Загрузка
45.000

Рациональные уравнения ИТ

Произведение всех действительных корней (или корень, если он единственный) уравнения $$(x-5)(x-2)(x-3)(x-4)=8$$ равно:
Сумма корней приведенного квадратного уравнения $$x^2+px+q=0$$ равна $$-p$$, а произведение его корней равно $$q$$.
  1. Преобразуем уравнение:
     $$\left((x-5)(x-2\right)\left((x-3)(x-4)\right)=8$$, $$(x^2-7x+10)(x^2-7x+12)=8$$. 
  2. Полагая $$x^2-7x+11=a$$, получим:
     $$(a-1)(a+1)=8$$, $$a^2-1=8$$, $$a=±3$$.
    Если $$a=3$$, то $$x^2-7x+8=0$$ ($$D>0$$) и $$x_1x_2=8$$.
    Если $$a=-3$$, то $$x^2-7x+14=0$$ ($$D<0$$) и $$x\in ∅$$. 
  3. Данное уравнение имеет два корня, а их произведение рано $$8$$.
  1. Можно применять и другие подстановки.
    Например, $$x^2-7x=a$$. 
  2. Если мы имеем выражения $$f(x)+a$$ и $$f(x)+b$$, а числа $$a$$ и $$b$$ четные, то целесообразно применять подстановку:
    $$f(x)+\frac{a+b}{2}$$.
Введите ответ в поле
Сумма корней (или корень, если он единственный) уравнения $$x^4-5x^3+8x^2-5x=-1$$ равна:
Сумма корней приведенного квадратного уравнения $$x^2+px+q=0$$ равна $$-p$$, а произведение его корней равно $$q$$.
  1. Разделим уравнение на $$x^2\ne 0$$:
     $$x^2-5x+8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}=0$$,
     $$\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+8=0$$. 
  2. Положим $$x+\frac{1}{x}=a$$ и возведем обе части этого равенства в квадрат:
    $$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=a^2$$,
     $$x^2+2x\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=a^2$$,
    $$x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2$$. 
  3. Уравнение примет вид:
     $$a^2-5a+6=0$$ ($$D>0$$), откуда $$a_1=2$$, $$a_2=3$$. 
  4. Учитывая подстановку, решим два уравнения:
    1) $$x+\frac{1}{x}=2$$ или $$x^2-2x+1=0$$ ($$D>0$$), откуда $$x_1+x_2=2$$;
    2) $$x+\frac{1}{x}=3$$ или $$x^2-3x+1=0$$ ($$D>0$$), откуда $$x_1+x_2=3$$. 
  5. Следовательно, сумма всех корней уравнения $$x^4-5x^3+8x^2-5x=-1$$ равна $$5$$.
Если $$x+\frac{1}{x}=a$$, то $$x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2$$.
Введите ответ в поле
Количество упорядоченных пар чисел, которые образуют решение системы уравнений $$\begin{cases} x+xy+y=3, \\ x^2y+xy^2=-4, \end{cases}$$ равно:
  1. Система уравнений называется симметричной, если в результате замены переменной $$x$$ на переменную $$y$$, а переменной $$y$$ на переменную $$x$$, получаем ту же систему. 
  2. Если $$(a;b)$$ – решение симметричной системы уравнений, то и $$(b;a)$$ также решение этой системы.
Запишем систему в виде: 
$$\begin{cases} xy+(x+y)=3, \\ xy(x+y)=-4. \end{cases}$$ 
Полагая $$xy=a$$, а $$x+y=b$$, получим: 
$$\begin{cases} a+b=3, \\ a\cdot b=-4.\end{cases}$$
Этой системе удовлетворяют две пары чисел: $$(4;-1)$$ и $$(-1;4)$$.
  1. Если $$a=-1$$, а $$b=4$$, то $$\begin{cases} x+y=4, \\ x\cdot y=-1. \end{cases}$$
    Из первого уравнения системы выразим переменную $$y$$: $$y=4-x$$.
    Подставляя это значение во второе уравнение системы, получим: $$x^2-4x-1=0$$. Так как $$D=20>0$$, то уравнение, а значит и система уравнений, имеют два решения. 
  2. Если $$a=4$$, а $$b=-1$$, то $$\begin{cases} x+y=-1, \\ x\cdot y=4. \end{cases}$$
    Из первого уравнения системы выразим переменную $$y$$: $$y=-1-x$$.
    Подставляя это значение во второе уравнение системы, получим: $$x^2+x+4=0$$. Так как $$D<0$$, то уравнение, а значит и система уравнений, решений не имеют.
Решая подбором симметричную систему уравнений всегда необходимо рассматривать два случая. 
 Например, если $$x=c$$, а $$y=d$$, то верно, что $$x=d$$, а $$y=c$$.
Введите ответ в поле
Количество чисел, не принадлежащих области определения уравнения $$\frac{x-5}{x^2-25}+\frac{x}{x^2-4x-25}=0$$, равно:
  1. Равенство, содержащее переменную, называют уравнением и записывают $$f(x)=0$$ или $$f(x)=g(x)$$. 
