Загрузка

Производная функции

Значение производной функции $$f(x)=5x-\frac{x}{5}-\frac{5}{x}+5$$ в точке $$-1$$ равно:

  1. Правила дифференцирования:

    1. $$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$$, где $$k$$– число;
    2. $$(u+v)'=u'+v'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$.
  2. Производные функций:

    $$a'=0$$, $$x'=1$$, $$(x^a)'=\alpha\cdot x^{a-1}$$, $$\left ( \frac{1}{x}\right )'=-\frac{1}{x^2}$$.
  1. Запишем производную суммы:

    $$f'(x)=(5x^5)'-\left ( \frac{x}{5} \right )'-\left ( \frac{5}{x} \right )'+5'$$.
  2. Вынесем за знаки производных постоянные множители: $$f'(x)=5(x^5)'-\frac{1}{5}(x)'-5\left ( \frac{1}{x} \right )'+5'$$.
  3. Применим правила нахождения производных функций:

    $$f'(x)=5\cdot 5x^{5-1}-\frac{1}{5}\cdot 1-5\left ( -\frac{1}{x^2} \right )+0=$$

    $$=25x^4-\frac{1}{5}+\frac{5}{x^2}$$ .
  4. Найдем значение производной в точке $$-1$$:

    $$f'(-1)=25-0,2+5=29,8$$.

Постоянный множитель (число) можно выносить за знак производной.

Выберите один из вариантов
Значение производной функции $$f(x)=\frac{2\sqrt{x} -3}{x^3}$$ в точке $$x=1$$ равно:
  1. Определение степени:

    $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$; $$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{m}$$.

    Свойство степеней: $$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$$.
  2. Правила дифференцирования:
    1. $$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$$, где $$k$$– число;
    2. $$(u+v)'=u'+v'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$.
  3. Производная степенной функции: $$(x^a)'=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$$.
  1. Запишем функцию в виде:

    $$f(x)=\frac{2\sqrt{x}}{x^3}-\frac{3}{x^3}=2x^{\frac{1}{2}-3}-3x^{-3}=2x^{-\frac{5}{2}}-3x^{-3}$$.
  2. Найдем производную суммы: $$f'(x)=\left ( 2x^{-\frac{5}{2}} \right )'-(3x^{-3})'=2\cdot \left ( -\frac{5}{2} \right )x^{-\frac{5}{2}-1}-3\cdot (-3)x^{-3-1}=$$

    $$=-5x^{-\frac{7}{2}}+9x^{-4}=-\frac{5}{\sqrt{x^{7}}}+\frac{9}{x^{4}}$$.

  3. $$f'(1)=-5+9=4$$.

Функцию представили в виде суммы элементарных функций, выполнив почленное деление числителя дроби на ее знаменатель.

Выберите один из вариантов

Если $$f(x)=x^2sinx$$, то значение выражения $$f'\left ( \frac{\pi}{2} \right )$$ равно:

  1. Правило дифференцирования:

    $$(u\cdot v)'=u'v+uv'$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции.
  2. Производные элементарных функций:

    $$(x^a)'=\alpha\cdot x^{a-1}$$; $$(sinx)'=cosx$$.
  1. Найдем производную произведения:

    $$f'(x)=(x^2)'sinx+x^2(sinx)'=2xsinx+x^2cosx$$.
  2. $$f'\left ( \frac{\pi}{2} \right )=\frac{2\pi}{2}sin\frac{\pi}{2}+\left ( \frac{\pi}{2} \right )^2cos\frac{\pi}{2}=\pi\cdot1+\left ( \frac{\pi}{2} \right )^2\cdot 0=\pi$$.

Различайте:

  1. $$(u\cdot v)'= u'v+uv'$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции;
  2. $$(k\cdot v)'= kv'$$, где $$k$$– число, а $$v$$ – функция.

Выберите один из вариантов

Если $$y=\frac{\sqrt{x}}{5-x}$$, то значение выражения $$y\cdot y'$$ в точке $$x_0=4$$ равно:

