1. Шар описан около конуса, если вершина и окружность основания конуса лежат на поверхности шара. Центр шара лежит на прямой, содержащей ось конуса, и равноудален от вершины и точек окружности основания конуса.
2. Объем конуса: 
   $$V=\frac{1}{3}S\cdot h$$, 
   где $$S=\pi r^2$$, $$h$$ - высота, $$r$$ - радиус основания.

На рисунке 1 показано осевое сечение конуса.

1. Так как $$BP=6$$, а $$OA=OB=R=4$$, то $$OP=6-4=2$$. 
2. Из теоремы Пифагора: $$r=\sqrt{16-4}=2\sqrt3$$. 
3. Найдем объем конуса: 
   $$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$$, $$V=\frac{\pi}{3}(2\sqrt3)^2\cdot 6=24\pi$$.

1. Шар описан около многогранника, если все вершины многогранника лежат на поверхности шара.
2. В прямоугольном параллелепипеде с высотой $$h$$ и диагональю $$d$$ центром вписанного и описанного шара является точка пересечения диагоналей параллелепипеда.
   Радиус описанного шара находят по формуле: 
   $$R =\frac{d}{2}$$.
3. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: 
   $$d^2 = a^2 + a^2 + c^2$$, 
   где $$a$$, $$b$$, $$c$$ – длины ребер, выходящих из одной вершины, $$d$$ – диагональ параллелепипеда.

4. Площадь сферы радиуса $$R$$: 
   $$S=4\pi R^2$$.
   
   

1. Найдем диагональ параллелепипеда (рис. 10):  
   $$d=\sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} =  5\sqrt{2}$$.
2. Найдем радиус шара: 
   $$R=\frac{d}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$$.
3. Найдем площадь поверхности шара: 
   $$S=4\pi\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2=50\pi$$. 
                                                                       
   
   

Поверхность шара – сфера.

1. Объем конуса:
   $$V=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot h$$,
   где $$R$$ - радиус основания, $$h$$ - высота конуса.
2. Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды.
3. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $$a$$:
   $$r=\frac{a\sqrt3}{2}$$.
4. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника со стороной $$a$$:
   $$R=a$$.
   

Так как пирамида вписана в конус, то на рисунке 5: $$h$$ - высота конуса и высота пирамиды, $$R$$ - радиус основания конуса и радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника и $$R=2h$$.

1. Запишем объем конуса: 
   $$\frac{32\pi}{3}=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot \frac{R}{2}$$, откуда $$R^3=64$$, $$R=4$$. 
   Тогда: $$a=4$$, $$h=2$$.
2. Найдем радиус окружности, вписанной в шестиугольник: 
   $$r=\frac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3$$.
3. По теореме Пифагора найдем апофему пирамиды: 
   $$CS=\sqrt{h^2+r^2}$$, $$CS=\sqrt{4+12}=4$$.

1. Шар вписан в цилиндр, если он касается оснований цилиндра в их центрах, а боковой поверхности цилиндра по большой окружности шара, параллельной основаниям. 
2. Центр шара лежит на середине оси цилиндра/
3. Радиус шара вычисляют по формуле:
   $$R=\frac{h}{2}$$, где $$h$$ - высота цилиндра. 
4. Площадь поверхности цилиндра:
   $$S_{n.}=2S_{oc.}+S_{\delta o\kappa. }$$; $$S_{oc.}=\pi r^2$$; $$S_{\delta o\kappa. }=2\pi rl$$,
   где $$r$$ - радиус основания, $$l$$ - образующая цилиндра. 
5. Площадь сферы:
   $$S=4\pi R^2$$, где $$R$$ - радиус сферы.

Окружность можно вписать в квадрат, но нельзя вписать в прямоугольник.

1. Шар описан около многогранника, если все вершины многогранника лежат на поверхности шара. 
2. Шар вписан в многогранник, если он касается всех граней многогранника. 
3. В прямоугольном параллелепипеде с высотой $$h$$ и диагональю $$d$$ центром вписанного и описанного шара является точка пересечения диагоналей параллелепипеда. 
4. Радиус вписанного шара находят по формуле:
   $$R=\frac{h}{2}$$. 
5. Радиус описанного шара по формуле: 
   $$R=\frac{d}{2}$$. 
6. Объем куба с ребром $$a$$ находят по формуле:
   $$V=a^{3}$$. 
7. Квадрат диагонали куба равен сумме квадратов трех его измерений:
   $$d^2=3a^2$$, где $$a$$ - ребро, а $$d$$ - диагональ куба.

