Арифметические вычисления КТ 4
Если $$15\%$$ некоторого числа равны $$450$$, то $$25\%$$ этого числа равны:
- $$450 : 15 \cdot 100 = 3000.$$
- $$3000 : 100 \cdot 25 = 750.$$
Число, обратное полученному в результате вычисления выражения $$- \frac{72}{133} \cdot \left(2\frac{1}{3} : \frac{4}{9} - 1\frac{5}{9}\right)$$, равно:
- $$2\frac{1}{3} : \frac{4}{9} = \frac{7}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{7 \cdot 3}{4} = \frac{21}{4}.$$
- $$\frac{21}{4} - 1\frac{5}{9} = \frac{21}{4} - \frac{14}{9} = \frac{21 \cdot 9 - 14 \cdot 4}{36} = \frac{133}{36}.$$
- $$- \frac{72}{133} \cdot \frac{133}{36} = -2.$$
Обратное число: $$(-2)^{-1} = -\frac{1}{2}.$$
Если $$k$$ – сумма середин отрезков $$[12;25]$$ и $$[-12;25]$$, а $$l$$ – сумма их длин, то разность чисел $$k$$ и $$l$$ равна:
Найдем середины отрезков:
$$k_1 = \frac{12 + 25}{2} = 18,5;$$
$$k_2 = \frac{-12 + 25}{2} = 6,5.$$
Найдем длины отрезков:
$$l_1 = 25 - 12 = 13;$$
$$l_2 = 25 + 12 = 37.$$
Тогда:
$$k = 18,5 + 6,5 = 25;$$
$$l = 13 + 37 = 50;$$
$$k - l = 25 - 50 = -25.$$
Сумма остатков от деления числа $$785$$ $$062$$ $$120$$ $$567$$ на $$2, 3, 4, 5, 9, 10$$, равна:
Остаток от деления числа на $$2$$ равен $$1$$, так как его запись должна оканчиваться четной цифрой.
Остаток от деления числа на $$5$$ равен $$2$$, так как его запись должна оканчиваться цифрой $$0$$ или $$5$$.
Остаток от деления числа на $$10$$ равен $$7$$, так как его запись должна оканчиваться цифрой $$0$$.
Остаток от деления числа на $$4$$ равен $$3$$, так как две последние цифры его записи должны образовывать число, которое делится на $$4$$.
Найдем сумму цифр этого числа:
$$7 + 8 + 5 + 6 + 2 + 1 + 2 + 5 + 6 + 7 = 49.$$
Остаток от деления числа на $$3$$ равен $$1$$, так как сумма цифр числа должна делиться на $$3$$.
Остаток от деления числа на $$9$$ равен $$4$$, так как сумма цифр числа должна делиться на $$9$$.
Тогда, $$1 + 2 + 7 + 3 + 1 + 4 = 18.$$
Если остаток от деления нечетного числа $$\overline{a16b}$$ на $$15$$ равен $$2$$, то наибольшая из возможных сумм чисел $$a$$ и $$b$$ равна:
Число делится на $$15$$, если оно делится и на $$3$$ и на $$5$$.
Так как число делится на $$5$$, то его запись оканчивается цифрой $$0$$ или $$5$$.
Учитывая, что остаток от деления равен $$2$$, получим цифры: $$2$$ или $$7$$.
Но так как число нечетное, то $$b = 7.$$
Найдем сумму цифр числа:
$$a + 1 + 6 + 7 = a + 14.$$
Поскольку сумма цифр числа должна делится на $$3$$, то $$a$$ может принимать одно из значений:
$$1; 4; 7.$$
Найдем наибольшую из возможных сумм чисел $$a$$ и $$b$$:
$$a + b = 7 + 7 =14.$$
В результате преобразования выражения $$\left(\frac{\sqrt[3]{100\sqrt[4]{32}} + \sqrt[3]{225\sqrt[4]{162}}}{\sqrt[12]{1250}}\right)^3$$ получим:
$$\sqrt[3]{2^2 \cdot 5^2 \cdot \sqrt[4]{2^5}} + \sqrt[3]{3^2 \cdot 5^2 \cdot \sqrt[4]{2 \cdot 3^4}} =$$
$$= 2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{12}} + 3^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{12}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} =$$
$$ = 2^{\frac{13}{12}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{12}} = 2^{\frac{1}{12}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}(2 + 3) = 5 \cdot 2^{\frac{1}{12}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}.$$
- $$\sqrt[12]{1250} = \sqrt[12]{2 \cdot 5^4} = 2^{\frac{1}{12}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}.$$
- $$\left(\frac{5 \cdot 2^{\frac{1}{12}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{1}{12}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}}\right)^3 = \left(5 \cdot 5^{\frac{1}{3}}\right)^3 = 5^3 \cdot 5 = 625.$$
Результат вычисления выражения
$$32\left(-2,5 \cdot 4^{0,5} \cdot 5\right)^{-2} : \left(0,2 \cdot 2 \cdot 5^{-0,25}\right)^4$$ равен:
- $$\frac{32}{(-2,5 \cdot 2 \cdot 5)^2} = \frac{32}{(-25)^2} = \frac{2^5}{5^4}.$$
- $$(0,4 \cdot 5^{-0,25})^4 = \left(\frac{2}{5}\right)^4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2^4}{5^5}.$$
- $$\frac{2^5}{5^4} \cdot \frac{5^5}{2^4} = 2 \cdot 5 = 10.$$
Если $$a$$ – большее, а $$b$$ – меньшее из чисел $$\sqrt[3]{2}$$ и $$\sqrt{1,5}$$, то значение выражения $$b^6 - a^6$$ равно:
- $$\sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{4}.$$
- $$\sqrt{1,5} = \sqrt[6]{{\left(\frac{3}{2}\right)}^3} = \sqrt[6]{\frac{27}{8}} = \sqrt[6]{3\frac{3}{8}}.$$
- $$b^6 - a^6 = 3\frac{3}{8} - 4 = -\frac{5}{8} = -0,625.$$
Сумма квадратов всех иррациональных чисел множества $$\left\{sin 0; cos \pi; tg \frac{\pi}{4}; cos 1; sin 1 \right\}$$ равна:
Рациональные числа (можно представить в виде обыкновенной дроби):
$$sin 0 = 0; cos \pi = -1; tg \frac{\pi}{4} = 1.$$
Иррациональные числа (нельзя представить в виде обыкновенной дроби):
$$cos 1; sin 1.$$
Тогда, $$cos^2 1 + sin^2 1 = 1.$$
Сумма составных чисел, которые не меньше числа $$2$$ и не больше числа $$9$$, равна: