Загрузка

Показательные уравнения

Не имеют корней уравнения:

  1. $$3^{x+3}=-3$$;
  2. $$5^{x}=1$$;
  3. $$36\cdot 6^{1-x}=\sqrt[6]{6}$$;
  4. $$\left ( \sqrt{7} \right )^{-x}=5$$;
  5. $$10^{x}=0$$.

Показательным называют уравнение, содержащее переменную в показателе степени, то есть уравнение вида $$a^{f(x)}=b^{g(x)}$$, где $$a> 0$$, $$a\neq 1$$, $$b>0$$, $$b\neq 1$$.

  1. В уравнении $$3^{x+3}=-3$$ отрицательная правая часть, следовательно, оно не имеет решений.
  2. В уравнении $$5^{x}=1$$ число $$1$$ положительное и его можно представить как $$5^{0}$$, следовательно, уравнение имеет решение.
  3. Уравнение $$36\cdot 6^{1-x}=\sqrt[6]{6}$$ можно записать $$6^{2}\cdot 6^{1-x}=6^{\frac{1}{6}}$$ или $$6^{3-x}=6^{\frac{1}{6}}$$, следовательно, оно имеет решение.
  4. В уравнении $$\sqrt{7}^{-x}=5$$ нельзя представить число $$5$$ в виде степени числа $$7$$, но число $$5$$ – положительное, следовательно, уравнение имеет решение.
  5. В уравнении $$10^{x}=0$$ в правой части число $$0$$, следовательно, оно не имеет решений.

Выражение $$a^{f(x)}$$ всегда положительное.

Выберите один из вариантов

Произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения

$$(2\sqrt{2})^{\frac{2x}{2-x}}=8$$ равно:

  1. Свойства степеней:
    $$a^{n}a^{m}=a^{n+m}$$; $$(a^{n})^{m}=a^{nm}$$.
  2. Если уравнение имеет вид $$a^{f(x)}=a^{g(x)}$$, то оно равносильно уравнению $$f(x)=g(x)$$.
  1. Представим обе части уравнения в виде степени числа $$2$$:

    $$(2^1\cdot 2^\frac{1}{2})^\frac{2x}{2-x}=2^3,$$ $$(2^{1+\frac{1}{2}})^\frac{2x}{2-x}=2^3,$$ $$2^{\frac{3}{2}\cdot\frac{2x}{2-x}}=2^3.$$

  2. Заменим уравнение $$2^{\frac{3}{2}\cdot\frac{2x}{2-x}}=2^3$$ равносильным ему уравнением:

    $$\frac{3}{2}\cdot \frac{2x}{2-x}=3$$ или $$\frac{x}{2-x}=1$$.

    По свойству пропорции при $$x\neq 2$$ получим:

    $$x= 2-x$$, $$2x=2$$, $$x=1$$.

Свойство пропорции $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$: произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, то есть $$ad=bc$$.

Выберите один из вариантов

Сумма корней (или корень, если он единственный) уравнения $$2\cdot (1,5)^{x+1}-3\cdot \left (\frac{4}{9} \right )^{x}=0$$ равна:

Свойства степеней: $$a^{n}a^{m}=a^{n+m}$$; $$(a^{n})^{m}=a^{nm}$$.

  1. Представим число $$1,5$$ обыкновенной дробью и применим свойства степеней:

    $$2\cdot \left (\frac{3}{2} \right )^{x+1}-3\cdot \left (\frac{4}{9} \right )^{x}=0$$,

    $$2\cdot \frac{3}{2}\cdot \left (\frac{3}{2} \right )^{x}=3\cdot \left(\frac{2}{3} \right )^{2x}, $$

     $$\left (\frac{3}{2} \right )^{x}=\left(\frac{3}{2}\right)^{-2x}.$$

  2. Полагая $$\left ( \frac{3}{2} \right )^{x}=a$$, запишем:

    $$a=a^{-2}$$ или $$a=\frac{1}{a^{2}}$$, откуда $$a^{3}=1$$, $$a=1$$.

  3. Тогда, $$\left (\frac{3}{2} \right )^{x}=1$$, $$\left ( \frac{3}{2} \right )^{x}=\left (\frac{3}{2} \right )^{0}$$, $$x=0$$.

Число $$1$$ всегда можно представить в виде степени любого отличного от нуля числа с показателем нуль:
$$1=a^{0}$$, где $$a\neq 0$$.

Выберите один из вариантов

Если корень уравнения $$3^{x+1}\cdot 5^{1-x}=5,4$$ составляет $$1,5$$ часть некоторого числа, то это число равно:

Свойства степеней:

$$a^{n}a^{m}=a^{n+m}$$, $$\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$$, $$(a^{n})^{m}=a^{nm}$$, $$\frac{a^{n}}{b^{n}}=\left (\frac{a}{b} \right )^{n}.$$

  1. Используя свойства степеней, получим:

    $$3\cdot 3^{x}\cdot \frac{5}{5^{x}}=\frac{54}{10}$$, $$\left (\frac{3}{5} \right )^{x}=\frac{54}{10\cdot 5\cdot 3}$$,

    $$\left (\frac{3}{5} \right )^{x}=\frac{9}{25}$$, $$\left (\frac{3}{5} \right )^{x}=\left (\frac{3}{5} \right )^{2}$$, откуда $$x=2$$.

  2. Так как число $$2$$ составляет $$\frac{3}{2}$$ некоторого числа, то искомое число равно:

    $$2: \frac{3}{2}=\frac{4}{3}.$$

Чтобы найти число по его части, необходимо число разделить на эту дробь, а чтобы найти часть числа, необходимо число умножить на эту дробь.

Выберите один из вариантов

Сумма всех действительных корней (или корень, если он единственный) уравнения $$2^{2x+1}+7\cdot 2^{x}-4=0$$ равна:

  1. Свойство степеней: $$a^{n}a^{m}=a^{n+m}$$.
  2. Корни квадратного уравнения $$ax^{2}+bx+c=0$$ находят по формулам:

    $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$, где дискриминант $$D=b^{2}-4ac\geq 0$$.

  1. Запишем: $$2\cdot 2^{2x}+7\cdot 2^{x}-4=0$$.
  2. Полагая $$2^{x}=a$$, получим:

    $$2a^{2}+7a-4=0$$, откуда

    $$D=49+32=81$$, $$a_{1}=\frac{-7-9}{4}=-4$$, $$a_{_{2}}=\frac{-7+9}{4}=\frac{1}{2}$$.

  3. Тогда $$2^{x}=-4$$, откуда $$x\in \varnothing$$ или $$2^{x}=2^{-1}$$, откуда $$x=-1$$.

Выражение $$2^{x}$$ принимает только положительные значения.

Выберите один из вариантов

Среднее арифметическое всех действительных корней (или корень, если он единственный) уравнения $$(\sqrt{3})^{2x}+3^{1-x}=4$$ равно:

Свойства степеней: $$\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$$, $$(a^{n})^{m}=a^{nm}$$, $$a^{0}=1$$.

  1. Запишем уравнение в виде $$3^{x}+\frac{3}{3^{x}}-4=0$$.
    Полагая $$3^{x}=a$$, получим: $$a+\frac{3}{a}-4=0$$, $$a^{2}-4a+3=0$$.
    Так как сумма корней этого уравнения равна $$4$$, а их произведение равно $$3$$, то $$a_{1}=3$$, $$a_{2}=1$$.
    Тогда, $$3^{x}=3^{1}$$, откуда $$x=1$$ или $$3^{x}=3^{0}$$, откуда $$x=0$$.
  2. Среднее арифметическое корней уравнения равно: $$\frac{1+0}{2}=0,5$$.

Число $$1$$ всегда можно представить в виде степени любого отличного от нуля числа с показателем нуль: $$1=a^{0}$$, где $$a\neq 0$$.

Выберите один из вариантов

Модуль разности корней уравнения $$14\cdot 2^{2x}-53\cdot 14^{x}+14\cdot 49^{x}=0$$ равен:

  1. Свойства степеней:

    $$\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$$, $$(a^{n})^{m}=a^{nm}$$, $$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$$, $$\frac{a^{n}}{b^{n}}=\left (\frac{a}{b} \right )^{n}.$$

  2. Корни квадратного уравнения $$ax^{2}+bx+c=0$$ находят по формулам:

    $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$, где дискриминант $$D=b^{2}-4ac\geq 0$$.

