1. Площадь треугольника с катетами $$a$$ и $$b$$ находят по формуле:
   $$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$$. 
2. Объем призмы находят по формуле:
   $$V=S_{осн.}\cdot h$$, где $$h$$ – высота призмы.

1. Найдем катеты прямоугольного треугольника $$ABC$$ – основания призмы (рис. 10).
   По теореме Пифагора: $$c^2=a^2+a^2$$, $$50=2a^2$$, откуда $$a=5$$ (см). 
2. Найдем площадь основания призмы:
   $$S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 5=12,5$$ (см$$^2$$). 
3. Найдем объем призмы: $$V=12,5\cdot 6=75 (см$$^3$$).
                                                                   

1. Призмой называют многогранник, две грани которого равные $$n$$-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные $$n$$ граней – параллелограммы. 
2. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

1. Параллелепипедом называют призму, все грани которой параллелограммы.
2. Объем наклонной призмы высоты $$h$$ можно вычислить по формуле: 
   $$V=S$$_осн.$$\cdot h$$.
3. Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле: 
   $$S=a\cdot b\cdot \sin\alpha$$,
   где $$a$$ и $$b$$ – смежные стороны, $$\alpha$$ – острый угол параллелограмма.

1. Тогда, $$A_{1}O=3$$ (как катет, лежащий против угла $$30^{\circ}$$). 
2. Площадь основания параллелепипеда:
   $$S=3\sqrt{3}\sin60^{\circ}$$, $$S=3\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{2}$$. 
3. Объем параллелепипеда: $$V=\frac{9}{2}\cdot 3=13,5$$.

1. Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, заключенный между основаниями призмы. 
2. Если призма прямая, то ее боковые ребра – высоты.

1. Правильной призмой называют прямую призму, основанием которой является правильный многоугольник. 
2. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумму квадратов трех его измерений. 
3. Объем призмы находят по формуле:
   $$V=S_{осн.}\cdot h$$, где $$h$$ – высота призмы.

1. Так как отрезок $$AB_1$$ является проекцией диагонали призмы $$DB_1$$ на грань $$AA_{1}B_{1}B$$, то угол $$AB_{1}D$$ является углом наклона диагонали призмы к плоскости боковой грани и равен $$30^{\circ}$$.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AB_{1}D$$ ($$\angle B_{1}AD=90^{\circ}$$).
   По свойству катета, лежащего против угла $$30^{\circ}$$ получим: $$B_{1}D=AD=4$$. 
3.  Так как по свойству диагонали прямоугольного параллелепипеда
   $$d^2=AD^2+AB^2+AA_{1}^2$$, то $$16=4+4+h^2$$, $$h^2=8$$, $$h=2\sqrt{2}$$. 
4. Найдем объем призмы: $$V=2^2\cdot 2\sqrt{2}=8\sqrt{2}$$.

1. Измерениями прямоугольного параллелепипеда называют длины ребер, выходящих из одной вершины. 
2. Диагональю параллелепипеда называют отрезок, соединяющий две противоположные вершины.

1. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. 
2. Площадь прямоугольника равен произведению его смежных сторон.

1. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $$B_{1}C_{1}D$$:
   $$\sin45^{\circ}=\frac{a}{d}$$, откуда $$a=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 6=3\sqrt{2}$$ и $$C_{1}D=3\sqrt{2}$$. 
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$B_{1}A_{1}D$$:
   $$\sin30^{\circ}=\frac{b}{d}$$, откуда $$b=\frac{1}{2}\cdot 6=3$$. 
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$C_{1}CD$$.
   Из теоремы Пифагора: $$c=\sqrt{C_{1}D^{2}-b^{2}}$$, $$c=\sqrt{18-9}=3$$. 
4. Так как $$b\lt a$$, то $$S=c\cdot b$$, $$S=3\cdot 3=9$$.

1. Прямоугольным параллелепипедом называют прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник. 
2. Квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:
   $$d^2=a^2+b^2+c^2$$,
   где $$a$$, $$b$$, $$c$$ – длины ребер, выходящих из одной вершины, $$d$$ – диагональ параллелепипеда. 
3. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда находят по формуле:
   $$S=2S_{осн.}+S_{бок.}$$, где $$S_{бок.}=P_{осн.}\cdot h$$.

1. Пусть коэффициент пропорциональности равен $$k$$.
   Запишем измерения параллелепипеда (рис. 2):
   $$a=2k$$, $$b=3k$$ и $$c=4k$$. 
                                                                      
2. По свойству диагонали параллелепипеда:
   $$58=4k^{2}+9k^{2}+16k^{2}$$, $$29k^{2}=58$$, $$k^{2}=2$$, $$k=\sqrt{2}$$.
   Тогда: $$a=2\sqrt{2}$$, $$b=3\sqrt {2}$$, $$c=4\sqrt{2}$$. 
3. Найдем площадь основания параллелепипеда:
   $$S_{осн.}=a\cdot b$$, $$S_{осн.}= 2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}=12$$. 
4. Найдем площадь боковой поверхности параллелепипеда:
   $$S_{бок.}=2(a+b)\cdot c$$, $$S_{бок.}=2\cdot (2\sqrt{2}+3\sqrt{2})\cdot 4\sqrt{2}=80$$. 
5. Найдем полную поверхность параллелепипеда:
   $$S=2\cdot 12+80=104$$.

Длины ребер, выходящих из одной вершины параллелепипеда, называют его измерениями.

1. Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов длин его двух других сторон без удвоенного произведения длин этих сторон и косинуса угла между ними. 
2. Боковая поверхность параллелепипеда:
   $$S_{бок.} = P_{осн.} \cdot h$$, где $$h$$ – высота параллелепипеда.

1. Рассмотрим параллелограмм $$ABCD$$ (рис. 8).
    Так как $$\angle BAD=60^{\circ}$$, то $$\angle ADC = 180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}=\alpha$$.
2. По теореме косинусов:
   $$AC^2 = DA^2 + DC^2 - 2DA \cdot DC \cdot \cos \alpha$$, $$AC^2 = 4+9+12 \cdot 0,5=19$$, откуда $$AC=\sqrt{19}$$. 
3. Так как $$S_{AA_{1}C_{1}C} = AC \cdot h$$, то $$\sqrt{304}= \sqrt{19} \cdot h$$, откуда $$h=4$$. 
4. Найдем боковую поверхность параллелепипеда:
   $$S_{бок.} = P_{осн.} \cdot h$$, $$S_{бок.}=10 \cdot 4 = 40$$.
                                                                      

1. Диагональю параллелепипеда называют отрезок, соединяющий две противоположные вершины.
2. Диагональным сечением параллелепипеда называют сечение, содержащее диагональ параллелепипеда.

1. Формула Герона:
   $$S_{треуг.}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$,
   где $$a$$, $$b$$, $$c$$ - длины сторон треугольника, $$p=\frac{a+b+c}{2}$$ – полупериметр треугольника. 
2. Объем наклонной призмы:
   $$V=S_{сеч.}\cdot l$$,
   где $$l$$ – длина бокового ребра, $$S_{сеч.}$$ – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру.

1. По формуле Герона найдем площадь треугольника $$PNK$$.
   Так как $$p=\frac{2+3+4}{2}= \frac{9}{2}$$, то $$S=\sqrt{\frac{9}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}}= \frac{3\sqrt{15}}{4}$$. 
2. Найдем объем призмы:
   $$V= \frac{3\sqrt{15}}{4}\cdot \frac{8\sqrt{15}}{5}=18$$.

1. Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной $$a$$: 
   $$R=\frac{d}{2}$$.
2. Площадь квадрата со стороной $$a$$ и диагональю $$d$$: 
   $$S=a^{2}$$; $$S=\frac{1}{2}d^{2}$$.
3. Площадь поверхности куба с ребром $$a$$: 
   $$S$$_пов.$$= 6a^{2}$$.

1. Так как грань куба – квадрат (рис. 1) и $$R=\sqrt{6}$$, то $$\sqrt{6}=\frac{d}{2}$$, откуда $$d=2\sqrt{6}$$ – диагональ квадрата.
2. Найдем площадь квадрата: 
   $$S=\frac{1}{2}d^{2}$$, $$S=\frac{1}{2}(2\sqrt{6})^{2}=12=a^{2}$$.
3. Найдем площадь поверхности куба: $$S$$_пов.$$=6\cdot 12=72$$.
                                                                  

Все ребра куба равны, а поверхность куба состоит из шести равных квадратов.

Площадь боковой поверхности прямой призмы высоты $$h$$ находят по формуле:

1. Найдем высоту призмы.
   Так как в треугольнике $$ACD$$ гипотенуза $$AC=2$$, $$\angle ACD=60^{\circ}$$, то $$\angle CAD=30^{\circ}$$, а $$CD=1$$ (как катет, лежащий против угла $$30^{\circ}$$). 
2. Найдем большую диагональ шестиугольника.
   теоремы Пифагора: $$AD=\sqrt{AC^2-DC^2}$$, $$AD=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$$. 
3. Найдем сторону шестиугольника.
   Так как $$AD=2a$$, то $$a=\frac{\sqrt{3}}{2}$$. 
4. Найдем боковую поверхность призмы:
   $$S_{бок.}=6a\cdot h$$, $$S_{бок.}=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1=3\sqrt{3}$$.

1. Призмой называют многогранник, две грани которого равные $$n$$-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные $$n$$ граней – параллелограммы. 
2. Правильной призмой называют прямую призму, основанием которой является правильный многоугольник. 
3. Диагональю призмы называют отрезок, соединяющий две ее вершины, не принадлежащие одной грани.

1. Боковые ребра прямого параллелепипеда перпендикулярны его основаниям. 
2. Высота прямого параллелепипеда равна длине его бокового ребра. 
3. Площадь ромба со стороной $$a$$ и острым углом $$\alpha$$:
   $$S=a^{2}\cdot \sin\alpha$$. 
4. Площадь ромба со стороной $$a$$ и высотой $$h$$:
   $$S=a\cdot h$$. 
5. Площадь поверхности параллелепипеда высоты $$H$$:
   $$S=2S_{осн.}+S_{бок.}$$, где $$S_{бок.}=P_{осн.}\cdot H$$. 

1. Так как радиус $$r$$ окружности, вписанной в ромб равен $$3$$, то высота ромба равна: $$h=2\cdot r=6$$. 
2. С одной стороны, площадь ромба равна: $$S_{p.}=a^{2}\sin30^{\circ}=\frac{a^2}{2}$$.
   С другой стороны, площадь ромба равна: $$S_{p.}=a\cdot h=6a$$.
   Следовательно, $$\frac{a^2}{2}=6a$$, откуда $$a=12$$.
   Тогда, $$S_{p.}=6\cdot 12=72$$. 
3. Площадь поверхности параллелепипеда:
   $$S=2S_{p.}+4a\cdot H$$, $$S_{p.}=2\cdot 72+4\cdot 12\cdot 6=432$$.