  2. Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения $$f(x)=g(x)$$ называют общую часть областей определения функций $$f(x)$$ и $$g(x)$$.
Имеем дробное рациональное уравнение. Области определения уравнения не принадлежат числа, которые обращают в нуль знаменатели дробей. Найдем их:
  1. $$x^2-25=0$$, откуда $$x^2=25$$, $$x_1=-5$$, а $$x_2=5$$; 
  2. $$x^2-4x-25=0$$, откуда $$D=16+100=116$$.
    Так как $$D\gt 0$$, то уравнение имеет два иррациональных корня.
Области определения уравнения не принадлежат четыре числа.
Корни уравнения $$x^2-4x-25=0$$ находить не обязательно, поскольку нам необходимо узнать количество корней, а не сами корни.
Введите ответ в поле
Сумма корней уравнения $$3x^2-4x-1=0$$ больше их произведения на:
  1. Теорема Виета: сумма корней квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ равна $$-\frac{b}{a}$$, а произведение корней равно $$\frac{c}{a}$$. 
  2. Теорема, обратная теореме Виета: числа $$m$$ и $$n$$ являются корнями квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$, если их сумма равна $$-\frac{b}{a}$$, а произведение равно $$\frac{c}{a}$$.
  1. Запишем уравнение в виде: $$x^2-\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}=0$$,
    так как $$D>0$$, то по теореме Виета $$x_1+x_2=\frac{4}{3}$$, а $$x_1\cdot x_2=-\frac{1}{3}$$. 
  2. Найдем, на сколько сумма корней уравнения больше их произведения:
    $$\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$$.
  1. Корни данного уравнения находить не обязательно. 
  2. Применяя теорему Виета, всегда определяйте знак дискриминанта уравнения. Если дискриминант отрицательный, то уравнение вовсе не имеет корней. 
  3. Обращайте внимание на коэффициент при $$x^2$$.
Выберите один из вариантов
Все корни уравнения $$\frac{(2x+5)}{3}-\frac{(x-1,5)}{2}=\frac{(17+x)}{6}$$ принадлежат множеству:
  1. Значение переменной, при подстановке которого в уравнение получаем верное равенство, называют корнем (решением) уравнения. 
  2. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
  3. Обозначения числовых множеств:
    $$\textrm{N}$$ – множество натуральных чисел;
    $$\textrm{Z}$$ – множество целых чисел;
    $$\textrm{Q}$$ – множество рациональных чисел;
    $$\textrm{I}$$ – множество иррациональных чисел;
    $$\textrm{R}$$ – множество действительных чисел;
    $$∅$$ – пустое множество.
Имеем целое рациональное уравнение, обе части которого умножим на число $$6$$:
$$\frac{6\cdot(2x+5)}{3}-\frac{6\cdot(x-1,5)}{2}=\frac{6\cdot(17+x)}{6}$$. 
Получим: 
$$2\cdot(2x+5)-3\cdot(x-1,5)=17+x$$, 
$$2x+10-3x+4,5-x-17=0$$, $$-2,5\ne 0$$. 
Уравнение корней не имеет. Следовательно, $$x\in ∅$$.
$$\textrm{N}⊂\textrm{Z}⊂\textrm{Q}⊂\textrm{R}$$
Выберите один из вариантов
Среднее арифметическое корней (или корень, если он единственный) уравнения $$x^3+2x^2-1=0$$ равно:
  1. Теорема о целых корнях: всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена. 
  2. Следствие: при отыскании целых корней многочлена с целыми коэффициентами достаточно рассмотреть делители свободного члена. 
  3. Деление многочленов выполняется аналогично делению целых чисел: делят старший член многочлена-делимого на старший член многочлена-делителя, затем частное умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого. Многочлен-первый остаток аналогичным образом делят на многочлен-делитель. Деление продолжают до тех пор, пока не получат остаток $$0$$ или степень многочлена-остатка не будет меньше степени многочлена-делителя.
  1. Делители числа $$-1$$: $$1$$ и $$-1$$. Проверка:
     1) если $$x=1$$, то $$1+2-1\ne 0$$, следовательно, число $$1$$ – не корень уравнения;
     2) если $$x=-1$$, то $$-1+2-1=0$$, следовательно, число $$-1$$ – корень уравнения. 
  2. Разделим уравнение на $$x+1$$: 
  3. В свою очередь уравнение $$x^2+x-1=0$$ имеет два различных действительных корня ($$D>0$$), сумма которых равна $$-1$$. 
  4. Найдем среднее арифметическое всех корней уравнения:
     $$\frac{-1-1}{3}=-\frac{2}{3}$$.
Корни уравнения $$x^2+x-1=0$$ находить не обязательно, они к тому же иррациональные.
Выберите один из вариантов
Если $$k$$ – количество, а $$p$$ – произведение корней уравнения $$5x^4+19x^2-4=0$$, то значение $$pk$$ равно:
  1. Уравнение вида $$ax^4+bx^2+c=0$$, где $$a$$, $$b$$ и $$c$$ – действительные числа и $$a\ne 0$$ называется биквадратным уравнением.
