Загрузка

Комбинации многогранников и тел вращения

Если все вершины прямоугольного параллелепипеда с измерениями $$3$$, $$4$$ и $$5$$ лежат на поверхности шара, то площадь поверхности шара равна:

  1. Шар описан около многогранника, если все вершины многогранника лежат на поверхности шара.
  2. В прямоугольном параллелепипеде с высотой $$h$$ и диагональю $$d$$ центром вписанного и описанного шара является точка пересечения диагоналей параллелепипеда. Радиус описанного шара находят по формуле:

    $$R =\frac{d}{2}$$.
  3. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:

    $$d^2 = a^2 + a^2 + c^2$$,

    где $$a$$, $$b$$, $$c$$ – длины ребер, выходящих из одной вершины, $$d$$ – диагональ параллелепипеда.

  4. Площадь сферы радиуса $$R$$:

    $$S=4\pi R^2$$.

  1. Найдем диагональ параллелепипеда:

    $$d=\sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$.
  2. Найдем радиус шара:

    $$R=\frac{d}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$$.
  3. Найдем площадь поверхности шара:

    $$S=4\pi\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{4\pi\cdot50}{4}=50\pi$$.

Поверхность шара – сфера.

Выберите один из вариантов

Если объем куба равен $$2\sqrt2$$, то отношение радиусов описанного около куба шара и вписанного в этот куб шара равно:

  1. Шар описан около многогранника, если все вершины многогранника лежат на поверхности шара.
  2. Шар вписан в многогранник, если он касается всех граней многогранника.
  3. В прямоугольном параллелепипеде с высотой $$h$$ и диагональю $$d$$ центром вписанного и описанного шара является точка пересечения диагоналей параллелепипеда.
  4. Радиус вписанного шара находят по формуле $$R=\frac{h}{2}$$, а радиус описанного шара по формуле $$R=\frac{d}{2}$$.
  5. Объем куба с ребром $$a$$ находят по формуле: $$V=a^3$$.
  6. Квадрат диагонали куба равен сумме квадратов трех его измерений:

    $$d^2=3a^2$$, где $$a$$ - ребро, а $$d$$ - диагональ куба.

    1. Зная объем куба, найдем его ребро:

      $$2\sqrt2=a^3$$, откуда $$a=\sqrt2$$.
    2. Найдем диагональ куба:

      $$d=\sqrt3a=\sqrt3\cdot\sqrt2=\sqrt6$$.
    3. Найдём радиусы шаров:

      $$R$$вп. $$=\frac{a}{2}=\frac{\sqrt2}{2}$$, $$R$$оп. $$=\frac{d}{2}=\frac{\sqrt6}{2}$$.
    4. Найдем отношение радиусов описанного около куба шара и вписанного в этот куб шара:

      $$\frac{\sqrt6}{2}:\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt6}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt3$$.

    В куб всегда можно вписать шар.

    Выберите один из вариантов

    Если шар касается всех граней треугольной призмы с ребрами оснований $$5$$ см, $$5$$ см и $$6$$ см, то площадь боковой поверхности призмы равна:

    1. Шар вписан в многогранник, если он касается всех граней многогранника.
    2. Если шар вписан в прямую призму, то его радиус равен половине высоты призмы и радиусу окружности, вписанной в ее основание.
    3. Радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами $$a,b,c$$ и площадью $$S$$:

      $$r=\frac{2S}{a+b+c}$$.
    4. Формула Герона:

      $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$,

      где $$a,b,c$$ - стороны, $$p=\frac{a+b+c}{2}$$ - полупериметр треугольника.

    5. Площадь боковой поверхности призмы высоты $$h$$:

      $$S= $$$$P$$осн.$$\cdot h$$.
    1. Найдем площадь основания призмы:

      $$p=\frac{5+5+6}{2}=8$$, $$S=\sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)}=\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}=4\cdot3=12$$.
    2. Найдем радиус окружности, вписанной в основание призмы:

      $$r=\frac{2\cdot12}{5+5+6}=\frac{2\cdot12}{16}=\frac{3}{2}$$.
    3. Найдем высоту призмы:

      $$h=2r=3$$.
    4. Найдем боковую поверхность призмы:

      $$S=16\cdot3=48$$.

    Не во всякую призму можно вписать шар.

    Выберите один из вариантов

    Если в прямой параллелепипед, одна из диагоналей которого равна $$2\sqrt3$$ и равна его стороне, можно вписать шар, то объем параллелепипеда будет равен:

    1. Шар вписан в многогранник, если он касается всех граней многогранника.
    2. Если шар вписан в прямую призму, то его радиус равен половине высоты призмы и радиусу окружности, вписанной в ее основание.
    3. Площадь ромба:

      $$S=a^2\sin \alpha$$ или $$S=ah$$,

      где $$a$$ - сторона, $$h$$ - высота, $$\alpha$$ - угол ромба.
    4. Объем параллелепипеда:

      $$V=S\cdot H$$, где $$H$$- высота.
    1. Окружность можно вписать в квадрат или в ромб. Но диагональ квадрата не может быть равна его стороне. Диагональ ромба может быть равна его стороне, если угол ромба равен $$60^{\circ}$$. Следовательно, основание параллелепипеда – ромб.
    2. Найдем высоту ромба. Так как $$a^2sin\alpha=ah$$, то

      $$asin\alpha=h$$, $$2\sqrt3 sin60^{\circ}=h$$, $$2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=h$$, $$h=3$$.
    3. Найдем площадь ромба:

      $$S=ah=2\sqrt3\cdot3=6\sqrt3$$.
    4. Найдем высоту параллелепипеда:

      $$H=2r=h=3$$.
    5. Найдем объем параллелепипеда:

      $$V=S\cdot H=6\sqrt3\cdot3=18\sqrt3$$.

    Окружность можно вписать в квадрат и ромб, но нельзя вписать в прямоугольник и параллелограмм.

    Выберите один из вариантов

    Если около конуса, высота которого равна $$6$$, описать шар радиуса $$4$$, то объем конуса будет равен:

    1. Шар описан около конуса, если вершина и окружность основания конуса лежат на поверхности шара. Центр шара лежит на прямой, содержащей ось конуса, и равноудален от вершины и точек окружности основания конуса.
    2. Объем конуса:

      $$V=\frac{1}{3}S\cdot h$$,

      где $$S=\pi r^2$$, $$h$$ - высота, $$r$$ - радиус основания.

    На рисунке 9.16 показано осевое сечение конуса.

    Так как $$BP=6$$, а $$OA=OB=R=4$$, то $$OP=6-4=2$$.

    Из теоремы Пифагора:

    $$r=\sqrt{16-4}=2\sqrt3$$.

    Найдем объем конуса:

    $$V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{\pi}{3}(2\sqrt3)^2\cdot 6=24\pi$$.

    Решая задачи на комбинацию шара и других пространственных фигур, вовсе не обязательно рисовать шар, а достаточно лишь определить расположение его центра и радиуса по отношению к данной фигуре.

    Выберите один из вариантов

    Если в усеченный конус, образующая которого равна $$2\sqrt2$$ и наклонена к плоскости основания под углом $$45^\circ$$, вписать в шар, то площадь боковой поверхности конуса будет равна:

    1. Шар вписан в усеченный конус, если он касается оснований конуса в их центрах, а боковой поверхности – по окружности. Центр шара находится на оси конуса и равноудален от центров оснований и образующей конуса.
    2. Площадь поверхности усеченного конуса вычисляют по формуле:

      $$S_{\delta o\kappa. }=\pi(R_{1}+R_{2})l$$,

      где $$R_{1} $$и $$R_{2}$$ - радиусы оснований; $$h$$ - высота.

