1.  Правила дифференцирования:
   $$ (k \cdot(f(x))'=k \cdot f(x)' $$, где $$k$$ – число;
    $$(u+v)'= u' +v'$$, где $$u=f_{1}(x)$$, $$v=f_{2}(x)$$.
2. Производные элементарных функций:

   $$a{}'=0, \left (x^a \right ){}'=a\cdot x^{a-1},$$

   $$\left (\frac{1}{x} \right ){}'=-\frac{1}{x^2}$$,

   $$(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$.

1. Запишем функцию в виде:

   $$f(x)=\frac{x^3}{2x}-\frac{4}{2x}+\frac{2x\sqrt{x}}{2x}+\frac{10x}{2x}$$,
   $$f(x)=\frac{x^{2}}{2}-\frac{2}{x}+\sqrt{x}+5$$.

2. Запишем производную суммы:

   $${f}'(x)={\left ( \frac{x^2}{2} \right )}'-{\left ( \frac{2}{x} \right )}'+{(\sqrt{x})}'+{5}'$$.

3. Вынесем за знаки производных постоянные множители:

   $$f{}'(x)=\frac{1}{2}(x^2){}'-2\left ( \frac{1}{x} \right ){}'+(\sqrt{x}){}'+5{}'$$.

4. Применим правила нахождения производных элементарных функций:

   $$f{}'(x)=\frac{2x^{2-1}}{2}\cdot -2 \left ( -\frac{1}{x^2} \right )+ \frac{1}{2\sqrt{x}}$$,
   $$f{}'(x)=x+\frac{2}{x^2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$$.

5. Найдем значение производной в точке $$x=4$$:

   $${f}'(4)=4+0,125+0,25=4,375$$.

Если бы мы не преобразовали функцию (не представили ее в виде суммы элементарных функций), то необходимо было бы применять правило:
$$\left (\frac{u}{v} \right ){}'=\frac{u{}'v-uv{}'}{v^2}$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции.

Дифференциал функции $$y=f(x)$$ находят по формуле:

$$dy=f{}'\left ( x \right )\cdot dx$$.

1. Найдем производную функции:
   $$y'=(4^{x})'+(x^{4})'$$,
   $$y'=4^{x}\ln 4+4x^{3}$$. 
2. Найдем дифференциал функции:
   $$dy=(4^{x}\ln 4+4x^{3})dx$$.

1. степенной функции $${\left (x^{a} \right )}'=a\cdot x^{a-1}$$; 
2. показательной функции $${\left (a^{x} \right )}'=a^{x}\cdot \ln a$$.

1. Производная сложной функции:
   $$(\textrm{arccos} g (x))'=-\frac {g'(x)}{\sqrt {1-g^2(x)}}$$. 
2. Дифференциал функции $$y= f(x)$$:
   $$dy=f'(x)\cdot dx$$.

1. Найдем производную функции:
   $$y'=-\frac {(3x)'}{\sqrt{1-9x^2}}$$,
   $$y'=-\frac {3}{\sqrt{1-9x^2}}$$. 
2. Найдем дифференциал функции:
   $$dy=-\frac {3dx}{\sqrt{1-9x^2}}$$. 
3. Найдем значение дифференциала в точке $$x=0$$:
   $$dy=-\frac {3dx}{\sqrt{1-0}}$$,
   $$dy=-3dx$$.

1. $$(g^n (x))′=ng^{n−1} ( x)\cdot g'(x)$$; 
2. $$(\textrm{sin} g (x))′=\textrm{cos} g ( x )\cdot g'(x)$$.

1. Найдем производную степенной функции:
   $$y '=2\textrm{sin}^{2−1} 4 x \cdot (\textrm{sin} 4 x)′$$;
   $$y '=2\textrm{sin} 4 x \cdot {\textrm{cos} 4 x }\cdot ( 4 x )'$$; 
   $$y =4 \cdot {2\textrm{sin} 4 x }\cdot {\textrm{cos} 4 x}$$;
   $$y'=4\textrm{sin}8x$$. 
2. Найдем значение производной в точке $$x=\frac{3\pi}{16}$$:
   $$f'\left(\frac{3\pi}{16}\right)=4 \sin \frac{3\pi}{2}=4\cdot (-1)=-4$$.

$$\textrm{sin} 2 x=2\textrm{sin} x \textrm{cos} x$$.