    С помощью подстановки $$x^2=y$$ это уравнение сводится к квадратному уравнению $$ay^2+by+c=0$$. 
  2. Корни квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ находят по формулам:
    $$x_{1, 2}=\frac{-b±\sqrt{D}}{2a}$$. 
  3. Выражение $$D=b^2-4ac$$ называют дискриминантом квадратного  уравнения. 
  4. Если $$D>0$$, то уравнение имеет два различных действительных корня.
    Если $$D=0$$, то уравнение имеет два равных действительных корня.
    Если $$D<0$$, то уравнение не имеет действительных корней.
  1. Полагая $$x^2=y$$, запишем уравнение в виде $$5y^2+19y-4=0$$, откуда:
    $$D=19^2+80=441=21^2$$, $$y_1=\frac{-19-21}{10}=-4$$, $$y_2=\frac{-19+21}{10}=0,2$$. 
  2. Учитывая подстановку, решим два уравнения:
    1) $$x^2=-4$$, откуда $$x\in ∅$$;
    2) $$x^2=0,2$$, откуда $$x=±\sqrt{0,2}$$. 
  3. Согласно условию задачи: $$k=2$$, $$p=-\sqrt{0,2}\cdot\sqrt{0,2}=-0,2$$.
    Следовательно, $$pk=-0,2\cdot 2=-0,4$$.
Выражение $$a^2$$ всегда не отрицательное: $$a^2\ge 0$$.
Введите ответ в поле
Если число $$\frac{22}{5+\sqrt{3}}$$ – корень приведенного квадратного уравнения, то сумма коэффициентов этого уравнения равна:
  1. Приведенным квадратным уравнением называют уравнение вида:
    $$x^2+px+q=0$$. 
  2.  Сумма корней этого уравнения равна $$-p$$, а произведение его корней равно $$q$$. 
  3.  Числа $$1$$, $$p$$ и $$q$$ – коэффициенты этого уравнения.
  1. Преобразуем данный корень уравнения:
     $$x_1=\frac{22\cdot(5-\sqrt{3}}{(5+\sqrt{3})(5-\sqrt{3})}$$, $$x_1=\frac{22\cdot(5-\sqrt{3}}{25-3}$$, $$x_1=5-\sqrt{3}$$.
    Тогда, $$x_2=5+\sqrt{3}$$. 
  2. Найдем сумму и произведение корней уравнения:
    $$x_1+x_2=(5-\sqrt{3})+(5+\sqrt{3})=10$$,
    $$x_1x\cdot_2=(5-\sqrt{3})(5+\sqrt{3})=22$$.
  3. Составим уравнение: $$x^2-10x+22=0$$. 
  4. Найдем сумму коэффициентов уравнения: $$1+(-10)+22=13$$.
  1. Если известен один из иррациональных корней уравнения, то всегда можем найти и другой его корень, так как корни сопряженные. 
  2. В случае рациональных корней, узнать второй корень не представляется возможным.
Введите ответ в поле
Произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\frac{x-2}{x^2+3x-10}=\frac{6x}{x^2+7x+10}$$ равно:
  1. Разложение квадратного трехчлена $$f(x)=ax^2+bx+c$$ на множители:
     $$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$, где $$x_1$$ и $$x_2$$ – его корни. 
  2. Корни квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ находят по формулам:
     $$x_{1, 2}=\frac{-b±\sqrt{D}}{2a}$$, где $$D=b^2-4ac\ge 0$$. 
  3.  Уравнения $$f(x)=0$$ и $$g(x)=0$$ являются равносильными, если они имеют равные корни (либо не имеют корней), т. е. множества их решений совпадают.
     Записывают: $$f(x)=0⇔g(x)=0$$.
  1. Разложим знаменатели дробей на множители, предварительно найдя корни многочленов:
    1) $$x^2+3x-10=0$$, откуда по теореме, обратной теореме Виета, $$x_1=-5$$, $$x_2=2$$, так как $$x_1+x_2=-3$$, а $$x_1x_2=-10$$;
    2) $$x^2+7x+10=0$$, откуда по теореме, обратной теореме Виета, $$x_1=-5$$, $$x_2=-2$$, так как $$x_1+x_2=-7$$, а $$x_1x_2=10$$. 
  2. Уравнение примет вид: $$\frac{x-2}{(x+5)(x-2)}=\frac{6x}{(x+5)(x+2)}$$.
    ОДЗ: $$x\ne -5$$, $$x\ne 2$$, $$x\ne -2$$. 
  3. Заменим данное уравнение равносильным ему на ОДЗ уравнением:
    $$\frac{1}{(x+5}=\frac{6x}{(x+5)(x+2)}$$, $$\frac{1}{1}=\frac{6x}{(x+2)}$$,
    $$6x=x+2$$, $$x=0,4$$.
При умножении обеих частей уравнения на выражения $$(x+5)$$ и сокращения дроби на $$(x-2)$$ мы не потеряли корни, так как эти выражения не должны обращаться в нуль.
Введите ответ в поле