Загрузка

Окружность и круг

Если площадь круга равна $$3,14^2$$, то длина окружности, огранивающей этот круг, равна:

  1. Длина окружности радиуса $$R$$:

    $$C=2\pi R$$.
  2. Площадь круга радиуса $$R$$:

    $$S=\pi R^2$$.

  1. Так как $$S=3,14^2$$, то

    $$\pi R^2=3,14^2$$, $$R^2=\frac{3,14^2}{\pi}$$, $$R=\frac{3,14}{\sqrt\pi}$$.
  2. Тогда, $$C=\frac{2\pi\cdot 3,14}{\sqrt\pi}=6,28\sqrt\pi$$.

    Число $$\pi$$– иррациональное: $$\pi=3,14159...$$, но $$\pi\neq 3,14$$.

Выберите один из вариантов

Вписанный и центральный углы окружности диаметра $$10$$ опираются на одну и ту же дугу $$AC$$. Если вписанный угол равен $$30^o$$, то длина дуги $$AC$$ равна:

  1. Угол называется центральным, если его вершина лежит в центре окружности, а стороны являются радиусами окружности. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.
  2. Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны являются непересекающимися хордами этой окружности. Вписанный в окружность угол равен половине соответствующего ему центрального угла.
  3. Длина дуги окружности радиуса $$R$$ c центральным углом $$n^o$$:

    $$l=\frac{2\pi R}{360^o}n^o$$.

  1. Если $$\angle ABC=30^o$$, то $$\angle AOC=60^o$$ (рис. 8.7).
  2. Найдем длину дуги $$AC$$:

    $$l=\frac{2\pi \cdot 5 \cdot 60^o}{360^o}=\frac{2\pi \cdot5}{6}=\frac{5\pi}{3}$$.

Диаметр окружности состоит из двух ее радиусов: $$D=2R$$.

Выберите один из вариантов

Если длина дуги кругового сектора с центральным углом $$120^o$$ равна $$\frac{4\pi}{3}$$, то, площадь кругового сектора, ограниченного этой дугой, равна:

  1. Длина дуги окружности радиуса $$R$$ c центральным углом в $$n^o$$:

    $$l=\frac{2\pi R}{360^o}n^o$$.
  2. Площадь кругового сектора радиуса $$R$$ с центральным углом в $$n^o$$:

    $$S_{c}=\frac{\pi R^{2}}{360^{\circ}}n^{\circ}$$.

  1. Зная длину дуги, запишем:

    $$\frac{2\pi R}{360^o}\cdot 120^o=\frac{4\pi}{3}$$, $$\frac{2R}{3}=\frac{4}{3}$$, откуда $$R=2$$.
  2. Найдем площадь сектора:

    $$S_{c}=\frac{4\pi}{360^{\circ}}\cdot 120^{\circ}=\frac{4\pi }{3}$$.

Круговым сектором называют часть круга, ограниченного центральным углом и дугой, на которую опирается этот угол.

Выберите один из вариантов

Если вписанный в окружность угол $$ACB$$, одна из сторон которого проходит через диаметр окружности, равный $$8$$, равен $$60^0$$, то площадь сегмента, отсекаемого от круга хордой $$AB$$, равна:

  1. Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны являются непересекающимися хордами этой окружности.
  2. Круговым сегментом называют часть круга, ограниченного хордой и дугой окружности, стягивающей эту хорду.
  3. Площадь кругового сектора радиуса $$R$$ с центральным углом $$n^o$$:

    $$S_{c}=\frac{\pi R^{2}}{360^{\circ}}n^{\circ}$$.
  4. Площадь треугольника:

    $$S=\frac{1}{2}absin\alpha$$,

    где $$a$$ и $$b$$ – стороны треугольника, $$\alpha$$ – угол между ними.