1. Правило дифференцирования:

   $$\left (\frac{u}{v} \right ){}'=\frac{u{}'v-uv{}'}{v^2}$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции.

2. Производные элементарных функций:

   $${a}'=0$$,

   $${x}'=1$$,

   $${(\sqrt{x})}'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$.

1. Найдем производную частного функций:
   $$y{}'=\frac{\left (\sqrt{x}+5 \right ){}'(2-x)-\left ({\sqrt{x}}+5 \right )(2-x){}'}{(2-x)^2}$$,
   $$y{}'=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot (2-x)-(\sqrt{x}+5)\cdot (-1)}{(2-x)^2}$$,
   $$y{}'=\frac{\frac{2-x}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}+5}{(2-x)^2}$$,
   $$y{}'=\frac{2+x+10\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(2-x)^2}$$.
2. Найдем значение производной в точке $$x=1$$:
   $$y{}'(1)=\frac{2+1+10}{2\cdot 1\cdot 1}=6,5$$.

Различайте:

1. $${\left ( \frac{u}{v} \right )}'=\frac{{u}'v-u{v}'}{v^{2}}$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции;
2. $${\left ( \frac{u}{k} \right )}'=\frac{1}{k} \cdot {u}'$$, где $$k$$ – число;
3. $${\left ( \frac{k}{v} \right )}'=k \cdot {\left (\frac{1}{v} \right )}'$$, где $$k$$ – число.

1. Свойства логарифмов:
   $$\textrm{log}_{a}b^{n}=n \cdot \textrm{log}_{a} b$$;
   $$\textrm{log}_{a}\frac{b}{c}= \textrm{log}_{a}b-\textrm{log}_{a}c$$. 
2. Правила дифференцирования:
   $$ (k \cdot(f(x))'=k \cdot f(x)' $$, где $$k$$ – число;
   $$(u+v)'= u' +v'$$, где $$u=f_{1}(x)$$, $$v=f_{2}(x)$$.
3. Производные функций:
   $$a'=0$$;
   $$x'=1$$;
   $$(\textrm{ln}(g(x)))'= \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x)$$.

1. Преобразуем функцию:

   $$f(x)=\ln\left (\frac{2x+5}{5-2x} \right )^{\frac{1}{2}}$$,
   $$f(x)=\frac{1}{2}\ln {\frac{2x+5}{5-2x}}$$,
   $$f(x)=\frac{1}{2}(\ln (2x+5)-\ln (5-2x))$$.

2. Найдем производную суммы сложных функций:

   $$f{}'\left ( x \right )= \frac{1}{2}\left ({(\ln (2x+5))}'-{(\ln (5-2x))}' \right )$$, 
   $$f'(x)=\frac{1}{2} \left (\frac{{(2x+5)}'}{2x+5}-\frac{{(5-2x)}'}{5-2x} \right)$$,
   $$f'(x)=\frac{1}{2}\left ( \frac{2}{2x+5}-\frac{-2}{5-2x} \right )$$, 
   $$f'(x)=\frac{2}{2} \left (\frac{1}{2x+5}+\frac{-1}{2x-5} \right)$$,
   $$f'(x)=\frac{10}{25-4x^{2}}$$.

3. Найдем значение выражения:

   $$0,2{f}'(0)$$$$=\frac{0,2\cdot10 }{25}=0,08$$.

