Загрузка

Функции

Укажите выражения, которые являются функциями:

  1. $$2x+3y=5$$;
  2. $$2xy=-7$$;
  3. $$y={x}^{2}+14$$;
  4. $${x}^{2}+{y}^{2}=14$$;
  5. $$y=\sqrt{14-{x}^{2}}$$.

  1. $$2x+3y=5$$, $$y=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$$. Так как каждому значению $$x$$ соответствует единственное значение $$y$$, то это выражение является функцией.
  2. $$2xy=-7$$, $$y=-\frac{7}{2x}$$. Так как каждому значению $$x$$ соответствует единственное значение $$y$$, то это выражение является функцией.
  3. $$y={x}^{2}+14$$. Так как каждому значению $$x$$ соответствует единственное значение $$y$$, то это выражение является функцией.
  4. $${x}^{2}+{y}^{2}=14$$, $$y=\pm \sqrt{14-{x}^{2}}$$. Так как каждому значению $$x$$ соответствует два значения $$y$$, то это выражение не является функцией.
  5. $$y=\sqrt{14-{x}^{2}}$$. Так как каждому значению $$x$$ соответствует единственное значение $$y$$, то это выражение является функцией.

Выберите один из вариантов

Нечетными являются функции:

  1. $$y=\frac{{x}^{3}}{5}$$;
  2. $$y={x}^{2}-6x-7$$;
  3. $$y=\sqrt[5]{{x}^{3}}$$;
  4. $$y=x+\left|x \right|$$;
  5. $$y=\frac{-2}{{x}^{2}}$$.

  1. Так как $$D\left(f \right):x\in R$$ и $$f\left(-x \right)=-\frac{{x}^{3}}{5}$$, то функция нечетная.
  2. Так как $$D\left(f \right):x\in R$$, но $$f\left(-x \right)={x}^{2}+6x-7$$, то функция ни четная и ни нечетная.
  3. Так как $$D\left(f \right):x\in R$$ и $$f\left(-x \right)=-\sqrt[5]{{x}^{3}}$$, то функция нечетная.
  4. Так как $$D\left(f \right):x\in R$$, но $$f\left(-x \right)=-x+\left|x \right|$$, то функция ни четная и ни нечетная.
  5. Так как $$D\left(f \right):x\in R/x\neq 0$$ и $$f\left(-x \right)=-\frac{2}{{x}^{2}}$$, то функция четная.
Выберите один из вариантов

На множестве всех действительных чисел определены функции:

  1. $$y={\log }_{2}x$$;
  2. $$y={3}^{x}$$;
  3. $$y=\cos x$$;
  4. $$y=ctg x$$;
  5. $$y=\arcsin x$$.
  1. $$y={\log }_{2}x$$, $$D\left(f \right):x>0$$;
  2. $$y={3}^{x}$$, $$D\left(f \right):x\in R$$;
  3. $$y=\cos x$$, $$D\left(f \right):x\in R$$;
  4. $$y=ctg x$$, $$D\left(f \right):x\in R/x\neq 0+\pi n$$, $$n\in Z$$;
  5. $$y=\arcsin x$$, $$D\left(f \right):x\in\left[-1;1 \right]$$.
Выберите один из вариантов

Монотонно убывают на $$D\left(f \right)$$ функции:

  1. $$y=\ln x$$;
  2. $$y={0,2}^{x}$$;
  3. $$y=\cos x$$;
  4. $$y=\arccos x$$;
  5. $$y=arcctg x$$.
  1. Функция $$y=\ln x$$ монотонно возрастает, так как $$e>1$$.
  2. Функция $$y={0,2}^{x}$$ монотонно убывает, так как $$0,2<1$$.
  3. Функция $$y=\cos x$$ не монотонная.
  4. Функция $$y=\arccos x$$ монотонно убывает.
  5. Функция $$y=arcctg x$$ монотонно убывает.
Выберите один из вариантов

Ни четными и ни нечетными являются функции:

  1. $$y={x}^{2}-5cosx$$;
  2. $$y=tgx-2ctgx$$;
  3. $$y={3}^{x}+{3}^{-x}$$;
  4. $$y=arctgx$$;
  5. $$y=arcctgx$$.
  1. Так как $$D\left(f \right):x\in R$$ и $$f\left(-x \right)={x}^{2}-5cosx$$, то функция четная.
  2. Так как $$D\left(f \right):x\in R/x\neq \frac{\pi n}{2}$$, $$n\in Z$$ и $$f\left(-x \right)=-tgx+2ctgx$$, то функция нечетная.
  3. Так как $$D\left(f \right):x\in R$$ и $$f\left(-x \right)={3}^{-x}+{3}^{x}$$, то функция четная.
  4. Так как $$D\left(f \right):x\in R$$ и $$f\left(-x \right)=-arctgx$$, то функция нечетная.
  5. Так как $$D\left(f \right):x\in R$$, но $$f\left(-x \right)=\pi-arcctgx$$, то функция ни четная и ни нечетная.
Выберите один из вариантов

Разность наибольшего целого числа из промежутка возрастания и наименьшего целого из промежутка убывания функции $$-{x}^{2}-5x+2$$, равна:


  1. Координаты вершины параболы:
    $${x}_{0}=-\frac{b}{2a}=-2,5$$,
    $${y}_{0}=-6,25+12,5+2=8,25$$.
  2. Согласно рисунку 1, запишем:
    $$-3-\left(-2 \right)=-1$$
Введите ответ в поле

Если прямая проходит через точку $$A\left(2;2 \right)$$ и параллельна прямой $$10x+5y=3$$, то ось абсцисс она пересекает в точке, сумма координат которой равна:

  1. Так как искомая прямая $$y=kx+b$$ параллельна прямой
    $$y=-2x+0,6$$, то $$k=-2$$.
    Получим: $$2=-2x+b$$.
  2. Тогда: $$2=-2\cdot 2+b$$, откуда $$b=6$$.
  3. Уравнение прямой: $$y=-2x+6$$.
    Точка пересечения прямой с осью $$Ox$$:
    $$y=0$$, $$x=3$$.
    Следовательно, $$3+0=3$$.
Введите ответ в поле

Наименьшее целое число из промежутка возрастания функции $$y=\left|{x}^{2}+2x-3 \right|$$ равно:

  1. Построим параболу $$y={x}^{2}+2x-3 $$ (1) (рис. 2).
    Координаты вершины:
    $${x}_{0}=\frac{-2}{2}=-1$$, $${y}_{0}=1-2-3=-4$$.
    Нули функции: $${x}_{1}=-3$$, $${x}_{2}=1$$.
  2. Построим график функции $$y=\left|{x}^{2}+2x-3 \right|$$ (2):
    часть графика (1), расположенного над осью $$Ox$$, оставляем, а ту, что под осью, отражаем симметрично этой оси (рис. 3).
  3. Тогда, $${x}_{наим.}=-2$$.
Введите ответ в поле

Количество целых чисел, принадлежащих области значений функции $$f\left(x \right)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3} \right)$$, равно:

  1. $$-1\leq \sin x\leq 1$$, $$-1\leq \sin \left(x+\frac{\pi }{3} \right)\leq 1$$, $$-2\leq 2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3} \right)\leq 2$$.
  2. Целые числа: $$-2$$; $$-1$$; $$0$$; $$1$$; $$2$$.
Введите ответ в поле

Если $$k$$ – количество нулей функции $$y=\left|{\log }_{0,2}x \right|-1$$, а $${y}_{0}$$ – ее наименьшее значение, то произведение чисел $$k$$ и $${y}_{0}$$ равно:

  1. Построим график функции $$y={\log }_{0,2}x$$ (1) (рис. 4).
  2. Построим график функции $$y=\left|{\log }_{0,2}x \right|$$ (2):
    часть графика (1), расположенную над осью $$Oy$$, оставляем, а ту, что под осью, отражаем симметрично этой оси (рис. 5).
  3. Построим график функции $$y=\left|{\log }_{0,2}x \right|-1$$ (3):
    выполняем параллельный перенос графика (2) вдоль оси $$Oy$$ на $$1$$ единичный отрезок вниз (рис. 6).
  4. Так как $$k=2$$, а $${y}_{0}=-1$$, то $$k{y}_{0}=-2$$.
Введите ответ в поле