1. Длина окружности радиуса $$R$$: 
   $$C=2\pi R$$.
2. Площадь круга радиуса $$R$$: 
   $$S=\pi R^2$$.

1. Так как площадь круга $$S=3,14^2$$, то $$\pi R^2=3,14^2$$, $$R^2=\frac{3,14^2}{\pi}$$, $$R=\frac{3,14}{\sqrt\pi}$$ - радиус круга.
2. Длина окружности: $$C=\frac{2\pi\cdot 3,14}{\sqrt\pi}=6,28\sqrt\pi$$.

Число $$\pi$$ – иррациональное: 

$$\pi=3,14159...$$, но $$\pi\neq 3,14$$.

1. Хордой называют отрезок, соединяющий две точки окружности.
2. Диаметром окружности называют хорду, проходящую через центр окружности.
3. Свойство пересекающихся хорд. Если через точку $$P$$, лежащую внутри окружности, проведены две хорды $$AB$$ и $$CD$$, то произведения отрезков хорд равны: 
   $$AP\cdot BP=CP\cdot DP$$.

1. Если радиус окружности равен $$7,5$$, то диаметр $$AB$$ равен $$15$$.
   Тогда $$AP=AB-PB=12$$ (рис. 4).

2. Пусть $$CP=x$$, тогда $$DP=13-x$$.
   По свойству пересекающихся хорд:
   $$AP \cdot BP=CP \cdot DP$$, $$12 \cdot3=x \cdot(13-x)$$,
   $$13x-x^2-36=0$$, $$x^2-13x+36=0$$, откуда $$x=4$$ или $$x=9$$.
   Следовательно, длина большего из отрезков, на которые точка $$P$$ делит хорду $$CD$$, равна $$9$$.

Длина радиуса окружности равна половине длины ее диаметра.

1. Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку. 
2. Секущей называют прямую, имеющую с окружностью две общие точки.
3. Свойство касательной и секущей: если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению секущей и ее внешней части.

На рисунке 5: $$AB$$ – касательная, $$AD$$ – секущая, $$CD=4$$ - внутренняя часть секущей, $$AC$$ - внешняя часть секущей.

1. Пусть $$AC=x$$. Тогда: $$AD=x+4$$, $$AB=\frac{x+4}{2}$$. 
   По свойству касательной и секущей:
   $$AB^2=AD \cdot AC$$, $$\left ( \frac{x+4}{2} \right )^2=(x+4)x$$, $$(x+4)^2=4(x+4)x$$, $$x+4=4x$$, откуда $$x=\frac{4}{3}$$. 
2. Длина касательной:
   $$AB=\frac{\frac{4}{3}+4}{2}=\frac{4+12}{6}=\frac{8}{3}$$.

1. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается. 
2. Вписанный в окружность угол равен половине соответствующего ему центрального угла.

1. Случай 1 (рис. 8). $$\angle AOC = 40^{\circ} + 80^{\circ}=120^{\circ}$$.
   Тогда, $$\angle AKC =\frac{1}{2} \cdot \angle AOC = 60^{\circ}$$. 
2.  Случай 2 (рис. 49. $$\angle AOC=40^{\circ}$$.
   Тогда, $$\angle AKC = \frac{1}{2} \cdot \angle AOC =20^{\circ}$$.
                                                                

1. Угол называется центральным, если его вершина лежит в центре окружности, а стороны являются радиусами окружности. 
2. Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны являются непересекающимися хордами этой окружности.

1. Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны являются непересекающимися хордами этой окружности.
2. Круговым сегментом называют часть круга, ограниченного хордой и дугой окружности, стягивающей эту хорду.
3. Площадь кругового сектора радиуса $$R$$ с центральным углом $$n^{\circ}$$: 
   $$S_{c}=\frac{\pi R^{2}}{360^{\circ}}n^{\circ}$$.
4. Площадь треугольника: 
   $$S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha$$, 
   где $$a$$ и $$b$$ – стороны треугольника, $$\alpha$$ – угол между ними.

1. Если диаметр окружности равен $$8$$, то ее радиус равен $$4$$.
   Треугольник $$COB$$ – равносторонний с углами $$60^{\circ}$$ (рис. 3). Следовательно, $$\angle BOA=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$$ (как смежный с углом $$COB$$).

