Загрузка

Тела вращения

Если высота конуса равна $$4$$, а радиус его основания равен $$3$$, то площадь поверхности конуса равна:

1. Площадь боковой поверхности конуса находят по формуле:

$$S_{\delta o\kappa. }=\pi rl$$
где $$r$$– радиус основания, $$l$$ – образующая конуса.
2. Образующую конуса находят по формуле:

$$l=\sqrt{h^2+r^2}$$
где $$h$$– высота.
  1. Найдем образующую конуса:

    $$l=\sqrt{4^2+3^2}=5$$.
  2. Найдем площадь боковой поверхности конуса:

    $$S_{бок}=\pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$$.

Конусом называют фигуру, полученную в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, который называют осью конуса.

Выберите один из вариантов

Если осевое сечение цилиндра – квадрат со стороной $$6$$, то объем цилиндра равен:

Объем цилиндра:

$$V=S_{oc.}\cdot h$$, где $$S_{oc.}=\pi r^2$$.

На рисунке 9. 9 квадрат $$ABCD$$ – осевое сечение цилиндра.

Тогда, $$h=6$$, а $$r=3$$.

Найдем объем цилиндра: 

$$V=\pi r^2\cdot h$$, $$V=\pi \cdot9 \cdot6=54\pi$$.

Рис. 9.9


Цилиндром называют фигуру, полученную в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон, которую называют осью цилиндра. Сечение цилиндра, проходящее через его ось, называют осевым.

Выберите один из вариантов

Если в осевое сечение усеченного конуса, площадь боковой поверхности которого равна $$144\pi$$, можно вписать окружность, то образующая конуса равна:

Площадь боковой поверхности конуса:

$$S$$бок.$$=\pi (r_{1}+r_{2})l$$ ,

где $$r_{1}$$ и $$r_{2}$$ – радиусы оснований, $$l$$ – образующая конуса.

Осевое сечение конуса – равнобокая трапеция $$ABCD$$ с боковой стороной $$l$$ и основаниями $$2r_{1}$$ и $$2 r_{2}$$ (рис. 9. 11).


Так как в трапецию можно вписать окружность, то

$$2l=2r_{1}+2r_{2}$$ , $$l=r_{1}+r_{2}$$ .

Тогда: $$144\pi =\pi (r_{1}+r_{2})l$$, $$144=l^{2}$$ , откуда $$l=12$$ .

В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы длин его противолежащих сторон равны.

Выберите один из вариантов

Если площадь сечения шара, проведенного через его диаметр равна $$36\pi$$, то объем шара равен:

  1. Шаром называют фигуру, полученную вращением полукруга вокруг его диаметра.
  2. Площадь круга радиуса $$R$$ находят по формуле:

    $$S=\pi R^2$$.
  3. Объем шара радиуса $$R$$ находят по формуле:

    $$V=\frac{4}{3}\pi R^3$$.
  1. Найдем радиус шара:
    $$36\pi=\pi R^2$$, $$36=R^2$$, $$6=R$$.
  2. Найдем объем шара:
    $$V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot 6^3=288\pi$$.

Сечение шара плоскостью – круг. Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом.

Выберите один из вариантов

Если радиус окружности, вписанной в осевое сечение конуса, равен $$\frac{10}{3}$$, а высота конуса равна $$12$$, то образующая конуса равна:

Свойства касательных
 1) отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны;
2) радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания.

На рисунке 9.15:

$$\bigtriangleup ABC$$ – осевое сечение конуса; 
$$R$$ – радиус окружности, вписанной в осевое сечение;

$$l$$ - образующая конуса;

$$h$$ – высота конуса;

$$CO=CK=x$$ – отрезки касательных к окружности.

  1. Так как $$BO=12$$, $$PO=\frac{10}{3}$$, то $$PB=12-\frac{10}{3}=\frac{26}{3}$$.
  2. Из теоремы Пифагора: 

    $$BK=\sqrt{BP^{2}-PK^{2}}$$, $$BK=\sqrt{\left (\frac{26}{3} \right )^{2}-\left (\frac{10}{3} \right )^{2}}$$, $$BK=\sqrt{\left (\frac{26}{3}-\frac{10}{3}  \right )\left (\frac{26}{3}+\frac{10}{3}  \right )}$$, $$BK=\sqrt{\frac{16\cdot 36}{3\cdot 3}}=8$$.
  3. Так как треугольники $$OBC$$ и $$KBP$$ подобные (по двум углам), то $$\frac{BC}{BP}=\frac{OC}{KP}$$.

    Тогда:

    $$\frac{3(8+x)}{26}=\frac{2x}{10}$$, $$\frac{8+x}{13}=\frac{x}{5}$$, $$40+5x=13x$$, $$x=5$$.

    Значит, $$CB=5+8=13=l$$.

Два треугольника подобны, если их соответственные углы равны, а стороны – пропорциональны.

Введите ответ в поле

Площадь квадрата, все вершины которого лежат на поверхности шара, равна $$50$$. Если площадь сечения, проходящего через центр шара, равна $$169\pi$$, то центр шара удален от плоскости квадрата на расстояние, равное:

  1. Площадь квадрата:

    $$S=\frac{d^{2}}{2}$$, где $$d$$ – диагональ.
  2. Радиус круга, описанного около квадрата:

    $$r=\frac{d}{2}$$.
  3. Площадь круга:

    $$S=\pi R^{2}$$ , где $$R$$ – радиус.

На рисунке 9.14: 

$$R$$ – радиус шара; 

$$r$$ – радиус сечения (круга, в который вписан квадрат); 

$$l$$ – расстояние между плоскостью квадрата и центром шара.

