Площадь боковой поверхности прямой призмы высоты $$h$$ находят по формуле:

Тогда $$\angle CAD=30^{\circ}$$, а $$CD=1$$   (как катет, лежащий против угла  $$30^{\circ}$$). 

1. Правильной призмой называют прямую призму, основанием которой является правильный многоугольник.
2. Диагональю призмы называют отрезок, соединяющий две ее вершины, не принадлежащие одной грани.

1. Усеченной пирамидой называют многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию пирамиды. Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники.
2. Площадь квадрата с диагональю $$d$$:
   $$S=\frac{d^{2}}{2}$$.
3. Объем усеченной пирамиды находят по формуле:
   $$V=\frac{1}{3}h(S_{1}+S_{2}+\sqrt{S_{1}S_{2}})$$,
   где $$S_{1}$$ и $$S_{2}$$ – площади оснований, $$h$$ – ее высота.

1. Диагональное сечение пирамиды – равнобокая трапеция $$ABCD$$ (рис. 9.8).
   
2. Так как основания усеченной пирамиды – квадраты и площади их соответственно равны $$8$$ и $$32$$, то:
1) $$8=\frac{d_{1}^{2}}{2}$$, откуда $$d_{1}=4$$ , а $$\frac{d_{1}}{2}=2$$;
2) $$32=\frac{d_{2}^{2}}{2}$$, откуда $$d_{2}=8$$, а $$\frac{d_{2}}{2}=4$$.
3. Тогда: $$DP=OD-OP$$, $$DP=\frac{d_{2}}{2}-\frac{d_{1}}{2}$$, $$DP=4-2=2$$.
4. Треугольник $$CPD$$ – равнобедренный ($$\angle C=\angle D=45^{\circ}$$).
   Значит, $$CP=2=h$$.
5. Найдем объем пирамиды: 
   $$V=\frac{1}{3}\cdot 2(8+32+\sqrt{8\cdot 32})$$, $$V=\frac{2}{3}\cdot (40+16)=\frac{112}{3}$$.
6. Тогда, $$3V=112$$.

Если пирамида правильная, то ее основание – правильный многоугольник.

1. Если все боковые ребра пирамиды равны (или наклонены к плоскости основания пирамиды под одним и тем же углом), то высота пирамиды опускается в центр окружности, описанной около ее основания.
2. Площадь прямоугольного треугольника с катетами $$a$$ и $$b$$:
   $$S=\frac{ab}{2}$$ .
3. Объем пирамиды:
   $$V=\frac{1}{3}S$$_осн.$$\cdot h$$ .

Высота пирамиды опускается в центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника $$ABC$$, точку $$O$$, расположенную на середине гипотенузы $$AB$$ (рис. 9.5).

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, расположен на середине его гипотенузы.

1. Треугольную пирамиду называют тетраэдром. Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны.
2. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $$a$$:
   $$R=\frac{a}{\sqrt{3}}$$ .
3. Площадь правильного треугольника со стороной $$a$$:
   $$S=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}$$ .
4. Объем пирамиды:
   $$V=\frac{1}{3}S$$_осн.$$h$$ .

1. Зная, что $$R=\frac{2}{\sqrt{3}}$$, найдем ребро тетраэдра:
   $$\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$$ , $$a=2$$ (рис. 9.4).
   
2. Найдем высоту пирамиды: 
   $$DO=\sqrt{DA^{2}-OA^{2}}$$, $$DO=\sqrt{4-\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$.
3. Найдем площадь основания пирамиды:
   $$S=\frac{\sqrt{3}\cdot 4}{4}=\sqrt{3}$$.
4. Найдем объем пирамиды:
   $$V=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$.

Различайте правильную треугольную пирамиду и правильный тетраэдр.

У правильной треугольной пирамиды основание – правильный треугольник, а боковые ребра хоть и равны между собой, но не обязательно, что они равны ребрам основания пирамиды.

Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, у которой все ребра равны.

1. Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной $$a$$:
   $$R=\frac{d}{2}$$ .
2. Площадь квадрата со стороной $$a$$ и диагональю $$d$$:
   $$S=a^{2}$$; $$S=\frac{1}{2}d^{2}$$.
3. Площадь поверхности куба с ребром $$a$$:
   $$S$$_пов.$$= 6a^{2}$$.

1. Так как грань куба – квадрат и $$R=\sqrt{6}$$ , то $$\sqrt{6}=\frac{d}{2}$$ , а $$d=2\sqrt{6}$$ – диагональ квадрата.
2. Найдем площадь квадрата:
   $$S=\frac{1}{2}d^{2}$$, $$S=\frac{1}{2}(2\sqrt{6})^{2}=12=a^{2}$$.
3. Тогда, $$S$$_пов.$$=6\cdot 12=72$$.

Все ребра куба равны, а поверхность куба состоит из шести равных квадратов.

Теорема о трех перпендикулярах: для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна проекции этой наклонной на плоскость.

1. Прямоугольным параллелепипедом называют прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.
2. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:
   $$d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$$,
   где $$a,b,c$$ – длины ребер, выходящих из одной вершины, $$d$$ – диагональ параллелепипеда.
3. Объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями $$a,b$$ и $$c$$ находят по формуле:
   $$V=abc$$ .

Пусть коэффициент пропорциональности равен $$k$$.

Запишем измерения параллелепипеда:

По свойству диагонали параллелепипеда:

Тогда, $$V=abc=24k^{3}=48\sqrt{2}$$.

Длины ребер, выходящих из одной вершины параллелепипеда, называют его измерениями.

1. Параллелепипедом называют призму, все грани которой параллелограммы.
2. Объем наклонной призмы высоты $$h$$ можно вычислить по формуле:
   $$V=S$$_осн.$$\cdot h$$.
3. Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле:
   $$S=ab \cdot sin\alpha$$,
   где $$a,b$$ – смежные стороны, $$\alpha$$ – острый угол.

На рисунке 9. 1: 

$$AA_{1}=6$$ , $$\angle A_{1}AO=30^{\circ}$$ .

Тогда, $$A_{1}O=3$$ (как катет, лежащий против угла $$30^{\circ}$$ ).

Площадь основания:

$$V=\frac{9}{2}\cdot 3=13, 5$$ .

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, заключенный между основаниями призмы. Если призма прямая, то ее боковые ребра – высоты.

На рисунке 9.6: 

точка $$O$$ – центр вписанной окружности; 

$$SO=h=5\sqrt{3}$$ ; 

$$SP$$ – высота боковой грани, так как $$OP\perp DC$$.

1. Найдем сторону ромба:
   $$50=a^{2}sin30^{\circ}$$ , $$50=a^{2}\cdot \frac{1}{2}$$ , $$a=10$$.
2. Найдем высоту ромба:
   $$S=ah$$ , $$50=10h$$, $$h=5$$.
   Тогда радиус окружности, вписанной в ромб, равен $$2,5$$ – на рисунке 9.6 отрезок $$PO$$.
3. Найдем высоту боковых граней пирамиды: 
   $$SP=\sqrt{OP^{2}+SO^{2}}$$, $$SP=\sqrt{\frac{25}{4}+75}$$, $$SP=5\sqrt{\frac{1}{4}+3}=\frac{5\sqrt{13}}{2}$$.
4. Найдем боковую поверхность пирамиды: 
   $$S_{bok.}=\frac{1}{2}\cdot 4a\cdot SP$$, $$S_{bok.}\frac{1}{3}\cdot 40\cdot \frac{5\sqrt{13}}{2}=50\sqrt{13}$$.

1. Двугранным углом при основании пирамиды называют угол между плоскостью ее боковой грани и плоскостью основания пирамиды.
2. В нашем случае пирамида не является правильной, но боковые грани – равные треугольники, поэтому справедливо, что $$S$$_бок.$$=\frac{1}{2}P$$_осн.$$\cdot h$$_бок.

В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы длин его противолежащих сторон равны.