    1. На рисунке 9.17 построено осевое сечение конуса - равнобокая трапеция $$ABCD$$
    2. $$AB=2\sqrt2$$$$\angle A=45^\circ$$
      Тогда:

      $$sin45^\circ=\frac{BP}{AB}$$$$\frac{\sqrt2}{2}=\frac{BP}{2\sqrt2}$$$$\frac{\sqrt2}{1}=\frac{BP}{\sqrt2}$$,

      $$BP=2=h$$ - высота конуса.
    3. Так как $$AB+CD=BC+AD$$ ( по свойству четырехугольника, в который вписана окружность), то $$BC+AD=4\sqrt2$$.

      Но $$BC=2R_1$$, а $$AD=2R_2$$ . Тогда,  $$R_1+R_2=2\sqrt2$$.
    4.  $$S_{bok}=\pi\cdot 2\sqrt2\cdot 2\sqrt2=8\pi$$ .

    В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы длин его противолежащих сторон равны.

    Выберите один из вариантов

    В шар вписан цилиндр, высота которого в два раза больше радиуса его основания. Если объем шара равен $$4\sqrt3\pi$$, то объем цилиндра равен:

    1. Шар описан около цилиндра, если окружности оснований цилиндра лежат на поверхности шара. Центр шара лежит на середине оси цилиндра, а радиус шара вычисляют по формуле:

      $$R=\frac{d}{2}$$, где $$d$$ - диагональ осевого сечения цилиндра.
    2. Объем шара:

      $$V=\frac{4}{3}\pi R^3$$, где $$R$$ - радиус шара.
    3. Площадь боковой поверхности цилиндра:

      $$S=2\pi rl$$,

      где $$r$$ - радиус основания, $$l$$ - образующая цилиндра.

    На рисунке 9.18 построено осевое сечение цилиндра – прямоугольник $$ABCD$$. Точка $$O$$ – центр этого прямоугольника и центр шара.

    1. Найдем радиус шара:

      $$4\sqrt3\pi=\frac{4}{3}\pi R^3$$, $$\sqrt3=\frac{1}{3}R^3$$, $$3\sqrt3=R^3$$, $$R=\sqrt3$$.
    2. Найдем радиус цилиндра. По теореме Пифагора:

      $$R^2=2r^2$$, $$R=\sqrt2r$$, откуда $$r=\frac{R}{\sqrt2}=\frac{\sqrt3}{\sqrt2}$$.
    3. Найдем образующую цилиндра:

      $$l=2r=\frac{2\sqrt3}{\sqrt2}$$.
    4. Найдем боковую поверхность цилиндра:

      $$S_{\delta o\kappa. }=2\pi\cdot \frac{\sqrt3}{\sqrt2}\cdot \frac{2\sqrt3}{\sqrt2}=6\pi$$.

    Различайте шар и сферу. Сфера – это поверхность шара.

    Выберите один из вариантов

    Если сфера вписана в цилиндр, площадь поверхности которого равна $$12\pi$$, то площадь поверхности сферы равна:

    1. Шар вписан в цилиндр, если он касается оснований цилиндра в их центрах, а боковой поверхности цилиндра по большой окружности шара, параллельной основаниям. Центр шара лежит на середине оси цилиндра, а радиус шара вычисляют по формуле:

      $$R=\frac{h}{2}$$, где $$h$$ - высота цилиндра.
    2. Площадь поверхности цилиндра:

      $$S_{n.}=2S_{oc.}+S_{\delta o\kappa. }$$; $$S_{oc.}=\pi r^2$$; $$S_{\delta o\kappa. }=2\pi rl$$,

      где $$r$$ - радиус основания, $$l$$ - образующая цилиндра.

    3. Площадь сферы:

      $$S=4\pi R^2$$, где $$R$$ - радиус сферы.

    Осевое сечение цилиндра – квадрат.

    Тогда, если радиус основания цилиндра $$r$$, то его образующая $$l=2r=h$$ и радиус шара $$R=r$$.