Натуральный логарифм числа $$b$$ записывают:

$$\textrm{log}_{e} b$$ или $$\textrm{ln} b$$,

где $$e$$ – иррациональное число и $$e= 2,718281828459045...$$

1. Производная сложной функции:
   $$(\textrm{cos} g(x)){}'=-\textrm{sin}g(x)\cdot g{}'(x)$$. 
2. Формулы тригонометрии:
   $$\textrm{cos}2x=\textrm{cos}^{2}x-\textrm{sin}^{2}x$$;
   $$\textrm{sin}^2x+\textrm{cos}^2x=1$$.

1. Запишем функцию в виде:
   $$y=4\left (\textrm{sin}^{4}x-\textrm{cos}^{4} x\right )$$,
   $$y=4\left (\textrm{sin}^{2} x-\textrm{cos}^{2}x\right )\left (\textrm{sin}^{2}x+\textrm{cos}^{2} x\right )$$,
   $$y= -4\textrm{cos}2x$$. 
2. Найдем производную:
   $$y{}'=-4\cdot \left (-\textrm{sin}2x \right )\cdot {\left (2x \right )}'$$,
   $$y{}'=8\textrm{sin}2x$$.

Если не преобразовывать функцию, то необходимо применять правило:

$$\left (g^{n}(x) \right ){}'=ng^{n-1}(x)\cdot g{}'\left (x \right )$$.

1. Свойства степеней:
   $$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$;
   $$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$$;
   $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$. 
2. Производная сложной функции:
   $$(g^n(x))'=n\cdot g^{n-1}(x)\cdot {g}'(x)$$.

1. Запишем функцию в виде:
   $$y=(3-3x^2)^{\frac{1}{3}}$$. 
2. Найдем производную функции:
   $$y'=\frac{1}{3}(3-3x^2)^{\frac{1}{3}-1}(3-3x^2)'$$;
   $$y'= \frac{1}{3}(3-3x^2)^{\frac{-2}{3}}(-6x)$$;
   $$y'=-\frac{2x}{\sqrt[3]{(3-3x^2)^2}}$$. 
3. Найдем значение производной в точке $$x=-2$$:
   $$y'(-2)=\frac{4}{\sqrt[3]{81}}=\frac{4}{3\sqrt[3]{3}}$$.

1. $$(k\cdot f(x))'=k \cdot f'(x)$$, где $$k$$ – число; 
2. $$(u+v)'=u'+v'$$, где $$u= f_1 ( x )$$, $$v= f_2 ( x )$$.

1. Правило дифференцирования:
   $$\left (u\cdot v \right ){}'=u{}'\cdot v+u\cdot v{}'$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции.
2. Производные функций:
   $$x{}'=1,$$
   $$\left (e^{g(x)} \right ){}'=e^{g(x)} (g(x)){}'$$.

1. Найдем производную произведения функций:
   $$y{}'=x{}'\cdot e^{5x}+x\cdot (e^{5x}){}'$$,
   $$y{}'=1\cdot e^{5x} +x\cdot e^{5x}\cdot (5x){}'$$,
   $$y{}'=e^{5x} \cdot (1+5x)$$. 
2. Найдем значение производной в точке $$x=0$$:
   $$f{}'(0)=e^0\cdot (1+0)=1$$.

При $$a\neq 0$$ справедливо равенство:

$$a^0=1$$.

1. Правила дифференцирования:
   $$(k\cdot f(x))'= k\cdot f'(x)$$, где $$k$$ - число;
   $$(u+v)'= u' + v'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$. 
2. Производная сложной функции:
   $$(\sqrt{g(x)})'=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$$.

1. Найдем производную функции:
   $$y'=\frac{(5x^2-2x+1)'}{2\sqrt{5x^2-2x+1}}$$,
   $$y'=\frac{10x-2}{2\sqrt{5x^2-2x+1}}$$,
   $$y'=\frac{5x-1}{\sqrt{5x^2-2x+1}}$$. 
2. Найдем значение производной в точке $$x=1$$:
   $$y'(1)=\frac{5-1}{\sqrt{5-2+1}}=\frac{4}{\sqrt{4}}=2$$.

1. $$a'=0$$; 
2. $$(x^a)'= a\cdot x^{a-1}$$; 
3. $$x'=1$$.