1. Правила дифференцирования:
   1. $$(k\cdot f(x)){}'=k\cdot f{}'(x)$$, где $$k$$ – число;
   2. $$\left (u+v \right ){}'=u{}'+v{}'$$, где $$u=f_{1}(x), v=f_{2}(x)$$.
2. Производные элементарных функций:

   $$a{}'=0, \left (x^a \right ){}'=a\cdot x^{a-1},$$

   $$\left (\frac{1}{x} \right ){}'=-\frac{1}{x^2}$$,

   $$(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$.

1. Запишем функцию в виде:

   $$f(x)=\frac{x^3}{2x}-\frac{4}{2x}+\frac{2x\sqrt{x}}{2x}+\frac{10x}{2x}=\frac{x^{2}}{2}-\frac{2}{x}+\sqrt{x}+5$$.

2. Запишем производную суммы:

   $${f}'(x)={\left ( \frac{x^2}{2} \right )}'-{\left ( \frac{2}{x} \right )}'+{(\sqrt{x})}'+{5}'$$.

3. Вынесем за знаки производных постоянные множители:

   $$f{}'(x)=\frac{1}{2}(x^2){}'-2\left ( \frac{1}{x} \right ){}'+(\sqrt{x}){}'+5{}'$$.

4. Применим правила нахождения производных элементарных функций:

   $$f{}'(x)=\frac{1}{2}\cdot 2x^{2-1}-2\left ( -\frac{1}{x^2} \right ){}'+ \frac{1}{2\sqrt{x}}+0=x+\frac{2}{x^2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

5. Найдем значение производной в точке $$x=4$$:

   $${f}'(4)=4+0,125+0,25=4,375$$.

Если бы мы не преобразовали функцию (не представили ее в виде суммы элементарных функций), то пришлось бы применять правило $$\left (\frac{u}{v} \right ){}'=\frac{u{}'v-uv{}'}{v^2}$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции.

$$(cos g(x)){}'=-sing(x)\cdot g{}'(x)$$;

$$cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x$$;

$$sin^2x+cos^2x=1$$.

Запишем функцию в виде:

$$y=4\left ( sin^{4}x-cos^{4} x\right )=4\left ( sin^{2} x-cos^{2}x\right )\left ( sin^{2}x+cos^{2} x\right ) = -4cos2x.$$

Тогда, $$y{}'=-4\cdot \left (-sin2x \right )\cdot {\left (2x \right )}'=8sin 2x$$.

Если бы мы не преобразовали функцию, то пришлось бы применять правило $$\left (g^{n}(x) \right ){}'=ng^{n-1}(x)\cdot g{}'\left (x \right )$$.

Правило дифференцирования:

$$\left (u\cdot v \right ){}'=u{}'v+uv{}'$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции.

Производные функций:

$$x{}'=1,$$

$$\left (e^{g(x)} \right ){}'=e^{g(x)} (g(x)){}'$$.

$$y{}'=x{}'\cdot e^{5x}+x\cdot (e^{5x}){}'=1\cdot e^{5x} +x\cdot e^{5x}\cdot (5x){}'=e^{5x} (1+5x)$$,

$$y{}'(0)=e^0(1+0)=1$$.

При $$a\neq 0$$ справедливо равенство:

$$a^0=1$$.

1. Правило дифференцирования:

   $$\left (\frac{u}{v} \right ){}'=\frac{u{}'v-uv{}'}{v^2}$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции.

2. Производные элементарных функций:

   $${a}'=0$$,

   $${x}'=1$$,

   $${(\sqrt{x})}'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$.

Найдем производную частного:

$$y{}'=\frac{\left (\sqrt{x}+5 \right ){}'(2-x)-\left ({\sqrt{x}}+5 \right )(2-x){}'}{(2-x)^2},$$

$$y{}'=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot (2-x)-(\sqrt{x}+5)\cdot (-1)}{(2-x)^2},$$

$$y{}'=\frac{\frac{2-x}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}+5}{(2-x)^2},$$

$$y{}'=\frac{2+x+10\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(2-x)^2}.$$

Тогда, $$y{}'(1)=\frac{2+1+10}{2\cdot 1\cdot 1}=6,5.$$

Различайте:

1. $${\left ( \frac{u}{v} \right )}'=\frac{{u}'v-u{v}'}{v^{2}}$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции;
2. $${\left ( \frac{u}{k} \right )}'=\frac{1}{k} \cdot {u}'$$, где $$k$$ – число;
3. $${\left ( \frac{k}{v} \right )}'=k \cdot {\left (\frac{1}{v} \right )}'$$, где $$k$$ – число.