    Согласно условию задачи:

    $$2\pi r^2+2\pi rl=12\pi$$, $$r^2+rl=6$$, $$r^2+2r^2=6$$, $$3r^2=6$$, $$r^2=2$$, $$r=\sqrt2$$.

    Тогда: $$R=\sqrt2 $$ и $$S=4\pi \sqrt2^2=8\pi$$.

    Окружность можно вписать в квадрат, но нельзя вписать в прямоугольник.

    Выберите один из вариантов

    Если правильный тетраэдр вписан в конус, объем которого равен $$4\sqrt3\pi$$, то объем тетраэдра равен:

    1. Объем конуса:

      $$V=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot h$$, где $$R$$ - радиус основания, $$h$$ - высота конуса.
    2. Объем пирамиды:

      $$V=\frac{1}{3}S\cdot h$$, где $$S$$ - площадь основания, $$h$$ - высота пирамиды.
    3. Площадь правильного треугольника со стороной $$a$$:

      $$S=\frac{\sqrt3a^2}{4}$$.

    На рисунке 9.19 изображен правильный тетраэдр с ребром $$a$$, где $$R$$ - радиус основания, $$h$$ - высота конуса и тетраэдра.

    1. Учитывая, что $$R=\frac{a}{\sqrt3}$$, из теоремы Пифагора найдем $$h$$:

      $$h=\sqrt{a^2-R^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{\sqrt2a}{\sqrt3}$$.
    2. Запишем объем конуса:

      $$\frac{\pi R^2h}{3}=4\sqrt3\pi$$, $$R^2h=12\sqrt3$$.
    3. Подставляя в равенство $$R^2h=12\sqrt3$$,

      $$R=\frac{a}{\sqrt3}$$ и $$h=\frac{\sqrt2a}{\sqrt3}$$, получим:

      $$\frac{a^2}{3}\cdot \frac{\sqrt2a}{\sqrt3}=12\sqrt3$$,

      $$a^3=\frac{12\cdot 9}{\sqrt2}$$, $$a^3=27\cdot 2\sqrt2$$, $$a=3\sqrt2$$.
    4. Найдем высоту тетраэдра:

      $$h=\frac{\sqrt2\cdot 3\sqrt2}{\sqrt3}=2\sqrt3$$.
    5. Найдем объем тетраэдра:

      $$V=\frac{1}{3}S_{osn}h=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt3a^2}{4}\cdot 2\sqrt3=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt3\cdot 18}{4}\cdot 2\sqrt3=9$$.

    Различайте тетраэдр (треугольную пирамиду) и правильный тетраэдр (треугольную пирамиду, у которой все ребра равны).

    Введите ответ в поле

    Правильная шестиугольная пирамида вписана в конус, объем которого равен $$\frac{32\pi}{3}$$. Если радиус основания конуса в два раза больше его высоты, то апофема пирамиды равна:

    1. Объем конуса:

      $$V=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot h$$,

      где $$R$$ - радиус основания, $$h$$ - высота конуса.
    2. Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды.
    3. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $$a$$:

      $$r=\frac{a\sqrt3}{2}$$.
    4. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника со стороной $$a$$:

      $$R=a$$.

    Так как пирамида вписана в конус, то на рисунке 9.20:

    $$h$$ - высота конуса и высота пирамиды,

    $$R$$ - радиус основания конуса и радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника и $$R=2h$$.

    1. Запишем объем конуса:

      $$\frac{32\pi}{3}=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot \frac{R}{2}$$, откуда $$R^3=64$$, $$R=4$$.

      Тогда: $$a=4$$, $$h=2$$.
    2. Найдем радиус окружности, вписанной в шестиугольник:

      $$r=\frac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3$$.
    3. По теореме Пифагора найдем апофему пирамиды:

      $$CS=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{4+12}=4$$.

    Решая задачи стереометрии, часто вовсе не обязательно изображать сами пространственные фигуры, а достаточно лишь выполнить некоторые фрагменты рисунка.

    Введите ответ в поле