1. Найдем диагональ квадрата:

$$\frac{d^{2}}{2}=50$$ , $$d^{2}=100$$, $$d=10$$
2. Найдем радиус окружности, описанной около квадрата, а, значит, и радиус сечения шара плоскостью квадрата: 
$$r=\frac{10}{2}=5$$
3. Найдем радиус шара:

$$\pi R^{2}=169\pi$$ , $$R^{2}=169$$ , $$R=13$$
4 . Найдем расстояние между плоскостью квадрата и центром шара: 

$$l=\sqrt{R^{2}-r^{2}}$$, $$l=\sqrt{169-25}=12$$.

Сечение шара плоскостью – круг. Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом.

Введите ответ в поле

Если площадь сечения, проведенного под углом $$45^{\circ}$$ к радиусу шара, равна $$8\pi$$, то объем шара равен:

Площадь круга:

$$S=\pi r^{2}$$
где $$r$$ – радиус.

  1. На рисунке 9.13: $$r$$ – радиус сечения, а $$R$$ – радиус шара.

    Тогда: $$\pi r^{2}=8\pi$$, $$r^{2}=8$$, $$r=2\sqrt{2}$$.
  2. Так как $$\Delta AOB$$ – равнобедренный ($$\angle B=\angle O=45^{\circ}$$), то $$AB=AO=2\sqrt{2}$$.
  3. По теореме Пифагора: 

    $$R=\sqrt{AO^{2}+AB^{2}}$$, $$R=\sqrt{8+8}=4$$.

Сечение шара плоскостью – круг. Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом.

Выберите один из вариантов

Если площадь поверхности цилиндра равна $$8\pi$$, а площадь его основания равна $$2\pi$$, то периметр развертки боковой поверхности цилиндра равен:

  1. Объем и площадь поверхности цилиндра находят по формулам:

    $$V=S_{oc.}\cdot h$$;

    $$S_{oc.}=\pi r^2$$;

    $$S_{n.}=2S_{oc.}+S_{\delta o\kappa .}$$;

    $$S_{\delta o\kappa .}=2\pi rl$$,

    где $$r$$ – радиус основания, $$h$$ – высота, $$l$$ – образующая цилиндра. 
  2. Развертка боковой поверхности цилиндра – прямоугольник, одна сторона которого равна образующей цилиндра, а другая сторона равна длине окружности его основания.
  3. Длина окружности радиуса $$r$$:

    $$C=2\pi r$$.
1. Так как $$S_{oc.}=2\pi$$, то $$2\pi=\pi r^2$$, $$2=r^2$$, $$r=\sqrt2$$ – радиус основания цилиндра.
2. Так как $$S_{n.}=2S_{oc.}+S_{\delta o\kappa. }$$, $$S_{n.}=2\pi r(r+l)$$, то 
$$8\pi=2\pi \sqrt2(\sqrt2+l)$$, $$4=2+\sqrt2l$$, $$\sqrt2l=2$$, $$l=\sqrt2$$ – образующая цилиндра.
3. Найдем длину окружности, лежащей в основании цилиндра: 
$$C=2\sqrt2\pi$$.
4. Найдем периметр развертки боковой поверхности цилиндра: 
$$P=2(2\sqrt2\pi +\sqrt2)$$, $$P=2\sqrt2(2\pi+1)$$.

Периметр прямоугольника:

$$P=2(a+b)$$
где $$a$$ и $$b$$ – его смежные стороны.

Выберите один из вариантов

Если радиус основания конуса равен $$6$$, а разверткой его боковой поверхности является круговой сектор с центральным углом $$120^o$$, то площадь поверхности конуса равна:

  1. Площадь поверхности конуса:

    $$S_{n.}=S_{oc.}+S_{\delta o\kappa. }$$; $$S_{oc.}=\pi r^2$$; $$S_{\delta o\kappa. }=\pi rl$$,

    где $$r$$ – радиус основания, $$l$$ – образующая цилиндра.
  2. Длина окружности радиуса $$r$$:

    $$C=2\pi r$$.
  3. Длина дуги окружности радиуса $$r$$ c центральным углом $$n^o$$:

    $$C_{\partial y\imath u}=\frac{2\pi R}{360^o}n^o$$.

На рисунке 9.10 изображен конус и развертка его боковой поверхности.

1. Так как $$r=6$$, то найдем длину окружности, лежащей в основании конуса, а, значит, и длину дуги развертки его боковой поверхности:

$$C=2\pi r=12\pi=C_{\partial y\imath u}$$
2. С другой стороны, 
$$C_{\partial y\imath u}=\frac{2\pi l}{360^o}\cdot 120^o=\frac{2\pi l}{3}$$
3. Тогда, $$\frac{2\pi l}{3}=12\pi$$, откуда $$l=18$$
4. Найдем площадь поверхности конуса: 

$$S=\pi r^2+\pi rl$$, $$S=36\pi+108\pi=144\pi$$.

Радиус кругового сектора, который является разверткой боковой поверхности конуса, равен образующей конуса.

Выберите один из вариантов

Шар касается плоскости $$\alpha$$ в точке $$A$$. Если точка  $$B$$ принадлежит плоскости $$\alpha$$ и удалена от точки $$A$$ на расстояние $$5$$ см, а от поверхности шара – на  $$1$$ см, то радиус шара равен:

Свойство касательной и секущей: если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению секущей и ее внешней части.

На рисунке 9.12 изображено сечение шара плоскостью, проходящей через точки $$A,B$$ и $$O$$.
По свойству касательной и секущей: 
$$BA^{2}=BC\cdot BD$$  . 
Тогда: 
$$5^{2}=(2R+1)\cdot 1$$; $$2R+1=25$$; $$R=12$$ (см).

Радиус шара перпендикулярен касательной плоскости в точке касания.

Выберите один из вариантов