1. Свойства логарифмов:

   $$log_{a}b^n=n\cdot log_{a}b$$;

   $$log_{a}\frac{b}{c}=log_{a}b-log_{a}c$$.

2. Правила дифференцирования:
   1. $$\left (k\cdot f(x) \right ){}'=k\cdot f{}'(x),$$ где $$k$$ – число;
   2. $$(u+v){}'=u{}'+v{}'$$, где $$u=f_{1}(x)$$, $$v=f_{2}(x)$$.
3. Производные функций:

   $${a}'=0$$;

   $${x}'=1$$;

   $$(ln(g(x))){}'=\frac{1}{g(x)}\cdot g{}'(x).$$

1. Преобразуем функцию:

   $$f(x)=ln \sqrt{\frac{2x+5}{5-2x}}=$$$$=ln\left (\frac{2x+5}{5-2x} \right )^{\frac{1}{2}}=$$

   $$=\frac{1}{2}ln {\frac{2x+5}{5-2x}} =\frac{1}{2}(ln(2x+5)-ln(5-2x))$$.

2. Найдем производную суммы сложных функций:

   $$f{}'\left ( x \right )= \frac{1}{2}\left ({(ln(2x+5))}'-{(ln(5-2x))}' \right )=$$

   $$=\frac{1}{2} \left (\frac{{(2x+5)}'}{2x+5}-\frac{{(5-2x)}'}{5-2x} \right)=$$

$$=$$$$\frac{1}{2}\left ( \frac{2}{2x+5}-\frac{-2}{5-2x} \right )$$$$=\frac{1}{2}\left ( \frac{2}{2x+5}+\frac{-2}{2x-5} \right )=$$

$$=\frac{2}{2} \left (\frac{1}{2x+5}+\frac{-1}{2x-5} \right)=\frac{2x-5-2x-5}{4x^{2}-25}=$$

$$=-\frac{10}{4x^{2}-25}=$$$$\frac{10}{25-4x^{2}}$$.

3. Найдем значение выражения:

   $$0,2{f}'(0)$$$$=\frac{0,2\cdot10 }{25}=\frac{2}{25}=\frac{2\cdot 4}{25\cdot 4}=0,08$$.

Натуральный логарифм числа $$b$$ записывают:

$$log_{e} b$$ или $$ln b$$,

где $$e$$ – иррациональное число и $$e= 2,718281828459045...$$

Дифференциал функции $$y=f(x)$$ находят по формуле:

$$dy=f{}'\left ( x \right )\cdot dx$$.

$$y{}'=\left (4^{x} \right ){}'+{\left (x^{4} \right )}'=4^{x}ln4+4x^{3}$$,

$$dy= \left (4^{x}ln4+4x^{3} \right )dx$$.

Различайте производную степенной функции $${\left (x^{a} \right )}'=a\cdot x^{a-1}$$ и показательной функции $${\left (a^{x} \right )}'=a^{x}\cdot lna$$.

1. Правила дифференцирования:
   1. $$\left (k\cdot f(x) \right ){}'=k\cdot f{}'(x)$$, где $$k$$ - число;
   2. $$(u+v){}'=u{}'+v{}'$$, где $$u=f_{1}(x)$$, $$v=f_{2}(x)$$.
2. Производные сложных функций:

   $${\left (sin g\left ( x \right ) \right )}'=cos g\left ( x \right )\cdot g{}'(x)$$,

   $${\left (cos g\left ( x \right ) \right )}'=-sin g\left ( x \right )\cdot g{}'(x).$$

3. Свойство логарифмов:

   $$log_{a}x^{n}=nlog_{a}x$$.

1. Запишем функцию в виде:

   $$y=cos3x+xlog_{2}15$$.

