Загрузка

Производная функции

Значение производной функции $$f(x)=5x-\frac{x}{5}-\frac{5}{x}+5$$ в точке $$-1$$ равно:

1. Правила дифференцирования:

1) $$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$$, где $$k$$– число;
2) $$(u+v)'=u'+v'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$.
2. Производные функций:
$$a'=0$$;
$$x'=1$$;
$$(x^a)'=\alpha\cdot x^{a-1}$$;
$$\left ( \frac{1}{x}\right )'=-\frac{1}{x^2}$$.
  1. Запишем производную суммы:

    $$f'(x)=(5x^5)'-\left ( \frac{x}{5} \right )'-\left ( \frac{5}{x} \right )'+5'$$.
  2. Вынесем за знаки производных постоянные множители: $$f'(x)=5(x^5)'-\frac{1}{5}(x)'-5\left ( \frac{1}{x} \right )'+5'$$.
  3. Применим правила нахождения производных функций:

    $$f'(x)=5\cdot 5x^{5-1}-\frac{1}{5}\cdot 1-5\left ( -\frac{1}{x^2} \right )+0$$,

    $$f'(x)=25x^4-\frac{1}{5}+\frac{5}{x^2}$$.
  4. Найдем значение производной в точке $$-1$$:

    $$f'(-1)=25-0,2+5=29,8$$.

Постоянный множитель (число) можно выносить за знак производной.

Выберите один из вариантов

Если $$y=\frac{\sqrt{x}}{5-x}$$, то значение выражения $$y\cdot y'$$ в точке $$x_0=4$$ равно:

1. Правило дифференцирования:
$$\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции.
2. Производные элементарных функций:
$$a'=0$$, $$x'=1$$; 
$$\left ( \sqrt{x} \right )'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$.
1. производную частного:
$$y'=\frac{\left ( \sqrt{x} \right )'(5-x)-\sqrt{x}(5-x)'}{(5-x)^2}$$,
$$y'=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot (5-x)-\sqrt{x}\cdot (-1)}{(5-x)^2}$$,
$$y'= \frac{\frac{5-x}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}}{(5-x)^2}$$, 
$$y'= \frac{\frac{5-x+2x}{2\sqrt{x}}}{(5-x)^2}$$, $$y'= \frac{x+5}{2\sqrt{x}(5-x)^2}$$.
2. Найдем произведение:
$$yy'=\frac{\sqrt{x}}{5-x}\cdot \frac{x+5}{2\sqrt{x}(5-x)^2}$$,
$$yy'=\frac{x+5}{2(5-x)^3}$$.
3. Найдем значение выражения $$y\cdot y'$$ в точке $$x_0=4$$:
$$\frac{4+5}{2(5-4)^3}=\frac{9}{2}=4,5$$.
Сравните:
1) $$(5-x)'=5'-x'=0-1=-1$$;
2) $$(5\cdot x)'=5\cdot x'=5\cdot 1=5$$.
Выберите один из вариантов

Если $$f(x)=x^2sinx$$, то значение выражения $$f'\left ( \frac{\pi}{2} \right )$$ равно:

1. Правило дифференцирования:
$$(u\cdot v)'=u'v+uv'$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции.
2. Производные элементарных функций:
$$(x^a)'=\alpha\cdot x^{a-1}$$
$$(sinx)'=cosx$$.
1. Найдем производную произведения:
$$f'(x)=(x^2)'sinx+x^2(sinx)'$$,
$$f'(x)=2xsinx+x^2cosx$$.
2. Найдем значение производной в указанной точке: 
$$f'\left ( \frac{\pi}{2} \right )=\frac{2\pi}{2}sin\frac{\pi}{2}+\left ( \frac{\pi}{2} \right )^2cos\frac{\pi}{2}$$,
$$f'\left ( \frac{\pi}{2} \right )=\pi\cdot1+\left ( \frac{\pi}{2} \right )^2\cdot 0=\pi$$.

Различайте записи:

1) $$(u\cdot v)'= u'v+uv'$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции;

2) $$(k\cdot v)'= kv'$$, где $$k$$– число, а $$v$$ – функция.

