$, то
   $$3\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$$, откуда $$a^2=3\cdot4$$, $$a=2\sqrt{3}$$ - сторона треугольника. 
2. Так как диагональ квадрата $$d=2\sqrt{3}$$, то площадь квадрата равна:
   $$S=\frac{1}{2}d^2$$, $$S=\frac{1}{2}\cdot 12=6$$.

1. Треугольник называют правильным, если все его стороны и все углы равны (рис. 1). 
   
2. Квадратом называют четырехугольник, у которого все стороны равны, а все углы прямые (рис. 2). 
3. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом. 
4. Площадь квадрата со стороной $$a$$ можно найти по формуле: $$S=a^2$$.
                                                          

1. Два треугольника подобны, если их соответственные углы равны, а стороны – пропорциональны.
2. Площади подобных треугольников (многоугольников) пропорциональны квадратам их соответственных линий.

1. Пусть сторона одного треугольника равна $$x$$, а сходственная сторона подобного ему треугольника равна $$x+8$$ (рис. 7). Тогда: 
   $$\frac{x^2}{(x+8)^2}=\frac{S_1}{S_2}$$, $$\frac{x^2}{{x+8}^2}=\frac{4}{9}$$, 
   $$\frac{x}{(x+8)}=\frac{2}{3}$$, $$3x=2x+16$$, откуда $$x=16$$.
2. Найдем сумму длин сходственных сторон треугольников: 
   $$16+24=40$$.
                                                                 

Сходственными называют пары пропорциональных сторон (или других линий) подобных треугольников.

1. Формула Герона:
   $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$,
   где $$a$$, $$b$$, $$c$$ – стороны, $$p=\frac{a+b+c}{2}$$ – полупериметр треугольника. 
2. Площадь треугольника ($$a$$ – сторона, $$h$$ – высота, проведенная к стороне $$a$$):
   $$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$.

1. Рассмотрим трапецию $$ABCD$$ (рис. 10).
   На продолжении стороны $$AD$$ отложим отрезок $$DC_1$$, равный отрезку $$BC=5$$.
   Тогда имеем параллелограмм $$DBCC_1$$, так как $$BC=DC_1=5$$ и $$BC||DC_1$$. Значит, $$BD=CC_1=14$$. 
2. Так как $$S_{ABC}=S_{CDC_1}$$ ($$BC=DC=5$$, $$S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot h$$), то $$S_{ABCD}=S_{ACC_1}$$ (рис. 11). 
3. Площадь треугольника $$ACC_1$$ найдем по формуле Герона:
   $$p=\frac{13+14+15}{2}=21$$,
   $$S=\sqrt{21 (21-13)(21-14)(21-15}$$, $$S=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}$$, $$S=\sqrt{4^2\cdot 3^2\cdot 7^2}=84$$.
       

1. Если у выпуклого четырехугольника две противолежащие стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 
2. Если у выпуклого четырехугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 
3. Если у выпуклого четырехугольника противолежащие углы попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 
4. Если у выпуклого четырехугольника диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

1. Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
2. Периметр параллелограмма можно вычислить по формуле: 
   $$P=2(a+b)$$, где $$a$$ и $$b$$ – его смежные стороны.
3. Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле: 
   $$S=ab\cdot \sin\alpha$$, 
   где $$a$$ и $$b$$ – его смежные стороны, $$\alpha$$ – величина одного из его углов.
4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон: 
   $$d^2_1+d^2_2=2a^2+2b^2$$.
5. Формула квадрата суммы (разности): 
   $$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$$.

1. Так как $$P=16$$, то $$2(a+b)=16$$ и $$a+b=8$$ (рис. 3).
2. По свойству диагоналей параллелограмма: 
   $$64+34=2a^2+2b^2$$, откуда $$a^2+b^2=50$$.
3. Возведем равенство $$a+b=8$$ в квадрат: $$a^2+2ab+b^2=64$$. 
   Так как $$a^2+b^2=50$$, то $$2ab+50=64$$ и $$ab=7$$.
4. Найдем площадь параллелограмма:
   $$S=7\cdot \sin45^{\circ}=\frac{7\sqrt2}{2}=3,5\sqrt2$$.
                                                              

Противолежащие стороны параллелограмма попарно равны.

1. Ромбом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны и все его стороны равны.
2. Площадь ромба можно вычислить формулам: 
   $$S=ah_a$$ или $$S=a^2\sin\alpha$$, 
   где $$a$$ – сторона ромба, $$h_a$$ – высота ромба, проведенная к этой стороне, $$\alpha$$ – величина одного из его углов.