2. Найдем площадь сектора $$BOAD$$: 
   $$S_{c}=\frac{16\pi}{360^{\circ}}\cdot 120^{\circ}=\frac{16\pi}{3}$$.
3. Найдем площадь треугольника $$BOA$$: 
   $$S_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot \sin120^{\circ}$$, $$S_{\Delta}=8 \cdot \frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3$$.
4. Найдем площадь сегмента $$BAD$$: 
   $$S=S_{c}-S_{\Delta }$$, $$S=\frac{16\pi}{3}-4\sqrt{3}$$, $$S=\frac{16\pi -12\sqrt{3}}{3}$$.

1. Сумма смежных углов равна $$180^{\circ}$$.
2. Длина радиуса окружности равна половине длины его диаметра.

1. Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку. 
2. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу окружности в точке касания. 
3. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла. 
4. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, является высотой и медианой треугольника.

1. Так как $$OD=6$$, а $$PD=2$$, то $$OP=6-2=4$$. 
2. Так как $$\triangle OKP \sim \triangle OTA$$ (по двум углам), то:
   $$\frac{KP}{TA}=\frac{OP}{OA}$$, $$\frac{2}{TA}=\frac{4}{6}$$, откуда $$TA=3$$.
   Тогда, $$BA=6$$.

1. Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника равны двум углам другого. 
2. Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между ними, равны. 
3. Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого.

1. Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку. 
2. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу окружности в точке касания. 
3. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла. 
4. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. 
5. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов его катетов.

1. Так как $$AC$$ – биссектриса угла $$DAP$$, то $$\angle DAC = 30^{\circ}$$.
2. Тогда, $$tg 30^{\circ}=\frac{LB}{AL}$$, откуда $$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{LB}{2\sqrt{3}}$$, $$LB=2=r$$. 
3. По теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{AL^2+BL^2}$$, $$AB=\sqrt{12+4}=4$$.
   Тогда, $$AC=AB+r+R$$, $$AC=4+2+R=6+R$$. 
4. Так как $$\triangle ADC \sim \triangle ALB$$ (по двум углам), то:
   $$\frac{AC}{AB}=\frac{DC}{LB}$$, $$\frac{6+R}{4}=\frac{R}{2}$$, откуда $$R=6$$.

1. Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника равны двум углам другого. 
2. Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между ними, равны. 
3. Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого.

1. Длина дуги окружности радиуса $$R$$ c центральным углом в $$n^{\circ}$$: 
   $$l=\frac{2\pi R}{360^{\circ}}n^{\circ}$$.
2. Площадь кругового сектора радиуса $$R$$ с центральным углом в $$n^{\circ}$$: 
   $$S_{c}=\frac{\pi R^{2}}{360^{\circ}}n^{\circ}$$.

1. Зная длину дуги $$AC$$ (рис. 2), составим уравнение: 
   $$\frac{2\pi R}{360^{\circ}}\cdot 120^{\circ}=\frac{4\pi}{3}$$, $$\frac{2R}{3}=\frac{4}{3}$$, откуда $$R=2$$.
2. Найдем площадь сектора: 
   $$S_{c}=\frac{4\pi}{360^{\circ}}\cdot 120^{\circ}=\frac{4\pi }{3}$$.
                                                                        

Круговым сектором называют часть круга, ограниченного центральным углом и дугой, на которую опирается этот угол.

1. Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку.
2. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу окружности в точке касания. 
3. Длину окружности радиуса $$R$$ находят по формуле: $$C=2\pi R$$. 

1. Пусть $$R$$ – радиус большего круга, а $$r$$ – радиус меньшего круга, $$AB$$ – хорда, касающаяся меньшего круга.
   Тогда $$OD=r$$, $$OA=OB=OC=R$$ и $$OC=OD+DC$$.
   Так как ширина образовавшегося кольца равна $$6$$, то $$R-r=6$$, откуда $$r=R-6$$. 
2. Так как хорда $$AB$$ касается меньшего круга, то $$AB\perp OD$$.
   Тогда $$OD$$ высота и медиана равнобедренного треугольника $$AOB$$ и $$AD=BD=15$$. 
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ODB$$.
   По теореме Пифагора:
   $$OB^2=OD^2+BD^2$$, $$R^2=(R-6)^2+15^2$$, $$R^2=R^2-12R+36+225$$, $$12R=261$$, $$R=21,75$$. 
4. Найдем длину большей окружности:
   $$C=2\pi R$$, $$C=43,5\pi$$.