  1. Правило дифференцирования:

    $$\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции.
  2. Производные элементарных функций:

    $$a'=0$$, $$x'=1$$, $$\left ( \sqrt{x} \right )'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$.
  1. Найдем производную частного:

    $$y'=\frac{\left ( \sqrt{x} \right )'(5-x)-\sqrt{x}(5-x)'}{(5-x)^2}$$,

    $$y'=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot (5-x)-\sqrt{x}\cdot (-1)}{(5-x)^2}$$,

    $$y'= \frac{\frac{5-x}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}}{(5-x)^2}$$, $$y'= \frac{\frac{5-x+2x}{2\sqrt{x}}}{(5-x)^2}$$, $$y'= \frac{x+5}{2\sqrt{x}(5-x)^2}$$.
  2. Найдем произведение:

    $$yy'=\frac{\sqrt{x}}{5-x}\cdot \frac{x+5}{2\sqrt{x}(5-x)^2}=\frac{x+5}{2(5-x)^3}$$.
  3. Найдем значение выражения $$y\cdot y'$$ в точке $$x_0=4$$:

    $$\frac{4+5}{2(5-4)^3}=\frac{9}{2}=4,5$$.
Сравните:
  1. $$(5-x)'=5'-x'=0-1=-1$$;
  2. $$(5\cdot x)'=5\cdot x'=5\cdot 1=5$$.

Выберите один из вариантов

Если $$f(x)=\sqrt[3]{x}\cdot x^3$$, то среднее арифметическое корней (или корень, если он единственный) уравнения $$3f'(x) = 10f(x)$$ равно:

  1. Производная степенной функции:

    $$(x^a)'=\alpha\cdot x^{a-1}$$.
  2. Свойство степеней:

    $$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$$.
  1. Запишем функцию в виде $$f(x)=x^{\frac{1}{3}}\cdot x^3=x^{\frac{10}{3}}$$ и найдем ее производную:

    $$f'(x)=\frac{10}{3}x^{\frac{7}{3}}$$.
  2. Решим уравнение $$3f'(x)=10f(x)$$:

    $$3\cdot \frac{10}{3}x^{\frac{7}{3}}=10x^{\frac{10}{3}}$$, $$x^{\frac{7}{3}}=x^{\frac{10}{3}}$$, $$x^7=x^{10}$$, $$x^{10}-x^7=0$$, $$x^7(x^3-1)=0$$, откуда $$x=0$$ или $$x=1$$.
  3. Найдем среднее арифметическое корней уравнения:

    $$(0+1): 2=0, 5$$.
Сравните:
  1. $$2^{2}x=2^{3}$$, $$x=2$$ (обе части равенства разделили на число $$2^{2}$$);
  2. $$2x^{2}=x^{3}$$, $$2x^{2}-x^{3}=0$$, $$x^{2}(2-x)=0$$, откуда $$x=0$$ или $$x=2$$

    (обе части равенства делить на $$x^{2}$$ нельзя, так как потеряем корень уравнения $$x=0$$).
Выберите один из вариантов

Разность наибольшего и наименьшего значений производной функции $$y=3sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}$$ равна:

  1. Формула двойного аргумента:

    $$sin2x=2sinxcosx$$.
  2. Производная тригонометрической функции:

    $$(sinx)'=cox(x)$$.
  1. Преобразуем функцию:

    $$y=3\cdot \frac{1}{2}\cdot 2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}=\frac{3}{2}sinx$$.
  2. Найдем производную функции:

    $$y'=1, 5(sinx)'=1, 5cosx$$.
  3. Так как $$-1\leq cosx\leq 1$$, а $$-1, 5\leq 1, 5cosx\leq 1, 5$$, то $$1, 5$$ – наибольшее, а $$-1, 5$$ – наименьшее значения производной. Тогда, $$1, 5-(-1, 5)=3$$.

Различайте значения производной и значения функции.

Выберите один из вариантов

Если $$f(x)=\frac{2x+5}{5-2x}$$, то значение выражения $$0,2f'(0)$$ равно:

  1. Правила дифференцирования:
    1. $$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$$, где $$k$$ – число;
    2. $$(u+v)'=u'+v'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$;
    3. $$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$;
  2. Производные: $$a'=0$$; $$x'=1$$.
  1. Найдем производную функции:

    $$f^{'}(x)=\frac{(2x+5)^{'}\cdot (5-2x)-(2x+5)\cdot (5-2x)^{'}}{(5-2x)^{2}}=$$

    $$=\frac{2\cdot (5-2x)-(2x+5)\cdot (-2)}{(5-2x)^2}=\frac{10-4x+4x+10}{(5-2x)^2}=\frac{20}{(5-2x)^2}$$.
  2. Найдем значение выражения $$0, 2f'(0)$$:

    $$0, 2f'(0)=\frac{1}{5}\cdot \frac{20}{25}=\frac{4}{25}=\frac{4\cdot 4}{25\cdot 4}=0, 16$$.