1. Так как $$AB=AC=1$$, то треугольник $$ABC$$ – равносторонний (рис. 1).
   Следовательно, имеем ромб со стороной $$1$$ и углом $$60^{\circ}$$.
2. Тогда, $$S=1^2\cdot\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}=0,5\sqrt3$$. 
3. С другой стороны, $$S=a\cdot h_a$$. 
   Поэтому $$0,5\sqrt3=1\cdot h_a$$, откуда $$h_a=0,5\sqrt3$$.

Все углы равностороннего треугольника равны $$60^{\circ}$$.

1. Площадь правильного шестиугольника со стороной $$a$$ находят по формуле: 
   $$S=\frac{3\sqrt3a^2}{2}$$.
2. Периметр правильного шестиугольника со стороной $$a$$ находят по формуле: 
   $$P=6a$$.

1. Зная площадь шестиугольника, найдем его сторону:

   $$\frac{3\sqrt3a^2}{2}=6\sqrt6$$, $$\frac{a^2}{2}=2\sqrt2$$, $$a^2=4\sqrt2$$, $$a=2\sqrt[4]{2}$$.

2. Найдем периметр шестиугольника: 
   $$P=12\sqrt[4]{2}$$.

1. Многоугольник называется правильным, если все его стороны и все его углы равны.
2. Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников (рис. 5).
                                                                          

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона: 

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$,

где $$a$$, $$b$$, $$c$$ – стороны, $$p=\frac{a+b+c}{2}$$ – полупериметр треугольника.

1. Пусть коэффициент пропорциональности равен $$k$$.
    Запишем стороны треугольника: $$a=3k$$, $$b=2k$$, $$c=1,5k$$. 
2. Так как полупериметр треугольника равен $$13$$, то
   $$13=\frac{3k+2k+1,5k}{2}$$, $$6,5k=26$$, $$13k=26\cdot 2$$, $$k=4$$. 
3. Найдем стороны треугольника:
   $$a=3k=12$$, $$b=2k=8$$, $$c=1,5k=6$$. 
4. 2. По формуле Герона найдем площадь треугольника:
   $$S=\sqrt{13(13-12)(13-8)(13-6)}=\sqrt{455}$$.

Площадь треугольника можно найти и по другим формулам, например, по формуле:

$$S=\frac{1}{2}ah_a$$, 

где $$a$$ – сторона, $$h_a$$ – высота, проведенная к стороне $$a$$.

1. Прямоугольником называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, а все углы – прямые. Противолежащие стороны прямоугольника попарно равны.
2. Периметр прямоугольника можно вычислить по формуле: 
   $$P=2\cdot(a+b)$$, где $$a$$ и $$b$$ – его смежные стороны.
3. Площадь прямоугольника можно вычислить по формуле: 
   $$S=a\cdot b$$.

1. Пусть коэффициент пропорциональности равен $$k$$.
   Запишем смежные стороны прямоугольника:  $$a=4k$$, а $$b=3k$$.
2. Так как $$S=27$$, то $$4k\cdot 3k=27$$, $$4k^2=9$$, $$k=1,5$$.
   Тогда, $$a=6$$, $$b=4,5$$.
3.  Найдем периметр прямоугольника: $$P=2\cdot(6+4,5)=21$$.

Смежными называют стороны прямоугольника (многоугольника), имеющие общую вершину.

1. Если две стороны треугольника равны, то треугольник равнобедренный. Стороны, имеющие одинаковую длину, называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием этого треугольника. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
2. Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон: 
   $$d^2_1+d^2_2=2a^2+2b^2$$.

1. Рассмотрим треугольник $$ABC$$ с боковыми сторонами $$AB=BC=\sqrt{34}$$ и медианой $$AO=x$$ (рис. 6).
2. Достроим треугольник $$ABC$$ до параллелограмма $$ABDC$$. 
   По свойству диагоналей параллелограмма получим: 
   $$AD^2+BC^2=2AB^2+2AC^2$$, 
   $$4x^2+34=2\cdot34+2\cdot15$$, $$4x^2=34+30$$, откуда $$x=4$$.

 

В равнобедренном треугольнике различайте медиану, проведенную к основанию треугольника, которая является его биссектрисой и высотой, и медиану, проведенную к боковой стороне треугольника, которая этим свойствами не обладает.