Загрузка

Тела вращения

Если высота конуса равна $$4$$, а радиус его основания равен $$3$$, то площадь поверхности конуса равна:

  1. Площадь боковой поверхности конуса находят по формуле:

    $$S_{\delta o\kappa. }=\pi rl$$, где $$r$$– радиус основания, $$l$$ – образующая конуса.
  2. Образующую конуса находят по формуле:

    $$l=\sqrt{h^2+r^2}$$, где $$h$$– высота.
  1. Найдем образующую конуса:

    $$l=\sqrt{4^2+3^2}=5$$.
  2. Найдем площадь боковой поверхности конуса:

    $$S_{бок}=\pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$$.

Конусом называют фигуру, полученную в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, который называют осью конуса.

Выберите один из вариантов

Если осевое сечение цилиндра – квадрат со стороной $$6$$, то объем цилиндра равен:

Объем цилиндра:

$$V=S_{oc.}\cdot h$$, где $$S_{oc.}=\pi r^2$$.

На рисунке 9. 9 квадрат $$ABCD$$ – осевое сечение цилиндра.

Тогда, $$h=6$$, а $$r=3$$.

Найдем объем цилиндра:

$$V=\pi r^2\cdot h=\pi \cdot9 \cdot6=54\pi$$.

Цилиндром называют фигуру, полученную в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон, которую называют осью цилиндра. Сечение цилиндра, проходящее через его ось, называют осевым.

Выберите один из вариантов

Если площадь сечения шара, проведенного через его диаметр равна $$36\pi$$, то объем шара равен:

  1. Шаром называют фигуру, полученную вращением полукруга вокруг его диаметра.
  2. Площадь круга радиуса $$R$$ находят по формуле:

    $$S=\pi R^2$$.
  3. Объем шара радиуса $$R$$ находят по формуле:

    $$V=\frac{4}{3}\pi R^3$$.
  1. Найдем радиус шара:
    $$36\pi=\pi R^2$$, $$36=R^2$$, $$6=R$$.
  2. Найдем объем шара:
    $$V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot 6^3=\frac{4 \cdot 6}{3}\cdot \pi \cdot 6^2=8\cdot 36\cdot \pi=288\pi$$.

Сечение шара плоскостью – круг. Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом.

Выберите один из вариантов

Если площадь поверхности цилиндра равна $$8\pi$$, а площадь его основания равна $$2\pi$$, то периметр развертки боковой поверхности цилиндра равен:

  1. Объем и площадь поверхности цилиндра находят по формулам:

    $$V=S_{oc.}\cdot h$$;

    $$S_{oc.}=\pi r^2$$;

    $$S_{n.}=2S_{oc.}+S_{\delta o\kappa .}$$;

    $$S_{\delta o\kappa .}=2\pi rl$$,

    где $$r$$ – радиус основания, $$h$$ – высота, $$l$$ – образующая цилиндра. 
  2. Развертка боковой поверхности цилиндра – прямоугольник, одна сторона которого равна образующей цилиндра, а другая сторона равна длине окружности его основания.
  3. Длина окружности радиуса $$r$$:

    $$C=2\pi r$$.
  1. Так как $$S_{oc.}=2\pi$$, то $$2\pi=\pi r^2$$, $$2=r^2$$, $$r=\sqrt2$$ – радиус основания цилиндра.
  2. Так как $$S_{n.}=2S_{oc.}+S_{\delta o\kappa. }=2\pi r^2+2\pi rl=2\pi r(r+l)$$, то $$8\pi=2\pi \sqrt2(\sqrt2+l)$$, $$4=2+\sqrt2l$$, $$\sqrt2l=2$$, $$l=\sqrt2$$ – образующая цилиндра.
  3. Найдем длину окружности, лежащей в основании цилиндра: $$C=2\sqrt2\pi$$.
  4. Найдем периметр развертки боковой поверхности цилиндра: $$P=2(2\sqrt2\pi +\sqrt2)=2\sqrt2(2\pi+1)$$.

Периметр прямоугольника:

$$P=2(a+b)$$, где $$a$$ и $$b$$ – его смежные стороны.

Выберите один из вариантов

Если радиус основания конуса равен $$6$$, а разверткой его боковой поверхности является круговой сектор с центральным углом $$120^o$$, то площадь поверхности конуса равна:

  1. Площадь поверхности конуса:

    $$S_{n.}=S_{oc.}+S_{\delta o\kappa. }$$; $$S_{oc.}=\pi r^2$$; $$S_{\delta o\kappa. }=\pi rl$$,

    где $$r$$ – радиус основания, $$l$$ – образующая цилиндра.
  2. Длина окружности радиуса $$r$$:

    $$C=2\pi r$$.
  3. Длина дуги окружности радиуса $$r$$ c центральным углом $$n^o$$:

    $$C_{\partial y\imath u}=\frac{2\pi R}{360^o}n^o$$.

На рисунке 9.10 изображен конус и развертка его боковой поверхности.

  1. Так как $$r=6$$, то найдем длину окружности, лежащей в основании конуса, а, значит, и длину дуги развертки его боковой поверхности:

    $$C=2\pi r=12\pi=C_{\partial y\imath u}$$.
  2. Но, с другой стороны, $$C_{\partial y\imath u}=\frac{2\pi l}{360^o}\cdot 120^o=\frac{2\pi l}{3}$$.
  3. Тогда, $$\frac{2\pi l}{3}=12\pi$$, откуда $$l=18$$.
  4. Найдем площадь поверхности конуса:

    $$S=\pi r^2+\pi rl=36\pi+108\pi=144\pi$$.

Радиус кругового сектора, который является разверткой боковой поверхности конуса, равен образующей конуса.

Выберите один из вариантов

Если в осевое сечение усеченного конуса, площадь боковой поверхности которого равна $$144\pi$$, можно вписать окружность, то образующая конуса равна:

Площадь боковой поверхности конуса:

$$S$$бок.$$=\pi (r_{1}+r_{2})l$$ ,

где $$r_{1}$$ и $$r_{2}$$ – радиусы оснований, $$l$$ – образующая конуса.

Осевое сечение конуса – равнобокая трапеция $$ABCD$$ с боковой стороной $$l$$ и основаниями $$2r_{1}$$ и $$2 r_{2}$$ (рис. 9. 11).


Так как в трапецию можно вписать окружность, то

$$2l=2r_{1}+2r_{2}$$ , $$l=r_{1}+r_{2}$$ .

Тогда: $$144\pi =\pi (r_{1}+r_{2})l$$, $$144=l^{2}$$ , откуда $$l=12$$ .

В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы длин его противолежащих сторон равны.

Выберите один из вариантов

Шар касается плоскости $$\alpha$$ в точке $$A$$. Если точка  $$B$$ принадлежит плоскости $$\alpha$$ и удалена от точки $$A$$ на расстояние $$5$$ см, а от поверхности шара – на  $$1$$ см, то радиус шара равен:

Свойство касательной и секущей: если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению секущей и ее внешней части.

На рисунке 9.12 изображено сечение шара плоскостью, проходящей через точки $$A,B$$ и $$O$$.
По свойству касательной и секущей: $$BA^{2}=BC\cdot BD$$  . 
Тогда: $$5^{2}=(2R+1)\cdot 1$$; $$2R+1=25$$; $$2R=24$$; $$R=12$$ (см).

Радиус шара перпендикулярен касательной плоскости в точке касания.

Выберите один из вариантов

Если площадь сечения, проведенного под углом $$45^{\circ}$$ к радиусу шара, равна $$8\pi$$, то объем шара равен:

Площадь круга:

$$S=\pi r^{2}$$ , где $$r$$ – радиус.

  1. На рисунке 9.13: $$r$$ – радиус сечения, а $$R$$ – радиус шара.

    Тогда: $$\pi r^{2}=8\pi$$, $$r^{2}=8$$, $$r=2\sqrt{2}$$.
  2. Так как $$\Delta AOB$$ – равнобедренный ($$\angle B=\angle O=45^{\circ}$$), то $$AB=AO=2\sqrt{2}$$.
  3. По теореме Пифагора:

    $$R=\sqrt{AO^{2}+AB^{2}}=\sqrt{8+8}=4$$.

Сечение шара плоскостью – круг. Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом.

Выберите один из вариантов

Площадь квадрата, все вершины которого лежат на поверхности шара, равна $$50$$. Если площадь сечения, проходящего через центр шара, равна $$169\pi$$, то центр шара удален от плоскости квадрата на расстояние, равное:

  1. Площадь квадрата:

    $$S=\frac{d^{2}}{2}$$, где $$d$$ – диагональ.
  2. Радиус круга, описанного около квадрата:

    $$r=\frac{d}{2}$$.
  3. Площадь круга:

    $$S=\pi R^{2}$$ , где $$R$$ – радиус.

На рисунке 9.14: $$R$$ – радиус шара; $$r$$ – радиус сечения (круга, в который вписан квадрат); $$l$$ – расстояние между плоскостью квадрата и центром шара.

  1. Найдем диагональ квадрата:

    $$\frac{d^{2}}{2}=50$$ , $$d^{2}=100$$, $$d=10$$.
  2. Найдем радиус окружности, описанной около квадрата, а, значит, и радиус сечения шара плоскостью квадрата: $$r=\frac{10}{2}=5$$.
  3. Найдем радиус шара:

    $$\pi R^{2}=169\pi$$ , $$R^{2}=169$$ , $$R=13$$.
  4. Найдем расстояние между плоскостью квадрата и центром шара:

    $$l=\sqrt{R^{2}-r^{2}}=\sqrt{169-25}=12$$.

Сечение шара плоскостью – круг. Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом.

Введите ответ в поле

Если радиус окружности, вписанной в осевое сечение конуса, равен $$\frac{10}{3}$$, а высота конуса равна $$12$$, то образующая конуса равна:

Свойства касательных:
  1. отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны;
  2. оадиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания.

На рисунке 9.15:

$$\bigtriangleup ABC$$ – осевое сечение конуса; $$r$$ – радиус окружности, вписанной в осевое сечение;

$$l$$ - образующая конуса;

$$h$$ – высота конуса;

$$CO=CK=x$$ – отрезки касательных к окружности.

  1. Так как $$BO=12$$, $$PO=\frac{10}{3}$$, то $$PB=12-\frac{10}{3}=\frac{26}{3}$$.
  2. Из теоремы Пифагора:

    $$BK=\sqrt{BP^{2}-PK^{2}}=\sqrt{\left (\frac{26}{3} \right )^{2}-\left (\frac{10}{3} \right )^{2}}=$$

    $$=\sqrt{(\frac{26}{3}-\frac{10}{3})(\frac{26}{3}+\frac{10}{3})}=\sqrt{\frac{16\cdot 36}{3\cdot 3}}=8$$.
  3. Так как треугольники $$OBC$$ и $$KBP$$ подобные (по двум углам), то $$\frac{BC}{BP}=\frac{OC}{KP}$$.

    Тогда:

    $$\frac{3(8+x)}{26}=\frac{2x}{10}$$, $$\frac{8+x}{13}=\frac{x}{5}$$, $$40+5x=13x$$, $$8x=40$$, $$x=5$$.

    Значит, $$CB=5+8=13=l$$.

Два треугольника подобны, если их соответственные углы равны, а стороны – пропорциональны.

Введите ответ в поле