Необходимо различать записи:

  1. $$f(x_0)$$ – значение функции в точке $$x_{0}$$;
  2. $$f'(x_0)$$ – значение производной функции в точке $$x_{0}$$.
Выберите один из вариантов

Уравнение касательной, проведенной к графику функции $$f(x)=(x-1)^3-2x$$ в точке $$x_0=1$$, имеет вид:

  1. Уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с координатами $$(x_0; f(x_0))$$ находят в виде:

    $$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$.
  2. Правила дифференцирования:
    1. $$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$$, где $$k$$ – число;
    2. $$(u+v)'=u'+v'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$.
  3. Производные:

    $$a'=0$$, $$x'=1$$, $$(x^a)'=\alpha\cdot x^{a-1}$$.
  4. Формула сокращенного умножения:

    $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$.
  1. Найдем значение функции в точке $$x_0=1$$:

    $$f(1)=(1-1)^3-2=-2$$.
  2. Запишем функцию в виде:

    $$y=x^3-3x^2+3x-1-2x=x^3-3x^2+x-1$$.
  3. Найдем производную функции:

    $$f'(x)=(x^3)'-(3x^2)'+x'-1'=3x^2-6x+1$$.
  4. Найдем значение производной функции в точке $$x_0=1$$:

    $$f'(1)=3-6+1=-2$$.
  5. Запишем уравнение касательной:

    $$y=-2-2(x-1)$$, $$y=-2-2x+2$$, $$y=-2x$$.
Необходимо различать записи:
  1. $$f(x_0)$$ – значение функции в точке $$x_0$$;
  2. $$f'(x_0)$$ – значение производной функции в точке $$x_0$$.
Выберите один из вариантов

Если касательная к графику функции $$y=3-2x^3+5x$$ наклонена к положительному направлению оси абсцисс под углом $$135^o$$, то сумма ординат точек касания равна:

  1. Если $$\alpha$$ – угол между касательной и положительным направлением оси $$Ox$$, а $$x_0$$ – абсцисса точки касания, то верно, что $$k=tg\alpha=f'(x_0)$$.
  2. Производные:

    $$a'=0$$, $$x'=1$$, $$(x^a)'=\alpha\cdot x^{a-1}$$.
  1. Найдем производную функции:

    $$y'=3'-(2x^3)'+(5x)'=-6x^2+5$$.
  2. Запишем значение производной в точке касания $$(x_0; f(x_0))$$:

    $$f'(x_0)=-6x^2_0+5$$.
  3. Решим уравнение $$f'(x_0)=tg\alpha$$:

    $$-6x^2_0+5=tg135^o$$,

    $$-6x^2_0+5=tg(180^o-45^o)$$,

    $$-6x^2_0+5=tg(-45^o)$$,

    $$-6x^2_0+5=-1$$, $$6x^2_0=6$$,

    $$x^2_0=1$$, откуда $$x_0=1$$ или $$x_0=-1$$.
  4. Тогда:

    $$f(1)=3-2+5=6$$, $$f(-1)=3+2-5=0$$,

    $$f(1)+f(-1)=6+0=6$$.

Справедливо равенство $$tg(\alpha \pm180^o n) = tg\alpha$$.

Введите ответ в поле

Если через точку $$A(0;3)$$ к кривой $$y=2x-3x^2+1$$ провести касательные, то утроенное произведение абсцисс точек касания будет равно:

  1. Уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с координатами $$(x_0; f(x_0))$$ находят в виде:

    $$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$.
  2. Правила дифференцирования:
    1. $$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$$, где $$k$$– число;
    2. $$(u+v)'=u'+v'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$.
  3. Производные:

    $$a'=0$$, $$x'=1$$, $$(x^a)'=\alpha\cdot x^{a-1}$$.
  1. Запишем значение функции в точке $$x_{0}$$:

    $$f(x_0)=2x_0-3x^2_0+1$$.
  2. Найдем производную функции:

    $$y'=(2x)'-(3x^2)'+1'=2\cdot 1 -3\cdot 2x+0=2-6x$$.
  3. Запишем значение производной функции в точке $$x_0$$:

    $$f'(x_0)=2-6x_0$$.
  4. Запишем уравнение касательной к графику функции в точке $$x_0$$:

    $$y=2x_0-3^2_0+1+(2-6x_0)(x-x_0)$$,

    $$y=2x_0-3x^2_0+1+2x-2x_0-6x_0x+6x^2_0$$,

    $$y=1+2x-6x_0\cdot x+3x^2_0$$.
  5. Так как касательная проходит через точку $$A(0; 3)$$, то получим:

    $$3=1+2\cdot 0-6x_0\cdot 0+3x^2_0$$,

    $$3x^2_0=2$$, откуда $$x_0=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}$$.

    Тогда, $$-3\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}=-2$$.

Если точка $$A(a;b)$$ принадлежит графику функции $$y=f(x)$$, то верно, что $$f(a)=b$$.

Введите ответ в поле