  1. Если диаметр окружности равен $$8$$, то ее радиус равен $$4$$. Треугольник $$COB$$ – равносторонний с углами $$60^o$$ (рис. 8.8). Следовательно, $$\angle BOA=180^o-60^o=120^o$$ (как смежный с углом $$COB$$).
  2. Найдем площадь сектора $$BOAD$$:

    $$S_{c}=\frac{16\pi}{360^{\circ}}\cdot 120^{\circ}=\frac{16\pi}{3}$$.
  3. Найдем площадь треугольника $$BOA$$:

    $$S_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot sin120^o=8 \cdot \frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3$$.
  4. Найдем площадь сегмента $$BAD$$:

    $$S_{c}-S_{\Delta }=\frac{16\pi}{3}-4\sqrt{3}=\frac{16\pi -12\sqrt{3}}{3}$$.

  1. Сумма смежных углов равна $$180^o$$.
  2. Длина радиуса окружности равна половине длины его диаметра.

Выберите один из вариантов

Через точку $$P$$, лежащую внутри круга, проведен диаметр$$AB$$ и хорда $$CD=13$$. Если $$BP=3$$, а радиус окружности равен $$7,5$$, то длина большего из отрезков, на которые точка $$P$$ делит хорду $$CD$$, равна:

  1. Хордой называют отрезок, соединяющий две точки окружности.
  2. Диаметром окружности называют хорду, проходящую через центр окружности.
  3. Свойство пересекающихся хорд . Если через точку $$P$$, лежащую внутри окружности, проведены две хорды $$AB$$ и $$CD$$, то произведения отрезков хорд равны: $$AP\cdot BP=CP\cdot DP$$.

  1. Если радиус окружности равен $$7,5$$, то диаметр $$AB$$ равен $$15$$.
    Тогда $$AP=AB-PB=12$$ (рис. 8.9).
  2. Пусть $$CP=x$$, тогда $$DP=13-x$$.
    По свойству пересекающихся хорд:
    $$AP \cdot BP=CP \cdot DP$$ или $$12 \cdot3=x \cdot(13-x)$$,
    $$13x-x^2-36=0$$,
    $$x^2-13x+36=0$$,
    откуда $$x=4$$ или $$x=9$$.
    Следовательно, длина большего из отрезков, на которые точка $$P$$ делит хорду $$CD$$,
    равна $$9$$.

Длина радиуса окружности равна половине длины ее диаметра.

Выберите один из вариантов

К окружности из одной точки проведены касательная и секущая так, что длина касательной в два раза меньше длины секущей. Если внутренний отрезок секущей равен 4, то длина касательной равна:

Свойство касательной и секущей: если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению секущей и ее внешней части.

На рисунке 8.10:
$$AB$$ – касательная, а $$AD$$ – секущая, причем $$CD=4$$.

Пусть $$AC=x$$. Тогда: $$AD=x+4$$, $$AB=\frac{x+4}{2}$$.
По свойству касательной и секущей:
$$AB^2=AD \cdot AC$$ или $$\left ( \frac{x+4}{2} \right )^2=(x+4)x$$,

$$(x+4)^2=4(x+4)x$$,

$$x+4=4x$$, $$x=\frac{4}{3}$$.

Следовательно, $$AB=\frac{\frac{4}{3}+4}{2}=\frac{4+12}{6}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}$$.

  1. Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку.
  2. Секущей называют прямую, имеющую с окружностью две общие точки.
  3. Деление уравнения $$(x+4)^2=4(x+4)x$$ на множитель $$x+4$$ в данном случае допустимо, так как мы теряем корень уравнения $$x=-4$$, который для нас посторонний.

Выберите один из вариантов

В правильный треугольник вписана окружность и около него описана окружность. Если сторона треугольника равна $$\sqrt6$$, то площадь образовавшегося кольца равна:

  1. Окружность вписана в $$n$$-угольник, если она касается всех его сторон.
  2. Если $$R$$ – радиус описанной, $$r$$ – радиус вписанной окружности, то для равностороннего треугольника со стороной $$a$$:

    $$R=\frac{a}{\sqrt3}$$, $$r=\frac{a}{2\sqrt3}$$.
  3. Площадь круга радиуса $$R$$:

    $$S=\pi R^2$$.

