Производная функции одной переменной
Если $$f(x)=ln \sqrt{\frac{2x+5}{5-2x}}$$, то значение выражения $$0,2f{}'(0)$$ равно:
- Преобразуем функцию:
$$f(x)=ln\left (\frac{2x+5}{5-2x} \right )^{\frac{1}{2}}$$, $$f(x)=\frac{1}{2}ln {\frac{2x+5}{5-2x}}$$, $$f(x)=\frac{1}{2}(ln(2x+5)-ln(5-2x))$$.
- Найдем производную суммы сложных функций:
$$f{}'\left ( x \right )= \frac{1}{2}\left ({(ln(2x+5))}'-{(ln(5-2x))}' \right )$$, $$f'(x)=\frac{1}{2} \left (\frac{{(2x+5)}'}{2x+5}-\frac{{(5-2x)}'}{5-2x} \right)$$, $$f'(x)=\frac{1}{2}\left ( \frac{2}{2x+5}-\frac{-2}{5-2x} \right )$$, $$f'(x)=\frac{2}{2} \left (\frac{1}{2x+5}+\frac{-1}{2x-5} \right)$$, $$f'(x)=\frac{10}{25-4x^{2}}$$.
- Найдем значение выражения:
$$0,2{f}'(0)$$$$=\frac{0,2\cdot10 }{25}=0,08$$.
Натуральный логарифм числа $$b$$ записывают:
$$log_{e} b$$ или $$ln b$$,
где $$e$$ – иррациональное число и $$e= 2,718281828459045...$$
Производная функции $$y=4sin^4x-4cos^4x$$ имеет вид:
$$(cos g(x)){}'=-sing(x)\cdot g{}'(x)$$;
$$cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x$$;
$$sin^2x+cos^2x=1$$.
Запишем функцию в виде:
$$y=4\left ( sin^{4}x-cos^{4} x\right )$$, $$y=4\left ( sin^{2} x-cos^{2}x\right )\left ( sin^{2}x+cos^{2} x\right )$$, $$y= -4cos2x.$$
Тогда, $$y{}'=-4\cdot \left (-sin2x \right )\cdot {\left (2x \right )}'$$, $$y{}'=8sin 2x$$.
Если бы мы не преобразовали функцию, то пришлось бы применять правило $$\left (g^{n}(x) \right ){}'=ng^{n-1}(x)\cdot g{}'\left (x \right )$$.
Если функция имеет вид $$y=\frac{\sqrt{x}+5}{2-x}$$, то значение производной этой функции в точке $$x_{0}=1$$ равно:
- Правило дифференцирования:
$$\left (\frac{u}{v} \right ){}'=\frac{u{}'v-uv{}'}{v^2}$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции.
- Производные элементарных функций:
$${a}'=0$$,
$${x}'=1$$,
$${(\sqrt{x})}'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$.
Найдем производную частного:
$$y{}'=\frac{\left (\sqrt{x}+5 \right ){}'(2-x)-\left ({\sqrt{x}}+5 \right )(2-x){}'}{(2-x)^2},$$
$$y{}'=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot (2-x)-(\sqrt{x}+5)\cdot (-1)}{(2-x)^2},$$
$$y{}'=\frac{\frac{2-x}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}+5}{(2-x)^2},$$
$$y{}'=\frac{2+x+10\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(2-x)^2}.$$
Тогда, $$y{}'(1)=\frac{2+1+10}{2\cdot 1\cdot 1}=6,5.$$
Различайте:
- $${\left ( \frac{u}{v} \right )}'=\frac{{u}'v-u{v}'}{v^{2}}$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции;
- $${\left ( \frac{u}{k} \right )}'=\frac{1}{k} \cdot {u}'$$, где $$k$$ – число;
- $${\left ( \frac{k}{v} \right )}'=k \cdot {\left (\frac{1}{v} \right )}'$$, где $$k$$ – число.
Значение производной функции $$y=\left (2x-1 \right )^{2x}$$ в точке $$x=1$$ равно:
- Прологарифмируем обе части уравнения:
$$ln y=ln(2x-1)^{2x},$$ $$ln y=2x\cdot ln(2x-1)$$.
- Найдем производные левой и правой части этого уравнения:
$${\left (ln y \right )}'={\left (2x \right )}'\cdot ln(2x-1)+2x\cdot {\left (ln(2x-1) \right ) }'$$,
$$\frac{y{}'}{y}=2\cdot ln(2x-1)+\frac{2x(2x-1)'}{2x-1}$$.
- Выразим явно $$y{}'$$:
$$y{}'= \left (ln(2x-1)^{2}+\frac{4x}{2x-1} \right ) \cdot (2x-1)^{2x}$$.
- Найдем значение производной функции в точке $$x=1$$:
$$y^{'}=(ln1+4)\cdot 1^{2}=4$$.
Различайте производные:
степенной функции $${\left (x^{a} \right )}'=a\cdot x^{a-1}$$;
показательной функции $${\left (a^{x} \right )}'=a^{x}\cdot lna$$;
показательно-степенной функции $$y= \left (f(x) \right )^{g(x)}$$.
Найдите производную функции $$y=sin(2-t)$$, $$x=2cos(t-2)$$:
Производную функции $$\left\{\begin{matrix} x=f(t), & \\ y=g(t) & \end{matrix}\right.$$ находят по формуле:
$$y{}'_{x}=\frac{g{}'(t)}{f{}'(t)}$$.
