Загрузка

Исследование функции с помощью производной

Произведение наибольшего отрицательного и наименьшего положительного чисел из промежутков возрастания функции $$y=\frac{1}{x}+\frac{x}{4}$$ равно:

Достаточное условие возрастания функции: если на заданном промежутке $$f'(x)> 0$$, то функция $$y=f(x)$$ возрастает на этом промежутке.

  1. Найдем производную функции:

    $$y'=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{4}$$.
  2. Решим неравенство:

    $$-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{4}>0$$, $$\frac{x^2-4}{4x^2}>0$$.
  3. Согласно рисунку 10.1 запишем его решение:  
    $$x\in (-\infty;-2)\cup (2;+\infty)$$.
    Найдем произведение наибольшего отрицательного и наименьшего положительного чисел из промежутков возрастания функции: $$-3\cdot 3=-9$$.

$$x=0$$ – двукратный корень уравнения $$4x^{2}=0$$.

Выберите один из вариантов

Функция $$f(x)=x\sqrt[3]{x}+2lg2$$ убывает на промежутке:

  1. Достаточное условие убывания функции: если на заданном промежутке $$f'(x)< 0$$, то функция $$y=f(x)$$ убывает на этом промежутке.
  2. Правило дифференцирования:

    $$(u+v)'=u'+v'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$.
  3. Производные:

    $$a'=0$$, $$(x^a)'=\alpha\cdot x^{a-1}$$.
  1. Выполним преобразования:

    $$f(x)=x\cdot x^{\frac{1}{3}}+2lg2$$, $$f(x)=x^{\frac{4}{3}}+2lg2$$.
  2. Найдем производную функции:

    $$f'(x)=\left ( x^{\frac{4}{3}} \right )'+(2lg2)'=\frac{4}{3}x^{\frac{4}{3}-1}+0=\frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}=\frac{4}{3}\sqrt[3]{x}$$.
  3. Решим неравенство:

    $$\frac{4}{3}\sqrt[3]{x}< 0$$, $$\sqrt[3]{x}< 0$$, $$x< 0$$.

Поскольку $$2lg2$$ – число, то $$(2lg2)'=0$$.

Выберите один из вариантов

Функция $$y=\frac{2+x}{\sqrt{x}}$$ не убывает, если:

  1. Достаточное условие не убывания функции: если на заданном промежутке $$f'(x)\geq 0$$, то функция $$y=f(x)$$ не убывает на этом промежутке.
  2. Правила дифференцирования:
    • $$(u+v)'=u'+v'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$;
    • $$\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$.
  3. Производные:

    $$a'=0$$; $$x'=1$$; $$(\sqrt{x})^{'}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$.
  1. $$D(f): x> 0$$.
  2. Найдем производную функции: $$y'=\left ( \frac{2+x}{\sqrt{x}} \right )'=\frac{(2+x)'\sqrt{x}-(2+x)(\sqrt{x})'}{x}=\frac{1\cdot \sqrt{x}-\frac{2+x}{2\sqrt{x}}}{x}=$$

    $$=\frac{\frac{2x-2-x}{2\sqrt{x}}}{x}=\frac{x-2}{2x\sqrt{x}}=\frac{x-2}{2\sqrt{x^{3}}}$$.

  3. Решим неравенство:

    $$\frac{x-2}{2\sqrt{x^{3}}}\geq 0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{ \begin{array}{lcl} x> 0 , \\ x-2\geq 0\\ \end{array}\right. \Leftrightarrow x\geq 2$$.

Различайте записи:

$$(ax)'=a(x)'=a\cdot 1=a$$ ;

$$(a+x)'=a'+x'=0+1=1$$.

Выберите один из вариантов

Если $$n$$ – количество нулей функции $$y=(3-2x)^2-4$$, а $$m$$ – количество нулей ее производной, то сумма чисел $$n$$ и $$m$$ равна:

Формула сокращенного умножения:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$.

  1. Найдем нули функции:

    $$(3-2x)^2-4=0$$, $$(3-2x)^2=4$$,

    откуда $$3-2x=2$$, а $$x=0, 5$$ или $$3-2x=-2$$, а $$x=2, 5$$.

    Следовательно, $$n=2$$.
  2. Запишем функцию в виде $$y=5-12x+4x^2$$ и найдем ее производную:

    $$y'=-12+8x$$. Решим уравнение:

    $$-12+8x=0$$, откуда $$x=1, 5$$.

