Тела вращения ИТ
Если площадь сечения шара, проведенного через его диаметр равна $$36\pi$$, то объем шара равен:
- Шаром называют фигуру, полученную вращением полукруга вокруг его диаметра.
- Площадь круга радиуса $$R$$ находят по формуле: $$S=\pi R^2$$.
- Объем шара радиуса $$R$$ находят по формуле: $$V=\frac{4}{3}\pi R^3$$.
- Найдем радиус шара:$$36\pi=\pi R^2$$, $$36=R^2$$, $$6=R$$.
- Найдем объем шара: $$V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot 6^3=288\pi$$.
Сечение шара плоскостью – круг. Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом.
Если радиус основания конуса равен $$6$$, а разверткой его боковой поверхности является круговой сектор с центральным углом $$120^o$$, то площадь поверхности конуса равна:
- Площадь поверхности конуса: $$S_{n.}=S_{oc.}+S_{\delta o\kappa. }$$; $$S_{oc.}=\pi r^2$$; $$S_{\delta o\kappa. }=\pi rl$$, где $$r$$ – радиус основания, $$l$$ – образующая цилиндра.
- Длина окружности радиуса $$r$$: $$C=2\pi r$$.
- Длина дуги окружности радиуса $$r$$ c центральным углом $$n^o$$: $$C_{\partial y\imath u}=\frac{2\pi R}{360^o}n^o$$.
На рисунке 9.10 изображен конус и развертка его боковой поверхности.
1. Так как $$r=6$$, то найдем длину окружности, лежащей в основании конуса, а, значит, и длину дуги развертки его боковой поверхности: $$C=2\pi r=12\pi=C_{\partial y\imath u}$$.Радиус кругового сектора, который является разверткой боковой поверхности конуса, равен образующей конуса.
Если радиус окружности, вписанной в осевое сечение конуса, равен $$\frac{10}{3}$$, а высота конуса равна $$12$$, то образующая конуса равна:
На рисунке 9.15:
$$\bigtriangleup ABC$$ – осевое сечение конуса;- Так как $$BO=12$$, $$PO=\frac{10}{3}$$, то $$PB=12-\frac{10}{3}=\frac{26}{3}$$.
- Из теоремы Пифагора: $$BK=\sqrt{BP^{2}-PK^{2}}$$, $$BK=\sqrt{\left (\frac{26}{3} \right )^{2}-\left (\frac{10}{3} \right )^{2}}$$, $$BK=\sqrt{\left (\frac{26}{3}-\frac{10}{3} \right )\left (\frac{26}{3}+\frac{10}{3} \right )}$$, $$BK=\sqrt{\frac{16\cdot 36}{3\cdot 3}}=8$$.
- Так как треугольники $$OBC$$ и $$KBP$$ подобные (по двум углам), то $$\frac{BC}{BP}=\frac{OC}{KP}$$. Тогда: $$\frac{3(8+x)}{26}=\frac{2x}{10}$$, $$\frac{8+x}{13}=\frac{x}{5}$$, $$40+5x=13x$$, $$x=5$$. Значит, $$CB=5+8=13=l$$.
Два треугольника подобны, если их соответственные углы равны, а стороны – пропорциональны.
Шар касается плоскости $$\alpha$$ в точке $$A$$. Если точка $$B$$ принадлежит плоскости $$\alpha$$ и удалена от точки $$A$$ на расстояние $$5$$ см, а от поверхности шара – на $$1$$ см, то радиус шара равен:
Свойство касательной и секущей: если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению секущей и ее внешней части.
Радиус шара перпендикулярен касательной плоскости в точке касания.
Если площадь поверхности цилиндра равна $$8\pi$$, а площадь его основания равна $$2\pi$$, то периметр развертки боковой поверхности цилиндра равен:
- Объем и площадь поверхности цилиндра находят по формулам: $$V=S_{oc.}\cdot h$$; $$S_{oc.}=\pi r^2$$; $$S_{n.}=2S_{oc.}+S_{\delta o\kappa .}$$; $$S_{\delta o\kappa .}=2\pi rl$$, где $$r$$ – радиус основания, $$h$$ – высота, $$l$$ – образующая цилиндра.
