Загрузка

Многогранники

Если радиус окружности, описанной около грани куба, равен $$\sqrt{6}$$ , то площадь поверхности куба равна:

  1. Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной $$a$$:

    $$R=\frac{d}{2}$$ .
  2. Площадь квадрата со стороной $$a$$ и диагональю $$d$$:

    $$S=a^{2}$$; $$S=\frac{1}{2}d^{2}$$.
  3. Площадь поверхности куба с ребром $$a$$:

    $$S$$пов.$$= 6a^{2}$$.
    1. Так как грань куба – квадрат и $$R=\sqrt{6}$$ , то $$\sqrt{6}=\frac{d}{2}$$ , а $$d=2\sqrt{6}$$ – диагональ квадрата.
    2. Найдем площадь квадрата:

      $$S=\frac{1}{2}d^{2}$$, $$S=\frac{1}{2}(2\sqrt{6})^{2}=12=a^{2}$$.
    3. Тогда, $$S$$пов.$$=6\cdot 12=72$$.

    Все ребра куба равны, а поверхность куба состоит из шести равных квадратов.

    Выберите один из вариантов

    Если диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $$\sqrt{58}$$, а его измерения относятся как $$2:3:4$$, то объем параллелепипеда равен:

    1. Прямоугольным параллелепипедом называют прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.
    2. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:

      $$d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$$,

      где $$a,b,c$$ – длины ребер, выходящих из одной вершины, $$d$$ – диагональ параллелепипеда.
    3. Объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями $$a,b$$ и $$c$$ находят по формуле:

      $$V=abc$$ .

      Пусть коэффициент пропорциональности равен $$k$$.

      Запишем измерения параллелепипеда:

      $$a=2k$$, $$b=3k$$ и $$c=4k$$.

      По свойству диагонали параллелепипеда:

      $$58=4k^{2}+9k^{2}+16k^{2}$$, $$29k^{2}=58$$, $$k^{2}=2$$, $$k=\sqrt{2}$$.

      Тогда, $$V=abc=24k^{3}=48\sqrt{2}$$.

      Длины ребер, выходящих из одной вершины параллелепипеда, называют его измерениями.

      Выберите один из вариантов

      Если стороны основания параллелепипеда имеют длины $$3$$ и $$\sqrt{3}$$ образуют угол $$60^{\circ}$$, а его боковое ребро длины $$6$$ наклонено к плоскости основания под углом $$30^{\circ}$$, то объем параллелепипеда равен:

      1. Параллелепипедом называют призму, все грани которой параллелограммы.
      2. Объем наклонной призмы высоты $$h$$ можно вычислить по формуле:

        $$V=S$$осн.$$\cdot h$$.
      3. Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле:

        $$S=absin\alpha$$,

        где $$a,b$$ – смежные стороны, $$\alpha$$ – острый угол.
      1. Параллелепипедом называют призму, все грани которой параллелограммы.
      2. Объем наклонной призмы высоты $$h$$ можно вычислить по формуле: $$V=S$$осн.$$\cdot h$$.
      3. Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле: $$S=absin\alpha$$, где $$a,b$$ – смежные стороны, $$\alpha$$ – острый угол.

      На рисунке 9. 1: $$AA_{1}=6$$ , $$\angle A_{1}AO=30^{\circ}$$ .

      Тогда, $$A_{1}O=3$$ (как катет, лежащий против угла $$30^{\circ}$$ ).

      Площадь основания:

      $$S=3\sqrt{3}sin60^{\circ}=3\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{2}$$.

      Объем: $$V=\frac{9}{2}\cdot 3=13, 5$$ .

      Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, заключенный между основаниями призмы. Если призма прямая, то ее боковые ребра – высоты.

      Выберите один из вариантов

      Если большая диагональ правильной шестиугольной призмы равна $$2$$ и образует с высотой угол $$60^{\circ}$$, то площадь боковой поверхности призмы равна:

      Площадь боковой поверхности прямой призмы высоты $$h$$ находят по формуле:

      $$S$$бок.$$=P$$осн.$$\cdot h$$.

      Согласно рисунку 9.2 в треугольнике $$ACD$$ гипотенуза $$AC=2$$ , $$\angle ACD=60^{\circ}$$.

      Тогда $$\angle CAD=30^{\circ}$$, а $$CD=1$$   (как катет, лежащий против угла  $$30^{\circ}$$). 