2. Найдем производную первого порядка:

   $$y{}'=-sin3x\cdot {\left (3x \right )}'+log_{2}15\cdot x{}'=-3sin3x+log_{2}15.$$

3. Найдем производную второго порядка:

   $$y{}'{}'={\left (-3sin3x \right )}'+{\left (log_{2}15 \right )}'=-3cos3x\cdot(3x){}'+0=-9cos3x$$.

Производной второго порядка (второй производной) функции $$y=f(x)$$ называют производную ее первой производной и записывают: $$y{}''=(f{}'(x)){}'$$.

Чтобы найти производную $$y{}'$$ неявной функции $$F(x,y)=0$$, необходимо найти производные обеих частей равенства $$F(x;y)=0$$, считая, что $$x$$ - независимая переменная, а $$y$$ - зависимая от $$x$$ переменная, и из полученного уравнения выразить явно $$y{}'$$.

Запишем:

$${(5x^{2})}'-{(2xy)}'={3}'+{(2y^{2})}'$$,

$$10x-2({x}'y+x{y}')=0+4y\cdot {y}'$$,

$$10x-2(y+x{y}')=4y\cdot {y}'$$,

$$10x-2y-2x{y}'=4y{y}'$$.

Подставляя в последнее равенство значения $$x=1$$ и $$y=2$$, получим:

$$10-4-2y{}'=8y{}'$$,

$$10y{}'=6,$$

$$y{}'=0,6$$.

Правило дифференцирования:

$$\left (u\cdot v \right ){}'=u{}'v+uv{}'$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции.

Производную функции $$\left\{\begin{matrix} x=f(t), & \\ y=g(t) & \end{matrix}\right.$$ находят по формуле:

$$y{}'_{x}=\frac{g{}'(t)}{f{}'(t)}$$.

Найдем произдводные:

$$y^{'}_{t}=cos(2-t)\cdot {(2-t)}'=-cos(2-t)$$,

$$x^{'}_{t}=-2sin(t-2)\cdot {(t-2)}'=-2sin(t-2)$$.

Тогда, $$y_{x}{}'=\frac{y_{t}{}'}{x_{t}{}'}=\frac{-cos(2-t)}{-2sin(t-2)}=0,5ctg(t-2)$$.

Так как функция косинус четная, то $$cos(-a)=cos(a)$$.

1. Чтобы найти производную показательно-степенной функции $$y=f(x)^{g(x)}$$, необходимо:
   1. прологарифмировать обе части уравнения $$y=f(x)^{g(x)}$$:

      $$ln y= ln f(x)^{g(x)}$$;

   2. согласно свойству логарифмов $$log_{a}x^{n}=nlog_{a}x$$, записать:

      $$ln y=g(x) ln f(x)$$;

   3. найти производные левой и правой части последнего уравнения:

      $${\left (ln y \right )}'={\left (g(x)ln f(x) \right ) }'$$.

2. Производные функций:

   $$x{}'=1;$$
   

$$(ln(g(x))){}'=\frac{1}{g(x)}\cdot g{}'(x)$$.

1. Прологарифмируем обе части уравнения:

   $$ln y=ln(2x-1)^{2x},$$ $$ln y=2x\cdot ln(2x-1)$$.

2. Найдем производные левой и правой части этого уравнения:

   $${\left (ln y \right )}'={\left (2x \right )}'\cdot ln(2x-1)+2x\cdot {\left (ln(2x-1) \right ) }'$$,

   $$\frac{y{}'}{y}=2\cdot ln(2x-1)+\frac{2x}{2x-1}\cdot {(2x-1)}'$$.

3. Выразим явно $$y{}'$$:

   $$y{}'= \left (2ln(2x-1)+\frac{4x}{2x-1} \right ) \cdot (2x-1)^{2x}$$.

4. Найдем значение производной функции в точке $$x=1$$:

   $$y^{'}=(2ln1+4)\cdot 1^{2}=4$$.

Различайте производные:

степенной функции $${\left (x^{a} \right )}'=a\cdot x^{a-1}$$;

показательной функции $${\left (a^{x} \right )}'=a^{x}\cdot lna$$;

показательно-степенной функции $$y= \left (f(x) \right )^{g(x)}$$.