Выберите один из вариантов

Если через точку $$A(0;3)$$ к кривой $$y=2x-3x^2+1$$ провести касательные, то утроенное произведение абсцисс точек касания будет равно:

1. Уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с координатами $$(x_0; f(x_0))$$ находят в виде:
$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$.
2. Правила дифференцирования:
1) $$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$$, где $$k$$– число;
2) $$(u+v)'=u'+v'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$.
3. Производные:
$$a'=0$$; 
$$x'=1$$; 
$$(x^a)'=\alpha\cdot x^{a-1}$$.
1. Запишем значение функции в точке $$x_{0}$$:
$$f(x_0)=2x_0-3x^2_0+1$$.
2. Найдем производную функции:
$$y'=(2x)'-(3x^2)'+1'$$,
$$y'=2-6x$$.
3. Запишем значение производной функции в точке $$x_0$$:
$$f'(x_0)=2-6x_0$$.
4. Запишем уравнение касательной к графику функции в точке $$x_0$$:
$$y=2x_0-3^2_0+1+(2-6x_0)(x-x_0)$$,
$$y=2x_0-3x^2_0+1+2x-2x_0-6x_0x+6x^2_0$$,
$$y=1+2x-6x_0\cdot x+3x^2_0$$.
5. Так как касательная проходит через точку $$A(0; 3)$$, то получим:
$$3=1+2\cdot 0-6x_0\cdot 0+3x^2_0$$,
$$3x^2_0=2$$, откуда $$x_0=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}$$.
Тогда, $$-3\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}=-2$$.

Если точка $$A(a;b)$$ принадлежит графику функции $$y=f(x)$$, то верно, что $$f(a)=b$$.

Введите ответ в поле

Уравнение касательной, проведенной к графику функции $$f(x)=(x-1)^3-2x$$ в точке $$x_0=1$$, имеет вид:

1. Уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с координатами $$(x_0; f(x_0))$$ находят в виде:
$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$.
2. Правила дифференцирования:
1) $$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$$, где $$k$$ – число;
2) $$(u+v)'=u'+v'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$.
3. Производные:
$$a'=0$$; 
$$x'=1$$; 
$$(x^a)'=\alpha\cdot x^{a-1}$$.
4. Формула сокращенного умножения:
$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$.
1. Найдем значение функции в точке $$x_0=1$$:
$$f(1)=(1-1)^3-2=-2$$.
2. Запишем функцию в виде:
$$y=x^3-3x^2+3x-1-2x$$,
$$y=x^3-3x^2+x-1$$.
3. Найдем производную функции:
$$f'(x)=(x^3)'-(3x^2)'+x'-1'$$,
$$f'(x)=3x^2-6x+1$$.
4. Найдем значение производной функции в точке $$x_0=1$$:
$$f'(1)=3-6+1=-2$$.
5. Запишем уравнение касательной:
$$y=-2-2(x-1)$$
$$y=-2-2x+2$$
$$y=-2x$$.
Необходимо различать записи:
1) $$f(x_0)$$ – значение функции в точке $$x_0$$;
2) $$f'(x_0)$$ – значение производной функции в точке $$x_0$$.
Выберите один из вариантов

Если $$f(x)=\sqrt[3]{x}\cdot x^3$$, то среднее арифметическое корней (или корень, если он единственный) уравнения $$3f'(x) = 10f(x)$$ равно:

  1. Производная степенной функции:

    $$(x^a)'=\alpha\cdot x^{a-1}$$.
  2. Свойство степеней:

    $$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$$.
1. Запишем функцию в виде $$f(x)=x^{\frac{1}{3}}\cdot x^3=x^{\frac{10}{3}}$$ и найдем ее производную:
$$f'(x)=\frac{10}{3}x^{\frac{7}{3}}$$.
2. Решим уравнение $$3f'(x)=10f(x)$$:
$$3\cdot \frac{10}{3}x^{\frac{7}{3}}=10x^{\frac{10}{3}}$$
$$x^{\frac{7}{3}}=x^{\frac{10}{3}}$$
$$x^7=x^{10}$$
$$x^{10}-x^7=0$$
$$x^7(x^3-1)=0$$, откуда $$x=0$$ или $$x=1$$.
3. Найдем среднее арифметическое корней уравнения:
$$(0+1): 2=0, 5$$.
Сравните:
1) $$2^{2}x=2^{3}$$, $$x=2$$ (обе части равенства разделили на число $$2^{2}$$);
2) $$2x^{2}=x^{3}$$, $$2x^{2}-x^{3}=0$$, $$x^{2}(2-x)=0$$, откуда $$x=0$$ или $$x=2$$
(обе части равенства делить на $$x^{2}$$ нельзя, так как потеряем корень уравнения $$x=0$$).
Выберите один из вариантов

Если $$f(x)=\frac{2x+5}{5-2x}$$, то значение выражения $$0,2f'(0)$$ равно:

1. Правила дифференцирования:
1) $$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$$, где $$k$$ – число;
2) $$(u+v)'=u'+v'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$;
3) $$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$;
2. Производные: 
$$a'=0$$; $$x'=1$$.
1. Найдем производную функции:
$$f^{'}(x)=\frac{(2x+5)^{'}\cdot (5-2x)-(2x+5)\cdot (5-2x)^{'}}{(5-2x)^{2}}$$,
$$f^{'}(x)=\frac{2\cdot (5-2x)-(2x+5)\cdot (-2)}{(5-2x)^2}$$,
$$f^{'}(x)=\frac{10-4x+4x+10}{(5-2x)^2}$$,
$$f^{'}(x)=\frac{20}{(5-2x)^2}$$.
2. Найдем значение выражения $$0, 2f'(0)$$:
$$0, 2f'(0)=\frac{1}{5}\cdot \frac{20}{25}=0, 16$$.

