Загрузка

Прямая и плоскость в пространстве

Если точка $$A(1; 4; 3)$$ принадлежит плоскости $$Ax+By+Cz+D=0$$, а вектор $$\bar{n}(-5; 8; -1)$$$$-$$ нормальный вектор этой плоскости, то значение $$D$$ равно:

Если известна точка $$M(x_{0}; y_{0}; z_{0})$$, принадлежащая плоскости, и нормальный вектор этой плоскости $$\bar{n}(A, B, C)$$, то уравнение плоскости задают в виде:

$$A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0$$.

Так как $$A=-5, B=8, C=-1, x_{0}=1, y_{0}=4, z_{0}=3$$, то запишем:

$$-5(x-1)+8(y-4)-(z-3)=0, $$

$$-5x+5+8y-32-z+3=0, $$

$$-5x+8y-z-24=0$$,

$$D=-24$$.

Нормальный вектор плоскости – это вектор, который перпендикулярен данной плоскости.

Выберите один из вариантов

Если плоскость проходит через точки $$A(1; 4; -2)$$, $$B(-2; 3; 5)$$ и $$C(1; 2; 0)$$, то сумма координат нормального вектора этой плоскости равна:

Если известны три точки $$M_{1}(x_{1}; y_{1}; z_{1})$$, $$M_{2}(x_{2}; y_{2}; z_{2})$$ и $$M_{3}(x_{3}; y_{3}; z_{3})$$, принадлежащие плоскости, то уравнение этой плоскости можно найти по формуле:

$$\begin{vmatrix} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{vmatrix}=0$$.

Запишем уравнение плоскости:

$$\begin{vmatrix} x-1 & y-4 & z+2 \\ -2-1 & 3-4 & 5+2 \\ 1-1 & 2-4 & 0+2 \end{vmatrix}=0, $$ $$\begin{vmatrix} x-1 & y-4 & z+2 \\ -3 & -1 & 7 \\ 0 & -2 & 2 \end{vmatrix}=0, $$

$$-2(x-1)+0+6(z+2)-0+6(y-4)+14(x-1)=0, $$

$$12(x-1)+6(z+2)+6(y-4)=0, $$

$$2(x-1)+(z+2)+(y-4)=0, $$

$$2x-2+2+z+y-4=0$$,

$$2x+y+z-4=0$$.

Тогда, $$\bar{n}(2; 1; 1)$$, а $$2+1+1=4$$.

Общее уравнение плоскости имеет вид:

$$Ax+By+Cz+D=0$$,

где $$\bar{n}(A; B; C)$$ $$-$$ нормальный вектор этой плоскости.

Координаты нормального вектора плоскости определяются с точностью до постоянного множителя $$c\neq 0$$.

Выберите один из вариантов

Угол между плоскостями $$x+2y=5$$ и $$x=5-3z $$ равен:

  1. Угол между плоскостями с нормальными векторами $$\bar{n}_{1}$$ и $$\bar{n}_{2}$$ находят по формуле:

    $$cos\alpha =\frac{\bar{n}_{1}\cdot \bar{n}_{2}}{\left | \bar{n}_{1} \right |\cdot \left | \bar{n}_{2} \right |}$$.

  2. Скалярное произведение векторов $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3})$$ и $$\bar{b}(b_{1}; b_{2}; b_{3})$$ находят по формуле:

    $$\bar{a}\cdot \bar{b}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}$$.

  3. Длину вектора $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3})$$ находят по формуле:

    $$\left | \bar{a} \right |=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$$.

Запишем нормальные векторы данных плоскостей:

$$\bar{n}_{1}(1; 2; 0)$$, $$\bar{n}_{2}(1; 0; 3)$$.

Тогда, $$cos\alpha =\frac{1+0+0}{\sqrt{1+4+0}\cdot \sqrt{1+0+9}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}=0, 1\sqrt{2}$$,

$$\alpha =arccos0, 1\sqrt{2}$$.

  1. Чтобы найти угол между плоскостями, необходимо найти угол между их нормальными векторами.
  2. Чтобы найти нормальный вектор $$\bar{n}(A; B; C)$$ плоскости, необходимо записать уравнение этой плоскости в виде:

    $$Ax+By+Cz+D=0$$.

Выберите один из вариантов

Расстояние от точки $$M(1; 3; 1)$$ до плоскости $$3x+5y-z+2=0$$ равно:

Расстояние от точки$$M(x_{0}; y_{0}; z_{0})$$ до плоскости $$Ax+By+Cz+D=0$$ находят по формуле:

$$d=\frac{\left | Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$ .

$$d=\frac{\left | 3+15-1+2\right |}{\sqrt{3^2+5^2+1^2}}=\frac{19}{\sqrt{35}}=\frac{19\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$$.

Расстояние от точки до прямой – величина неотрицательная.

Выберите один из вариантов

Плоскости $$3x-y+nz=5$$ и $$nx+5y-4z=6$$ перпендикулярны при условии, что значение $$n$$ равно:

Плоскости $$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$$ и $$A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0$$ перпендикулярны, если $$A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0$$.
Решим уравнение:
 
$$3n-5-4n=0$$,
 
$$n=-5$$.
Плоскости перпендикулярны, если перпендикулярны их нормальные векторы.
Выберите один из вариантов

Если прямая параллельна вектору $$\bar{b}=5\bar{j}+2\bar{i}-8\bar{k}$$ и проходит через точку $$M(5; 4; 3)$$, то параметрические уравнения этой прямой имеют вид:

Каноническое уравнение прямой имеет вид:

$$\frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p}$$,

где $$M(x_{0}; y_{0}; z_{0})$$ $$-$$ точка, принадлежащая этой прямой,

$$\bar{l}(m; n; p)$$ $$-$$ направляющий вектор прямой.