- Развертка боковой поверхности цилиндра – прямоугольник, одна сторона которого равна образующей цилиндра, а другая сторона равна длине окружности его основания.
- Длина окружности радиуса $$r$$: $$C=2\pi r$$.
Периметр прямоугольника:
$$P=2(a+b)$$,Площадь квадрата, все вершины которого лежат на поверхности шара, равна $$50$$. Если площадь сечения, проходящего через центр шара, равна $$169\pi$$, то центр шара удален от плоскости квадрата на расстояние, равное:
- Площадь квадрата: $$S=\frac{d^{2}}{2}$$, где $$d$$ – диагональ.
- Радиус круга, описанного около квадрата: $$r=\frac{d}{2}$$.
- Площадь круга: $$S=\pi R^{2}$$ , где $$R$$ – радиус.
На рисунке 9.14:
$$R$$ – радиус шара;
$$r$$ – радиус сечения (круга, в который вписан квадрат);
$$l$$ – расстояние между плоскостью квадрата и центром шара.
1. Найдем диагональ квадрата: $$\frac{d^{2}}{2}=50$$ , $$d^{2}=100$$, $$d=10$$.Сечение шара плоскостью – круг. Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом.
Если осевое сечение цилиндра – квадрат со стороной $$6$$, то объем цилиндра равен:
Объем цилиндра:
$$V=S_{oc.}\cdot h$$, где $$S_{oc.}=\pi r^2$$.На рисунке 9. 9 квадрат $$ABCD$$ – осевое сечение цилиндра.
Тогда, $$h=6$$, а $$r=3$$.
Найдем объем цилиндра:
$$V=\pi r^2\cdot h$$, $$V=\pi \cdot9 \cdot6=54\pi$$.
Рис. 9.9
Цилиндром называют фигуру, полученную в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон, которую называют осью цилиндра. Сечение цилиндра, проходящее через его ось, называют осевым.
Если высота конуса равна $$4$$, а радиус его основания равен $$3$$, то площадь поверхности конуса равна:
- Найдем образующую конуса: $$l=\sqrt{4^2+3^2}=5$$.
- Найдем площадь боковой поверхности конуса: $$S_{бок}=\pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$$.
Конусом называют фигуру, полученную в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, который называют осью конуса.
Если в осевое сечение усеченного конуса, площадь боковой поверхности которого равна $$144\pi$$, можно вписать окружность, то образующая конуса равна:
Площадь боковой поверхности конуса:
$$S$$бок.$$=\pi (r_{1}+r_{2})l$$ ,
где $$r_{1}$$ и $$r_{2}$$ – радиусы оснований, $$l$$ – образующая конуса.Осевое сечение конуса – равнобокая трапеция $$ABCD$$ с боковой стороной $$l$$ и основаниями $$2r_{1}$$ и $$2 r_{2}$$ (рис. 9. 11).
Так как в трапецию можно вписать окружность, то
$$2l=2r_{1}+2r_{2}$$ , $$l=r_{1}+r_{2}$$ .Тогда: $$144\pi =\pi (r_{1}+r_{2})l$$, $$144=l^{2}$$ , откуда $$l=12$$ .
В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы длин его противолежащих сторон равны.
Если площадь сечения, проведенного под углом $$45^{\circ}$$ к радиусу шара, равна $$8\pi$$, то объем шара равен:
Площадь круга:
$$S=\pi r^{2}$$ ,- На рисунке 9.13: $$r$$ – радиус сечения, а $$R$$ – радиус шара. Тогда: $$\pi r^{2}=8\pi$$, $$r^{2}=8$$, $$r=2\sqrt{2}$$.
- Так как $$\Delta AOB$$ – равнобедренный ($$\angle B=\angle O=45^{\circ}$$), то $$AB=AO=2\sqrt{2}$$.
- По теореме Пифагора: $$R=\sqrt{AO^{2}+AB^{2}}$$, $$R=\sqrt{8+8}=4$$.
Сечение шара плоскостью – круг. Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом.