Загрузка

Функции

Укажите функции, у которых область значений – множество всех действительных чисел:

  1. $$y=2x$$;
  2. $$y=2\left | x \right |$$;
  3. $$y=x^{2}$$;
  4. $$y=x^{3}$$;
  5. $$y=-\frac{4}{x}$$.

Запишем области значений данных функций:

  1. $$y=\sqrt[3]{x}$$, $$E\left ( f \right ):y \in R$$;
  2. $$y=\sqrt{x}$$, $$E\left ( f \right ): y\geq 0$$;
  3. $$y=\frac{2}{x}$$, $$E\left ( f \right ):y \in R/y\neq 0$$;
  4. $$y=\frac{x}{2}$$, $$E\left ( f \right ): y \in R$$;
  5. $$y=5x^{2}+6x+7$$, $$E\left ( f \right ): y \in \left [y_{0}; +\infty \right )$$.

Выберите один из вариантов

Наименьший период функции $$y=3cos\left ( \frac{\pi }{3}-\frac{2x}{3} \right )$$ равен:

$$T=2\pi :\frac{3}{2}=\frac{4\pi }{3}$$.

Выберите один из вариантов

Четными являются функции:

  1. $$y=cos\left (x+2 \right )$$;
  2. $$y=-0,5sin\sqrt{x}$$;
  3. $$y=ctgx$$;
  4. $$y=-0,2^{\left | x \right |}$$;
  5. $$y=lnx^{2}$$.

  1. Так как $$D\left ( f \right ): x \in R$$, но $$f\left ( -x \right )=cos\left ( -x+2 \right )$$, то функция ни четная и ни нечетная.
  2. Так как $$D\left ( f \right ): x\geq 0$$, то функция ни четная и ни нечетная.
  3. Так как $$D\left ( f \right ): x\in R/x\neq \pi n$$, $$n \in Z$$ и $$f\left ( -x \right )=-ctgx$$, то функция нечетная.
  4. Так как $$D\left ( f \right ): x \in R$$ и $$f\left ( -x \right )=-0,2^{\left | x \right |}$$, то функция четная.
  5. Так как $$D\left ( f \right ): x \in R/x\neq 0$$ и $$f\left ( -x \right )=lnx^{2}$$, то функция четная.
Выберите один из вариантов

Сумма координат точки пересечения графика функции $$y=arctg\left ( x+2 \right )$$ с осью абсцисс равна:

Если $$y=0$$, то $$arctg\left ( x+2 \right )=0$$, откуда $$x+2=tg0$$, $$x=-2$$.
Тогда, $$-2+0=-2$$.

Выберите один из вариантов

Если прямые, одна из которых параллельна оси абсцисс, а другая – оси ординат, пересекаются в точке $$K\left ( 2;-1 \right )$$, то их уравнения имеют вид:

Имеем прямые: $$x=a$$ и $$y=b$$.
Тогда: $$a=2$$, $$b=-1$$.
Получим: $$x=2$$, $$y=-1$$.

Выберите один из вариантов

Уравнение окружности с центром в точке $$P\left ( 1;0 \right )$$ и радиусом, равным $$2$$, имеет вид:

По формуле $$\left ( x-x_{0} \right )^{2}+\left ( y-y_{0} \right )^{2}=R^{2}$$ получим:
$$\left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y-0 \right )^{2}=4$$.

Выберите один из вариантов

Если уравнение квадрата имеет вид $$\left | x+\sqrt{2} \right |+\left | y-2\sqrt{2} \right |=\sqrt{2}$$, то его площадь равна:

Так как $$\frac{d}{2}=\sqrt{2}$$, то $$d=2\sqrt{2}$$.
По формуле $$S=\frac{d^{2}}{2}$$ получим:
$$S=\frac{8}{2}=4$$.

Введите ответ в поле

Если $$x=-5$$ и $$x=3$$ – нули квадратичной функции, наибольшее значение которой равно $$16$$, то сумма координат точки пересечения ее графика с осью ординат равна:

Имеем функцию $$f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c$$.

  1. Составим систему уравнений:
    $$\begin{cases} 25a-5b+c=0,\\ 9a+3b+c=0. \end{cases} $$
    Вычитая уравнения, получим:
    $$16a-8b=0$$, откуда $$b=2a$$, а $$c=-15a$$.
    Тогда, $$f\left ( x \right )=ax^{2}+2ax-15a$$.
  2. Координаты вершины параболы:
    $$x_{0}=-\frac{b}{2a}=-\frac{2a}{2a}=-1$$;
    $$y_{0}=a-2a-15a=-16a$$.
    Так как $$y_{0}=16$$, то $$a=-1$$.
    Тогда: $$b=-2$$; $$c=15$$; $$f\left ( x \right )=-x^{2}-2x+15$$.
  3. Точка пересечения графика с осью ординат:
    $$x=0$$, $$y=15$$. Следовательно, $$0+15=15$$.
Введите ответ в поле

Наибольшее целое число, принадлежащее области значений функции $$y=-2^{\left | x \right |}$$, равно:

  1. Построим график функции $$y=2^{ x }$$ ($$1$$) (рис. $$1$$).
  2. Построим график функции $$y=2^{\left | x \right |}$$ ($$2$$):
    часть графика ($$1$$), расположенного правее оси $$Oy$$, оставляем и ее же отражаем симметрично этой оси (рис. $$2$$).
  3. Построим график функции $$y=-2^{\left | x \right |}$$ ($$3$$):
    график ($$2$$) отражаем симметрично оси $$Ox$$ (рис. $$3$$).
  4. $$y_{наиб.}=-1$$ (рис. $$3$$).
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Введите ответ в поле

Наименьшее целое значение $$x$$, при котором выполняется неравенство $$log_{0,2}\left ( x-1 \right )< 5^{x}$$, равно:

  1. Построим график функции $$f\left ( x \right )=log_{0,2}\left ( x-1 \right )$$ ($$1$$) (рис. $$4$$).
  2. Построим график функции $$f\left ( x \right )=5^{x}$$ ($$2$$) (рис. $$4$$).
  3. Решение неравенства: $$x\in \left ( 1;+\infty \right )$$.

Следовательно, $$x=2$$.

Рис. 4
Введите ответ в поле