    Следовательно, $$m=1$$.
  1. Нули функции $$y=f(x)$$ находят, решая уравнение $$f(x)=0$$.
  2. Нули производной функции $$y=f(x)$$ находят, решая уравнение $$f'(x)=0$$.
Выберите один из вариантов

Количество точек экстремума функции $$y=(1-x^3)^2$$ равно:

  1. Максимумом (минимумом) функции $$y=f(x)$$ называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех ее других значений в окрестности рассматриваемой точки.
  2. Максимум и минимум функции называются экстремумом функции. Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума.
  3. Алгоритм определения точек экстремума функции $$y=f(x)$$:
    1. находим $$f'(x)$$;
    2. находим нули производной функции, решая уравнение $$f'(x)=0$$;
    3. наносим нули производной на $$D(f)$$ функции;
    4. определяем знак производной на полученных промежутках;
    5. определяем точки экстремума по правилу: если при переходе через свой нуль производная меняет знак c «+» на «–», то имеем точку максимума, а если с «–» на «+» – точку минимума.
  1. $$D(f):x\in R$$.
  2. Запишем функцию в виде $$y=1-2x^3+x^6$$ и найдем ее производную:

    $$y'=-6x^2+6x^5$$.
  3. Найдем нули производной функции:

    $$6x^5-6x^2=0$$, $$x^5-x^2=0$$, $$x^2(x^3-1)=0$$,

    откуда $$x=0$$ (двукратный корень) или $$x=1$$.
  4. Нанесем нули производной на область определения функции и определим знаки производной на полученных промежутках (рис. 10.2).
  5. Поскольку при переходе через точку $$0$$ производная не меняет знак, то эта точка не является точкой экстремума функции.
  1. Точки экстремума функции необходимо искать среди нулей производной функции.
  2. Не всякий нуль производной функции является точкой ее экстремума
Выберите один из вариантов

Точками минимума функции $$f(x)=x^4-0, 5x^2+2$$ являются точки:

Алгоритм определения точек экстремума функции $$y=f(x)$$:

  1. находим $$f'(x)$$;
  2. находим нули производной функции, решая уравнение $$f'(x)=0$$;
  3. наносим нули производной на $$D(f)$$ функции;
  4. определяем знак производной на полученных промежутках;
  5. определяем точки экстремума по правилу: если при переходе через свой нуль производная меняет знак c «+» на «–», то имеем точку максимума, а если с «–» на «+» – точку минимума.
  1. $$D(f):x\in R$$.
  2. Найдем производную функции:

    $$f'(x)=(x^4)'-(0,5x^2)'+2'=4x^3-0,5\cdot 2x+0=4x^3-x$$.

  3. Найдем нули производной функции:

    $$4x^3-x=0$$, $$x(4x^2-1)=0$$, откуда $$x=0$$ или $$x=\pm0,5$$.
  4. Нанесем нули производной на область определения функции и определим знаки производной на полученных промежутках (рис. 10.3).
  5. Запишем точки минимума функции: $$-0,5$$ и $$0,5$$.

Максимум и минимум функции имеют локальный характер, поскольку отдельные минимумы функции могут оказаться больше ее максимумов. Функция может иметь несколько минимумов и максимумов.

Выберите один из вариантов

Наименьшее значение функции $$y=3+3x^2-x^3$$ на отрезке $$[-1; 1]$$ равно:

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $$y=f(x)$$ на заданном отрезке:

  1. находим $$f'(x)$$;
  2. находим нули производной функции, решая уравнение $$f'(x)=0$$;
  3. находим значение функции на концах отрезка и в нулях производной, принадлежащих данному отрезку;
  4. определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных.
  1. Найдем производную функции:

    $$y'=6x-3x^2$$.
  2. Найдем нули производной функции:

    $$6x-3x^2=0$$, $$x^2-2x=0$$,

    $$x(x-x)=0$$, откуда $$x=0$$ или $$x=2$$.
  3. Найдем значения функции на концах отрезка $$[-1; 1]$$ и в точке $$x=0$$: $$f(-1)=3+3+1=7$$, $$f(1)-3+3-1=5$$, $$f(0)=3$$.
  4. Наименьшее значение функции на отрезке $$[-1; 1]$$ равно $$3$$.
  1. Точка $$x=2$$ не принадлежит заданному отрезку.
  2. Свое наибольшее или наименьшее значение функция может принимать только либо на концах отрезка, либо в нулях производной, принадлежащих этому отрезку.
Выберите один из вариантов