      Из теоремы Пифагора: $$AD=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$$.
      Так как $$AD=2a$$ , то $$a=\frac{\sqrt{3}}{2}$$   – сторона шестиугольника.
      Тогда, $$S$$бок.$$=6a\cdot h=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1=3\sqrt{3}$$.
      1. Правильной призмой называют прямую призму, основанием которой является правильный многоугольник.
      2. Диагональю призмы называют отрезок, соединяющий две ее вершины, не принадлежащие одной грани.
      Выберите один из вариантов

      Если высота правильной треугольной пирамиды равна $$4$$, а сторона ее основания равна $$6\sqrt{3}$$, то длина апофемы равна:

      1. Пирамидой называют многогранник, одна грань которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной. Многоугольник является основанием пирамиды, а треугольники – боковыми гранями.
      2. Высотой пирамиды называют отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к плоскости ее основания.
      3. Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высота опускается в центр вписанной и описанной окружности многоугольника, лежащего в основании пирамиды.
      4. Высоту боковой грани правильной пирамиды, проведенную из ее вершины, называют апофемой.
      5. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $$a$$ находят по формуле: $$r=\frac{a}{2\sqrt{3}}$$ .
      1. Найдем радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: $$r=\frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=3$$ .

        На рисунке 9.3 $$OE=r=3$$.

      2. Так как $$OE\perp CB$$ , то и $$DE\perp CB$$  (по теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, $$DE$$ – апофема.
        По теореме Пифагора:

        $$DE=\sqrt{DO^{2}+OE^{2}}=\sqrt{16+9}=5$$.

      Теорема о трех перпендикулярах: для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна проекции этой наклонной на плоскость.

      Выберите один из вариантов

      Если радиус окружности, описанной около грани правильного тетраэдра, равен $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$, то объем тетраэдра равен:

      1. Треугольную пирамиду называют тетраэдром. Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны.
      2. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $$a$$:

        $$R=\frac{a}{\sqrt{3}}$$ .
      3. Площадь правильного треугольника со стороной $$a$$:

        $$S=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}$$ .
      4. Объем пирамиды:

        $$V=\frac{1}{3}S$$осн.$$h$$ .

      1. Зная, что $$R=\frac{2}{\sqrt{3}}$$, найдем ребро тетраэдра:

        $$\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$$ , $$a=2$$ (рис. 9.4).
      2. Найдем высоту пирамиды:

        $$DO=\sqrt{DA^{2}-OA^{2}}=\sqrt{4-\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$.
      3. Найдем площадь основания пирамиды:

        $$S=\frac{\sqrt{3}\cdot 4}{4}=\sqrt{3}$$.
      4. Найдем объем пирамиды:

        $$V=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$.

      Различайте правильную треугольную пирамиду и правильный тетраэдр.

      У правильной треугольной пирамиды основание – правильный треугольник, а боковые ребра хоть и равны между собой, но не обязательно, что они равны ребрам основания пирамиды.

      Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, у которой все ребра равны.

      Выберите один из вариантов

      Если основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $$6$$ и $$8$$, а все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $$45^{\circ}$$, то объем пирамиды равен:

      1. Если все боковые ребра пирамиды равны (или наклонены к плоскости основания пирамиды под одним и тем же углом), то высота пирамиды опускается в центр окружности, описанной около ее основания.
      2. Площадь прямоугольного треугольника с катетами $$a$$ и $$b$$:

        $$S=\frac{ab}{2}$$ .
      3. Объем пирамиды:

        $$V=\frac{1}{3}S$$осн.$$\cdot h$$ .

      Высота пирамиды опускается в центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника $$ABC$$, точку $$O$$, расположенную на середине гипотенузы $$AB$$ (рис. 9.5).

      По теореме Пифагора найдем гипотенузу треугольника $$ABC$$:

      $$AB=\sqrt{CA^{2}+CB^{2}}=\sqrt{64+36}=10$$.

      Тогда $$AO=5$$ , а так как треугольник $$AOS$$ равнобедренный, то и $$SO=5=h$$.

      Найдем площадь основания пирамиды:

      $$S=\frac{8\cdot 6}{2}=24$$. Найдем объем пирамиды:

      $$V=\frac{1}{3}\cdot 24\cdot 5=40$$.

      Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, расположен на середине его гипотенузы.

      Выберите один из вариантов

      Основание пирамиды – ромб с острым углом $$30^{\circ}$$ и площадью $$50$$. Если двугранные углы при основании пирамиды равны, а ее высота равна $$5\sqrt{3}$$, то площадь боковой поверхности пирамиды равна:

      1. Если боковые грани пирамиды наклонены к ее основанию под одним и тем же углом (двугранные углы при сновании равны), то высота пирамиды опускается в центр окружности, вписанной в ее основание.
      2. Площадь ромба:

        $$S=a^{2}sin\alpha$$, где $$a$$ – сторона, $$\alpha$$ – угол ромба

        или $$S=ah$$, где $$h$$ – высота ромба.
      3. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:

        $$S$$бок.$$=\frac{1}{2}P$$осн.$$\cdot h$$бок. , где $$h$$бок. – апофема пирамиды.

      На рисунке 9.6: точка $$O$$ – центр вписанной окружности; $$SO=h=5\sqrt{3}$$ ; $$SP$$ – высота боковой грани, так как $$OP\perp DC$$.

      1. Найдем сторону ромба:

        $$50=a^{2}sin30^{\circ}$$ , $$50=a^{2}\cdot \frac{1}{2}$$ , $$a=10$$.
      2. Найдем высоту ромба:

        $$S=ah$$ , $$50=10h$$, $$h=5$$.

        Тогда радиус окружности, вписанной в ромб, равен $$2,5$$ – на рисунке 9.6 отрезок $$PO$$.
      3. Найдем высоту боковых граней пирамиды:

        $$SP=\sqrt{OP^{2}+SO^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}+75}=5\sqrt{\frac{1}{4}+3}=5\sqrt{\frac{13}{4}}=\frac{5\sqrt{13}}{2}$$.
      4. Найдем боковую поверхность пирамиды:

        $$S$$бок.$$=\frac{1}{2}\cdot 4a\cdot SP+\frac{1}{3}\cdot 40\cdot \frac{5\sqrt{13}}{2}=50\sqrt{13}$$.

      1. Двугранным углом при основании пирамиды называют угол между плоскостью ее боковой грани и плоскостью основания пирамиды.
      2. В нашем случае пирамида не является правильной, но боковые грани – равные треугольники, поэтому справедливо, что $$S$$бок.$$=\frac{1}{2}P$$осн.$$\cdot h$$бок.
      Выберите один из вариантов

      Основание пирамиды – равнобокая трапеция с углом $$30^{\circ}$$, а все боковые грани образуют с плоскостью основания углы, тангенс которых равен $$ 1,5\sqrt{3}$$.

      Если высота пирамиды равна $$3\sqrt{3}$$ , то площадь ее основания равна:

      1. Теорема о трех перпендикулярах: для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна проекции этой наклонной на плоскость.
      2. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего углу катета этого треугольника к прилежащему к нему катету.
      3. Радиус окружности, вписанной в трапецию:

        $$r=\frac{h}{2}$$ , где $$h$$ – высота трапеции.
      4. Площадь трапеции:

        $$S=\frac{1}{2}(a+b)h$$ , где $$a,b$$ – основания, $$h$$ – высота.
      5. Объем пирамиды: $$V=\frac{1}{3}S$$осн.$$h$$.
      1. На рисунке 9.7: точка $$O$$ – центр окружности, вписанной в трапецию

        $$ABCD$$;

        $$PO=r$$ – радиус окружности, вписанной в трапецию;

        $$SP\perp AD$$ по теореме о трех перпендикулярах.
      2. Так как $$tg\angle SPO=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$ и $$tg\angle SPO=\frac{SO}{PO}$$, то

        $$\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{PO}$$ , откуда $$PO=2=r$$.

        Тогда $$BK=2r=4$$ – высота трапеции и катет треугольника $$ABK$$, который лежит против угла $$30^{\circ}$$. Следовательно, $$AB=8$$.
      3. Так как сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон и равна $$16$$, то площадь трапеции равна:

        $$S=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 4=32$$.

      В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы длин его противолежащих сторон равны.

      Введите ответ в поле

      Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $$45^{\circ}$$ . Если площади оснований пирамиды равны $$8$$ и $$32$$, то ее утроенный объем равен:

      1. Усеченной пирамидой называют многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию пирамиды. Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники.
      2. Площадь квадрата с диагональю $$d$$:

        $$S=\frac{d^{2}}{2}$$.
      3. Объем усеченной пирамиды находят по формуле:

        $$V=\frac{1}{3}h(S_{1}+S_{2}+\sqrt{S_{1}S_{2}})$$,

        где $$S_{1}$$ и $$S_{2}$$ – площади оснований, $$h$$ – ее высота.
      1. Диагональное сечение пирамиды – равнобокая трапеция $$ABCD$$ (рис. 9.8).
      2. Так как основания усеченной пирамиды – квадраты и площади их соответственно равны $$8$$ и $$32$$, то:
      3. 1) $$8=\frac{d_{1}^{2}}{2}$$, откуда $$d_{1}=4$$ , а $$\frac{d_{1}}{2}=2$$;

        2) $$32=\frac{d_{2}^{2}}{2}$$, откуда $$d_{2}=8$$, а $$\frac{d_{2}}{2}=4$$.
      4. Тогда, $$DP=OD-OP=\frac{d_{2}}{2}-\frac{d_{1}}{2}=4-2=2$$.
      5. Треугольник $$CPD$$ – равнобедренный ($$\angle C=\angle D=45^{\circ}$$).

        Значит, $$CP=2=h$$.
      6. Найдем объем пирамиды:

        $$V=\frac{1}{3}\cdot 2(8+32+\sqrt{8\cdot 32})=\frac{2}{3}\cdot (40+16)=\frac{112}{3}$$.
      7. Тогда, $$3V=112$$.

      Если пирамида правильная, то ее основание – правильный многоугольник.

      Введите ответ в поле