  1. Используя свойства степеней, запишем:
    $$14\cdot 2^{2x}-53\cdot 2^{x}\cdot 7^{x}+14\cdot 7^{2x}=0$$.
    Разделим уравнение на $$2^{x}\cdot 7^{x}\neq 0$$. Получим:

    $$\frac{14\cdot 2^{2x}}{2^{x}\cdot 7^{x}}-\frac{53\cdot 2^{x}\cdot 7^{x}}{2^{x}\cdot 7^{x}}+\frac{14\cdot 7^{2x}}{2^{x}\cdot 7^{x}}=\frac{0}{2^{x}\cdot 7^{x}}$$,

    $$\frac{14\cdot 2^{x}}{7^{x}}-53+\frac{14\cdot 7^{x}}{2^{x}}=0$$,

    $$14\cdot \left (\frac{2}{7} \right )^{x}-53+14\cdot \left (\frac{7}{2} \right )^{x}=0.$$

  2. Полагая $$\left (\frac{2}{7} \right )^{x}=a$$, запишем:

    $$14\cdot a-53+\frac{14}{a}=0$$, $$14a^{2}-53a+14=0$$.

    Тогда: $$D=53^{2}-4\cdot 14^{2}=(53-28)(53+28)=25\cdot 81=45^{2}$$,

    $$a_{1}=\frac{53-45}{28}=\frac{2}{7}$$, $$\alpha _{2}=\frac{53+45}{28}=\frac{7}{2}$$.

  3. Тогда: $$\left (\frac{2}{7} \right )^{x}=\frac{2}{7}$$, откуда $$x=1$$ или $$\left (\frac{2}{7} \right )^{x}=\left(\frac{2}{7}\right )^{-1}$$, откуда $$x=-1$$.
  4. Найдем модуль разности корней уравнения: $$\left | 1+1 \right |=2$$.

Выражения $$\left (\frac{a}{b} \right )^{n}$$ и $$\left (\frac{b}{a} \right )^{n}$$ взаимно обратные.

Выберите один из вариантов

Сумма модулей корней уравнения $$(3-2\sqrt{2})^{x}+(3+2\sqrt{2})^{x}=34$$ равна:

  1. Свойство степеней: $$1^{n}=1$$, $$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$$.
  2. Формула разности квадратов: $$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$$.
  3. Формула квадрата суммы (разности): $$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$$.
  4. Корни квадратного уравнения $$ax^{2}+bx+c=0$$ находят по формулам:

    $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$, где дискриминант $$D=b^{2}-4ac\geq 0$$.

  1. Выполним следующее преобразование: умножим и разделим выражение $$(3-2\sqrt{2})^{x}$$ на сопряженное ему. Получим:
    $$(3-2\sqrt{2})^{x}=\frac{(3-2\sqrt{2})^{x}\cdot (3+2\sqrt{2})^{x}}{(3+2\sqrt{2})^{x}}=\frac{(9-8)^{x}}{(3+2\sqrt{2})^{x}}=$$$$\frac{1}{(3+2\sqrt{2})^{x}}$$.
  2. Полагая $$(3+2\sqrt{2})^{x}=a$$, запишем: $$\frac{1}{a}+a=34$$, $$a^{2}-34a+1=0$$.
    Откуда: $$D=34^{2}-4=(34-2)(34+2)=32\cdot 36=(24\sqrt{2})^{2}$$, $$a_{1}=\frac{34-24\sqrt{2}}{2}=17-12\sqrt{2}=9-2\cdot 3\cdot \sqrt{8}+8=(3-2\sqrt{2})^{2}$$,
    $$a_{2}=(3+2\sqrt{2})^{2}$$.
  3. Тогда: $$(3+2\sqrt{2})^{x}=(3-2\sqrt{2})^{2}$$, откуда $$x=-2$$;
    $$(3+2\sqrt{2})^{x}=(3+2\sqrt{2})^{2}$$, откуда $$x=2$$.
  4. Найдем сумму модулей корней уравнения: $$2+2=4$$.

Выражения $$(3-2\sqrt{2})^{x}$$ и $$(3+2\sqrt{2})^{x}$$ взаимно обратные, так как их произведение равно числу $$1$$.

Выберите один из вариантов

Среднее арифметическое координат упорядоченных пар чисел, которые образуют решение системы уравнений $$\left\{\begin{matrix} 2^{x}+2^{y}=5,\hfill \\ \sqrt{2}^{x+y}=2,\hfill \end{matrix}\right.$$ равно:

Свойства степеней: $$\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{m-n};$$ $$(a^n)^{m}=a^{nm}$$.

  1. Запишем систему в виде:
    $$\begin{cases} 2^{x}+2^{y}=5,\\ \sqrt{2}^{x+y}=(\sqrt{2})^{2}; \end{cases}$$$$\begin{cases} 2^{x}+2^{y}=5,\\ x+y=2; \end{cases}$$$$\begin{cases} 2^{x}+2^{y}=5,\\ y=2-x; \end{cases}$$$$\begin{cases} 2^{x}+2^{2-x}=5,\\ y=2-x. \end{cases}$$
  2. Решим уравнение $$2^{x}+2^{2-x}=5$$. Запишем:

    $$2^{x}+\frac{4}{2^{x}}=5, (2^{x})^{2}-5\cdot 2^{x}+4=0$$.

    Решая квадратное уравнение относительно $$2^{x}$$ по теореме Виета, запишем:

    $$2^{x_{1}}+2^{x_{2}}=5$$, а $$2^{x_{1}}\cdot 2^{x_{2}}=4$$ и получим $$2^{x_{1}}=4$$, а $$2^{x_{2}}=1$$.

    Тогда, $$x_1=2$$, а $$x_2=0$$.

  3. Так как $$y=2-x$$, то $$y_1=2-2=0$$, а $$y_2=2-0=2$$.
  4. Найдем среднее арифметическое координат упорядоченных пар чисел, которые образуют решение системы уравнений:
    $$\frac{2+0+0+2}{4}=1$$.

Уравнение $$(2^x)^2 -5\cdot 2^x+4=0$$ можно решить с помощью подстановки $$2^x=a$$.

Введите ответ в поле

Количество корней уравнения $$\left | x-2 \right |^{x^{2}-2x}=\left | x-2 \right |^3$$ равно:

  1. Если уравнение имеет вид $$(f(x))^{g(x)}=(f(x))^{\phi (x)}$$, то решаем три уравнения:
    1) $$g(x)=\phi(x)$$ при $$f(x)>0$$ и $$f(x)\neq 1$$;
    2) $$f(x)=1$$;
    3) $$f(x)=0$$. В этом случае необходима проверка корней подстановкой их в исходное уравнение, так как можем получить неопределенность вида $$0^0$$ или $$0^{-n}=\frac{1}{0}$$.
    Общее решение: объединение корней этих уравнений.
  2. Если уравнение имеет вид $$\left | f(x) \right |=a$$ и $$a\geq 0$$, то оно равносильно $$\left [\begin{matrix} f(x)=a,\\ f(x)=-a. \end{matrix}\right.$$
  1. Решим уравнение $$x^{2}-2x=3$$ или $$x^{2}-2x-3=0$$, откуда $$x=3$$ и $$x=-1$$.
  2. Решим уравнение $$\left | x-2 \right |=1$$$$\Leftrightarrow \left [\begin{matrix} x-2=1,\\ x-2=-1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left [\begin{matrix} x=3,\\ x=1. \end{matrix}\right.$$
  3. Решим уравнение $$\left | x-2 \right |=0$$, откуда $$x=2$$.
    Проверка: $$\left | 2-2 \right |^{4-4}=\left | 2-2 \right |^3$$, $$0^0=0^3$$.
    Поскольку выражение $$0^0$$ лишено смысла, то число 2 корнем уравнения не является. Корни уравнения: –$$1$$; $$1$$ и $$3$$.

Справедливо равенство $$0^n=0$$, но если $$n=0$$ или $$n<0$$, то это выражение лишено смысла.

Введите ответ в поле