Разность наибольшего и наименьшего значений функции $$y=2x\sqrt{x}+5x$$ на отрезке $$[1; 4]$$ равна:

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $$y=f(x)$$ на заданном отрезке:

  1. находим $$f'(x)$$;
  2. находим нули производной функции, решая уравнение $$f'(x)=0$$;
  3. находим значение функции на концах отрезка и в нулях производной, принадлежащих данному отрезку;
  4. определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных.
  1. Запишем функцию в виде $$y=2x^{\frac{3}{2}}+5x$$ и найдем ее производную: $$y'=2\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+5=3\sqrt{x}+5$$.
  2. Найдем нули производной функции:

    $$3\sqrt{x}+5=0$$, $$\sqrt{x}=-\frac{5}{3}$$, откуда $$x\in \varnothing$$.
  3. Найдем значения функции на концах отрезка $$[1; 4]$$:

    $$f(1)=2+5=7$$, $$f(4)=16+20=36$$.
  4. Найдем разность наибольшего и наименьшего значений функции: $$36-7=29$$.

Если функция не имеет нулей производной, то наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах заданного отрезка.

Выберите один из вариантов

Если разность двух целых чисел равна 8, то наименьшее из произведений этих чисел равно:

  1. Правило дифференцирования:

    $$(u+v)'=u'+v'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$.
  2. Производные:

    $$x'=1$$, $$(x^{\alpha})'=\alpha\cdot x^{\alpha -1}$$.
Пусть одно число равно $$x$$, тогда другое число равно $$x+8$$. Согласно условию задачи составим функцию: 
 $$f(x)=x(x+8)=x^2+8x$$.
Исследуем эту функцию на экстремум на множестве всех целых чисел: 
1) производная: $$f'(x)=(x^2)'+(8x)'=2x+8$$
2) нуль производной: $$x=-4$$
3) точка минимума: $$x=-4$$ (рис. 10.4); 
4) значение функции в точке минимума: $$f(-4)=16-32=-16$$.
 

Находя точки экстремума, мы определяем на промежутках знаки производной функции, а не самой функции.

Введите ответ в поле

Если в правильный треугольник со стороной 8 вписать параллелограмм, имеющий общий угол с треугольником, то периметр параллелограмма наибольшей площади будет равен:

  1. Треугольник называют правильным, если все его стороны и все углы равны.
  2. Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Противолежащие стороны параллелограмма попарно равны.
  3. Периметр параллелограмма можно вычислить по формуле $$P=2(a+b)$$, а площадь по формуле $$S=a\cdot\ b\cdot\sin\alpha$$,

    где $$a$$, $$b$$ – смежные стороны, $$\alpha$$ – острый угол.
  4. Правила дифференцирования:

    $$(u+v)'=u'+v'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$.
  5. Производные:

    $$x'=1$$;

    $$(x^{\alpha})'=\alpha\cdot x^{\alpha -1}$$.
  1. Впишем в правильный треугольник $$ABC$$ параллелограмм $$ADEK$$ так, как показано на рисунке 10.5.

     

  2. Пусть $$AK=DE=x$$. Так как $$\Delta ABC$$ подобен $$\Delta DBE$$ (по трем углам), то $$\Delta DBE$$ – равносторонний, следовательно, $$DB=x$$, тогда $$AD=8-x$$.
  3. Запишем площадь параллелограмма $$S=AK\cdot AD\cdot sin60^o$$ как функцию от $$x$$:
    $$f(x)=x(8-x)\frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}(8x-x^2)$$.
  4. Исследуем функцию на экстремум на промежутке $$(0;8)$$:
    1. производная функции: $$f'(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}(8x-x^2)'=\frac{\sqrt{3}}{2}(8-2x)$$
    2. нуль производной: $$x=4$$
    3. согласно рисунку 10.6 точка $$x=4$$ – точка максимума функции. 

  5. Тогда, $$ADEK$$– ромб со стороной $$4$$, а периметр его равен $$16$$.

Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны.

Введите ответ в поле