Вектор $$\bar{b}$$ – направляющий вектор прямой:

$$\bar{b}(2; 5; -8)$$.

Каноническое уравнение прямой примет вид:

$$\frac{x-5}{2}=\frac{y-4}{5}=\frac{z-3}{-8}$$ .

Полагая $$\frac{x-5}{2}=\frac{y-4}{5}=\frac{z-3}{-8} = t$$, получим:

$$x=2t+5$$, $$y=5t+4$$, $$z=-8t+3$$.

Если вектор записан в виде $$\bar{b}=\alpha \bar{i}+\beta \bar{j}+\gamma \bar{k}$$, то он имеет координаты:

$$\bar{b}(\alpha;\beta;\gamma)$$.

Выберите один из вариантов

Сумма длин отрезков, которые отсекает плоскость $$4x-2y+5z+20=0$$ на осях координат, равна:

Уравнение плоскости в отрезках имеет вид:

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$,

где $$a, b$$ и $$c$$ – алгебраические величины отрезков, которые отсекают плоскость на осях координат ($$a$$ на оси $$Ox$$, $$b$$ на оси $$Oy$$ и $$c$$ на оси $$Oz$$).

Запишем уравнение данной плоскости в виде $$4x-2y+5z=-20$$ и разделим обе части этого равенства на число $$-20$$.

Получим:

$$\frac{4x}{-20}+\frac{2y}{20}+\frac{5x}{-20}=\frac{-20}{-20}$$,

$$\frac{x}{-5}+\frac{y}{10}+\frac{z}{-4}=1$$.

Тогда: $$\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |=5+10+4=19$$.

Длина отрезка – величина положительная.

Введите ответ в поле

Косинус угла между прямыми $$\frac{x}{5}=\frac{y-5}{3}=z+3$$ и $$\frac{x-2}{-1}=\frac{y-5}{2}=\frac{z+3}{4}$$ равен:

Если прямые образуют угол $$\alpha$$, то

$$cos\alpha=\frac{\bar{l_{1}}\cdot \bar{l_{2}}}{\left | \bar{l_{1}} \right|\cdot \left | \bar{l_{2}} \right |}$$,

где $$\bar{l_{1}}(m_{1}; n_{1}; p_{1})$$ и $$\bar{l_{2}}(m_{2}; n_{2}; p_{2})$$ – направляющие векторы этих прямых.

  1. Запишем направляющие векторы данных прямых:

    $$\bar{l_{1}}(5; 3; 1)$$ и $$\bar{l_{2}}(-1; 2; 4)$$.

  2. Найдем скалярное произведение направляющих векторов прямых:

    $$\bar{l_{1}}\cdot \bar{l_{2}}=-5+6+4=5$$.

  3. Найдем длины направляющих векторов:

    $$\left | \bar{l_{1}} \right |=\sqrt{25+9+1}=\sqrt{35}$$,

    $$\left | \bar{l_{2}} \right |=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}$$ .

    Тогда, $$cos\alpha =\frac{5}{\sqrt{35\cdot 21}}=\frac{5}{7\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{21}$$.

Чтобы записать направляющий вектор $$\bar{l}(m; n; p)$$ прямой, необходимо представить уравнение этой прямой в виде:

$$\frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_{0}}{p}$$ .

Выберите один из вариантов

Если прямая $$\frac{x-2}{p}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z}{5}$$ перпендикулярна плоскости $$3x+2y+Cz=0$$, то сумма чисел $$p$$ и $$C$$ равна:

Прямая $$\frac{x-x_{0}}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_{0}}{n}$$ перпендикулярна плоскости $$Ax+By+Cz+D=0$$, если

$$\frac{A}{l}=\frac{B}{m}=\frac{C}{n}$$.

Согласно условию задачи запишем:

$$A=3$$, $$B=2$$, $$l=p$$, $$m=-2$$, $$n=5$$.

Получим: $$\frac{3}{p}=\frac{2}{-2}=\frac{C}{5}$$, откуда:

  1. $$\frac{3}{p}=-1$$, $$p=-3$$;

  2. $$\frac{C}{5}=-1$$, $$C=-5$$.

Сумма чисел $$p$$ и $$C$$ равна $$-8$$.

Прямая перпендикулярна плоскости, если направляющий вектор прямой параллелен нормальному вектору плоскости.

Введите ответ в поле

Угол между прямой $$\frac{x}{4}=\frac{y}{-5}=\frac{z}{2}$$ и плоскостью $$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-6}=1$$ равен:

Рассмотрим прямую $$\frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_{0}}{p}$$ и плоскость $$Ax+By+Cz+D=0$$.

Если прямая образует с плоскостью угол $$\alpha$$, то:

$$sin\alpha=\frac{Al+Bm+Cn}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\cdot \sqrt{l^2+m^2+n^2}}$$.

  1. Запишем уравнение плоскости в общем виде:

    $$3x+2y-z-6=0$$.

  2. Запишем нормальный вектор этой плоскости:

    $$\bar{n}(3; 2; -1)$$.

  3. Запишем направляющий вектор прямой:

    $$(4; -5; 2)$$.

  4. Найдем синус угла между прямой и плоскостью:

    $$sin\alpha=\frac{12-10-2}{\sqrt{9+4+1}\cdot \sqrt{16+25+4}}=0$$.

Так как $$sin\alpha=0, $$ то $$\alpha =0$$.

Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, необходимо уравнение прямой записать в каноническом виде, а уравнение плоскости – в общем виде.

Выберите один из вариантов