1. Зная объем куба, найдем его ребро (рис. 9): 
   $$2\sqrt2=a^3$$, откуда $$a=\sqrt2$$.
2. Найдем диагональ куба: 
   $$d=\sqrt3a=\sqrt3\cdot\sqrt2=\sqrt6$$.
3. Найдём радиусы шаров: 
   $$R$$_вп. $$=\frac{a}{2}=\frac{\sqrt2}{2}$$, $$R$$_оп. $$=\frac{d}{2}=\frac{\sqrt6}{2}$$.
4. Найдем отношение радиусов описанного около куба шара и вписанного в этот куб шара: 
   $$\frac{\sqrt6}{2}:\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt6}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt3$$.
                                                                                 
   
   

В куб всегда можно вписать шар.

1. Шар вписан в усеченный конус, если он касается оснований конуса в их центрах, а боковой поверхности – по окружности. Центр шара находится на оси конуса и равноудален от центров оснований и образующей конуса.
2. Площадь поверхности усеченного конуса вычисляют по формуле:

   $$S_{\delta o\kappa. }=\pi(R_{1}+R_{2})l$$, 
   где $$R_{1} $$и $$R_{2}$$ - радиусы оснований, $$h$$ - высота.

На рисунке 2 построено осевое сечение конуса - равнобокая трапеция $$ABCD$$: 
$$AB=2\sqrt2$$; $$\angle A=45^\circ$$. 

Тогда: $$\sin45^\circ=\frac{BP}{AB}$$, $$\frac{\sqrt2}{2}=\frac{BP}{2\sqrt2}$$, $$\frac{\sqrt2}{1}=\frac{BP}{\sqrt2}$$, $$BP=2=h$$ - высота конуса.
Так как $$AB+CD=BC+AD$$ ( по свойству четырехугольника, в который вписана окружность), то $$BC+AD=4\sqrt2$$. 
Но $$BC=2R_1$$, а $$AD=2R_2$$. Тогда,  $$R_1+R_2=2\sqrt2$$.
 Площадь боковой поверхности конуса:
$$S_{bok}=\pi\cdot 2\sqrt2\cdot 2\sqrt2=8\pi$$.

В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы длин его противолежащих сторон равны.

1. Шар вписан в многогранник, если он касается всех граней многогранника.
2. Если шар вписан в прямую призму, то его радиус равен половине высоты призмы и радиусу окружности, вписанной в ее основание.
3. Радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами $$a,b,c$$ и площадью $$S$$: 
   $$r=\frac{2S}{a+b+c}$$.
4. Формула Герона: 
   $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, 
   где $$a$$, $$b$$, $$c$$ - стороны треугольника, $$p=\frac{a+b+c}{2}$$ - полупериметр треугольника.

5. Площадь боковой поверхности призмы высоты $$h$$: 
   $$S= $$$$P$$_осн.$$\cdot h$$.

1. Найдем площадь основания призмы (рис. 8): 
   $$p=\frac{5+5+6}{2}=8$$, $$S=\sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)}=12$$.
2. Найдем радиус окружности, вписанной в основание призмы: 
   $$r=\frac{2\cdot12}{5+5+6}=\frac{3}{2}$$.
3. Найдем высоту призмы: $$h=2r=3$$.
4. Найдем боковую поверхность призмы: $$S=16\cdot3=48$$.
                                                                              

Не во всякую призму можно вписать шар.

1. Шар вписан в многогранник, если он касается всех граней многогранника.
2. Если шар вписан в прямую призму, то его радиус равен половине высоты призмы и радиусу окружности, вписанной в ее основание.
3. Площадь ромба: 
   $$S=a^2\sin \alpha$$ или $$S=a\cdot h$$, 
   где $$a$$ - сторона, $$h$$ - высота, $$\alpha$$ - угол ромба.
4. Объем параллелепипеда: 
   $$V=S\cdot H$$, где $$H$$- высота.