Так как $$a=\sqrt6$$, то $$R=\frac{\sqrt6}{\sqrt3}=\sqrt2$$, а $$r=\frac{\sqrt6}{2\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt2}$$.

Тогда: $$S_1=\pi R^2=2\pi$$, а $$S_2=\pi r^2=0,5\pi$$.

Найдем площадь кольца:

$$S_1-S_2=2\pi-0,5\pi=1,5\pi$$.

В любой треугольник можно вписать окружность.

Выберите один из вариантов

В прямоугольную трапецию вписана окружность, которая в точке касания делит ее боковую сторону на отрезки 3 и 4. Если радиус окружности равен 3, то средняя линия трапеции равна:

  1. Окружность вписана в $$n$$-угольник, если она касается всех его сторон.
  2. В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы длин его противолежащих сторон равны.
  3. Если в трапецию высоты $$h$$ можно вписать окружность радиуса $$r$$, то $$h=2r$$.
  4. Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований.

  1. Согласно условию задачи и рисунку 8.11, запишем:

    $$CD=7$$, $$h=2r=AB=6$$.
  2. По свойству четырехугольника, описанного около окружности, получим:

    $$AB+DC=BC+AD$$,

    $$6+7=BC+AD$$,

    $$BC+AD=13$$.
  3. Найдем среднюю линию трапеции:

    $$\frac{BC+AD}{2}=\frac{13}{2}=6,5$$.

Окружность нельзя вписать в прямоугольник и параллелограмм, но можно вписать в квадрат и в ромб.

Выберите один из вариантов

Если окружность, центр которой расположен на большей стороне треугольника, делит эту сторону на отрезки 4 и 8 и касается двух других его сторон, длина одной из которых равна 5, то периметр треугольника равен:

  1. Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы его внутреннего угла, заключенный между вершиной треугольника и точкой пересечения биссектрисы угла и стороны треугольника.
  2. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Случай 1. Согласно свойству биссектрисы треугольника (рис.8.12) запишем:

$$\frac{5}{4}=\frac{x}{8}$$, откуда $$x=10$$.

Тогда, $$P=5+10+12=27$$.

Случай 2. Аналогично (рис. 8.13) $$\frac{x}{4}=\frac{5}{8}$$, откуда $$x=2,5$$, что не возможно, так как $$2,5+5<4+8$$.

Длина стороны треугольника должна быть меньше суммы длин двух других его сторон.

Введите ответ в поле

Если разность между площадью квадрата и площадью описанного около него круга равна

$$4\pi-8$$, то длина гипотенузы прямоугольного треугольника, вписанного в этот круг, равна:

  1. Площадь круга радиуса $$R$$ находят по формуле:

    $$S=\pi R^2$$.
  2. Площадь квадрата с диагональю $$d$$ находят по формуле:

    $$S=\frac{1}{2}d^2$$.
  3. Радиус окружности, описанной около квадрата с диагональю $$d$$ находят по формуле:

    $$R=\frac{d}{2}$$.
  4. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с гипотенузой $$c$$ находят по формуле:

    $$R=\frac{c}{2}$$.

  1. Согласно условию задачи:

    $$S_{kr}-S_{kv}=4\pi-8$$, $$\pi R^2-\frac{1}{2}d^2=4\pi-8$$.
    Так как $$d=2R$$, то

    $$\pi R^2-\frac{1}{2}\cdot 4R^2=4\pi-8$$,

    $$\pi R^2-2R^2=4\pi-8$$,

    $$R^2(\pi-2)=4(\pi-2)$$,

    $$R^2=4$$, $$R=2$$.
  2. Найдем гипотенузу треугольника, вписанного в эту окружность:
    $$c=2R=4$$.

Свойства описанной окружности:

  1. около любого треугольника можно описать окружность;
  2. около четырехугольника можно описать окружность, если суммы его противолежащих углов равны.

Введите ответ в поле