Необходимо различать записи:

1) $$f(x_0)$$ – значение функции в точке $$x_{0}$$;

2) $$f'(x_0)$$ – значение производной функции в точке $$x_{0}$$.

Выберите один из вариантов

Разность наибольшего и наименьшего значений производной функции $$y=3sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}$$ равна:

  1. Формула двойного аргумента:

    $$sin2x=2sinxcosx$$.
  2. Производная тригонометрической функции:

    $$(sinx)'=cox(x)$$.
1. Преобразуем функцию:
$$y=3\cdot \frac{1}{2}\cdot 2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}=\frac{3}{2}sinx$$.
2. Найдем производную функции:
$$y'=1, 5(sinx)'=1, 5cosx$$.
3. Так как $$-1\leq cosx\leq 1$$, а $$-1, 5\leq 1, 5cosx\leq 1, 5$$, то 
$$1, 5$$ – наибольшее, а $$-1, 5$$ – наименьшее значения производной. 
 Тогда, $$1, 5-(-1, 5)=3$$.

Различайте значения производной и значения функции.

Выберите один из вариантов
Значение производной функции $$f(x)=\frac{2\sqrt{x} -3}{x^3}$$ в точке $$x=1$$ равно:
1. Определение степени:
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$; 
$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{m}$$.

2. Свойство степеней: 
$$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$$.
3. Правила дифференцирования:
$$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$$, где $$k$$– число;
$$(u+v)'=u'+v'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$.
4. Производная степенной функции: 
$$(x^a)'=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$$.
1. Запишем функцию в виде:
$$f(x)=\frac{2\sqrt{x}}{x^3}-\frac{3}{x^3}$$,
$$f(x)=2x^{-\frac{5}{2}}-3x^{-3}$$.
2. Найдем производную суммы: 
$$f'(x)=\left ( 2x^{-\frac{5}{2}} \right )'-(3x^{-3})'$$,
$$f'(x)=2\cdot \left ( -\frac{5}{2} \right )x^{-\frac{5}{2}-1}-3\cdot (-3)x^{-3-1}$$,
$$f'(x)=-5x^{-\frac{7}{2}}+9x^{-4}$$,
$$f'(x)=-\frac{5}{\sqrt{x^{7}}}+\frac{9}{x^{4}}$$.
3. Тогда, $$f'(1)=-5+9=4$$.

Функцию представили в виде суммы элементарных функций, выполнив почленное деление числителя дроби на ее знаменатель.

Выберите один из вариантов

Если касательная к графику функции $$y=3-2x^3+5x$$ наклонена к положительному направлению оси абсцисс под углом $$135^o$$, то сумма ординат точек касания равна:

1. Если $$\alpha$$ – угол между касательной и положительным направлением оси $$Ox$$, а $$x_0$$ – абсцисса точки касания, то верно, что: 
$$k=tg\alpha=f'(x_0)$$.
2. Производные:
$$a'=0$$; 
$$x'=1$$; 
$$(x^a)'=\alpha\cdot x^{a-1}$$.
1. Найдем производную функции:

$$y'=3'-(2x^3)'+(5x)'$$,
$$y'=-6x^2+5$$.
2. Запишем значение производной в точке касания $$(x_0; f(x_0))$$:
$$f'(x_0)=-6x^2_0+5$$.
3. Решим уравнение $$f'(x_0)=tg\alpha$$:
$$-6x^2_0+5=tg135^o$$,
$$-6x^2_0+5=tg(180^o-45^o)$$,
$$-6x^2_0+5=tg(-45^o)$$,
$$-6x^2_0+5=-1$$, $$6x^2_0=6$$,
$$x^2_0=1$$, откуда $$x_0=1$$ или $$x_0=-1$$.
4. Тогда:
$$f(1)=3-2+5=6$$, $$f(-1)=3+2-5=0$$,
$$f(1)+f(-1)=6+0=6$$.

Справедливо равенство: 

$$tg(\alpha \pm180^o n) = tg\alpha$$.

Введите ответ в поле