1. Окружность можно вписать в квадрат или в ромб. Но диагональ квадрата не может быть равна его стороне. Диагональ ромба может быть равна его стороне, если угол ромба равен $$60^{\circ}$$. Следовательно, основание параллелепипеда – ромб (рис. 7).
                                                                        
2. Найдем высоту ромба. Так как $$a^2\sin\alpha=a\cdot h$$, то 
   $$a\sin\alpha=h$$, $$2\sqrt3 \sin 60^{\circ}=h$$, $$2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=h$$, $$h=3$$.
3. Найдем площадь ромба: $$S=a\cdot h$$, $$S=2\sqrt3\cdot3=6\sqrt3$$.
4. Найдем высоту параллелепипеда: $$H=2r=h=3$$.
5. Найдем объем параллелепипеда: 
   $$V=S\cdot H$$, $$V=6\sqrt3\cdot3=18\sqrt3$$.

Окружность можно вписать в квадрат и ромб, но нельзя вписать в прямоугольник и параллелограмм.

1. Шар описан около цилиндра, если окружности оснований цилиндра лежат на поверхности шара. 
2. Центр шара лежит на середине оси цилиндра, а радиус шара вычисляют по формуле:
   $R=\frac{d}{2}$$, где $$d$$ - диагональ осевого сечения цилиндра.
3. Объем шара:
   $$V=\frac{4}{3}\pi R^3$$, где $$R$$ - радиус шара. 
4. Площадь боковой поверхности цилиндра:
   $$S=2\pi rl$$, где $$r$$ - радиус основания, $$l$$ - образующая цилиндра.

На рисунке 3 построено осевое сечение цилиндра – прямоугольник $$ABCD$$. Точка $$O$$ – центр этого прямоугольника и центр шара.

1. Найдем радиус шара: 
   $$4\sqrt3\pi=\frac{4}{3}\pi R^3$$, $$\sqrt3=\frac{1}{3}R^3$$, $$3\sqrt3=R^3$$, $$R=\sqrt3$$.
2. Найдем радиус цилиндра. По теореме Пифагора: 
   $$R^2=2r^2$$, $$R=\sqrt2r$$, откуда $$r=\frac{R}{\sqrt2}=\frac{\sqrt3}{\sqrt2}$$.
3. Найдем образующую цилиндра: 
   $$l=2r=\frac{2\sqrt3}{\sqrt2}$$.
4. Найдем боковую поверхность цилиндра: 
   $$S_{\delta o\kappa. }=2\pi\cdot \frac{\sqrt3}{\sqrt2}\cdot \frac{2\sqrt3}{\sqrt2}=6\pi$$.

Различайте шар и сферу. Сфера – это поверхность шара.

1. Объем конуса:
   $$V=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot h$$, где $$R$$ - радиус основания, $$h$$ - высота конуса. 
2. Объем пирамиды:
   $$V=\frac{1}{3}S\cdot h$$, где $$S$$ - площадь основания, $$h$$ - высота пирамиды. 
3. Площадь правильного треугольника со стороной $$a$$:
   $$S=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$$.

На рисунке 4 изображен правильный тетраэдр с ребром $$a$$, где $$R$$ - радиус основания, $$h$$ - высота конуса и тетраэдра.

1. Учитывая, что $$R=\frac{a}{\sqrt3}$$, из теоремы Пифагора найдем $$h$$: 
   $$h=\sqrt{a^2-R^2}$$, $$h=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{\sqrt2a}{\sqrt3}$$.
2. Запишем объем конуса: 
   $$\frac{\pi R^2h}{3}=4\sqrt3\pi$$, $$R^2h=12\sqrt3$$.
3. Подставляя в равенство $$R^2h=12\sqrt3$$ значения $$R=\frac{a}{\sqrt3}$$ и $$h=\frac{\sqrt2a}{\sqrt3}$$, получим: 
   $$\frac{a^2}{3}\cdot \frac{\sqrt2a}{\sqrt3}=12\sqrt3$$, $$a^3=\frac{12\cdot 9}{\sqrt2}$$, $$a^3=27\cdot 2\sqrt2$$, $$a=3\sqrt2$$.
4. Найдем высоту тетраэдра: 
   $$h=\frac{\sqrt2\cdot 3\sqrt2}{\sqrt3}=2\sqrt3$$.
5. Найдем объем тетраэдра: 
   $$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt3a^2}{4}\cdot 2\sqrt3$$, $$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt3\cdot 18}{4}\cdot 2\sqrt3=9$$.

Различайте тетраэдр (треугольную пирамиду) и правильный тетраэдр (треугольную пирамиду, у которой все ребра равны).