Найдем производные:
$$y^{'}_{t}=cos(2-t)\cdot {(2-t)}'$$, $$y^{'}_{t}=-cos(2-t)$$;
$$x^{'}_{t}=-2sin(t-2)\cdot {(t-2)}$$, $$x^{'}_{t}=-2sin(t-2)$$.
Тогда: $$y_{x}{}'=\frac{y_{t}{}'}{x_{t}{}'}$$, $$y_{x}{}'=\frac{-cos(2-t)}{-2sin(t-2)}$$, $$y_{x}{}'=0,5ctg(t-2)$$.
Так как функция косинус четная, то $$cos(-a)=cos(a)$$.
Дифференциал функции $$y=4^x+x^4$$ имеет вид:
Дифференциал функции $$y=f(x)$$ находят по формуле:
$$dy=f{}'\left ( x \right )\cdot dx$$.
$$y'=(4^{x})'+(x^{4})'$$,
$$y'=4^{x}ln 4+4x^{3}$$,
$$dy=(4^{x}ln 4+4x^{3})dx$$.
Различайте производную степенной функции $${\left (x^{a} \right )}'=a\cdot x^{a-1}$$ и показательной функции $${\left (a^{x} \right )}'=a^{x}\cdot lna$$.
Производная второго порядка функции $$y=cos3x+log_{2}15^{x}$$ имеет вид:
- Правила дифференцирования:$$ (k \cdot(f(x))'=k \cdot f(x)' $$, где $$k$$ – число;$$(u+v)'= u' +v'$$, где $$u=f_{1}(x)$$, $$v=f_{2}(x)$$.
- Производные сложных функций:
$${\left (sin g\left ( x \right ) \right )}'=cos g\left ( x \right )\cdot g{}'(x)$$,
$${\left (cos g\left ( x \right ) \right )}'=-sin g\left ( x \right )\cdot g{}'(x).$$
- Свойство логарифмов:
$$log_{a}x^{n}=nlog_{a}x$$.
- Запишем функцию в виде:
$$y=cos3x+xlog_{2}15$$.
- Найдем производную первого порядка:
$$y{}'=-sin3x\cdot {\left (3x \right )}'+log_{2}15\cdot x{}'$$, $$y'=-3sin3x+log_{2}15$$.
- Найдем производную второго порядка:
$$y{}'{}'={\left (-3sin3x \right )}'+{\left (log_{2}15 \right )}'$$, $$y''=-3cos3x\cdot(3x){}'+0$$, $$y''=-9cos3x$$.
Производной второго порядка (второй производной) функции $$y=f(x)$$ называют производную ее первой производной и записывают: $$y{}''=(f{}'(x)){}'$$.
Значение производной функции $$f(x)=\frac{x^3-4+2\sqrt{x^3}+10x}{2x}$$ в точке $$x=4$$ равно:
- Правила дифференцирования:$$ (k \cdot(f(x))'=k \cdot f(x)' $$, где $$k$$ – число;$$(u+v)'= u' +v'$$, где $$u=f_{1}(x)$$, $$v=f_{2}(x)$$.
- Производные элементарных функций:
$$a{}'=0, \left (x^a \right ){}'=a\cdot x^{a-1},$$
$$\left (\frac{1}{x} \right ){}'=-\frac{1}{x^2}$$,
$$(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$.
- Запишем функцию в виде:
$$f(x)=\frac{x^3}{2x}-\frac{4}{2x}+\frac{2x\sqrt{x}}{2x}+\frac{10x}{2x}$$, $$f(x)=\frac{x^{2}}{2}-\frac{2}{x}+\sqrt{x}+5$$.
- Запишем производную суммы:
$${f}'(x)={\left ( \frac{x^2}{2} \right )}'-{\left ( \frac{2}{x} \right )}'+{(\sqrt{x})}'+{5}'$$.
- Вынесем за знаки производных постоянные множители:
$$f{}'(x)=\frac{1}{2}(x^2){}'-2\left ( \frac{1}{x} \right ){}'+(\sqrt{x}){}'+5{}'$$.
- Применим правила нахождения производных элементарных функций:
$$f{}'(x)=\frac{2x^{2-1}}{2}\cdot -2 \left ( -\frac{1}{x^2} \right )+ \frac{1}{2\sqrt{x}}$$, $$f{}'(x)=x+\frac{2}{x^2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$$.
- Найдем значение производной в точке $$x=4$$:
$${f}'(4)=4+0,125+0,25=4,375$$.
Если бы мы не преобразовали функцию (не представили ее в виде суммы элементарных функций), то пришлось бы применять правило $$\left (\frac{u}{v} \right ){}'=\frac{u{}'v-uv{}'}{v^2}$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции.
Если неявная функция имеет вид $$5x^{2}-2xy=3+2y^{2}$$, то значение выражения $$y{}'_{x}$$ в точке $$A(1;2)$$ равно:
Чтобы найти производную $$y{}'$$ неявной функции $$F(x,y)=0$$, необходимо найти производные обеих частей равенства $$F(x;y)=0$$, считая, что $$x$$ - независимая переменная, а $$y$$ - зависимая от $$x$$ переменная, и из полученного уравнения выразить явно $$y{}'$$.
Запишем:
$${(5x^{2})}'-{(2xy)}'={3}'+{(2y^{2})}'$$,
$$10x-2({x}'y+x{y}')=0+4y\cdot {y}'$$,
$$10x-2(y+x{y}')=4y\cdot {y}'$$,
$$10x-2y-2x{y}'=4y{y}'$$.
Подставляя в последнее равенство значения $$x=1$$ и $$y=2$$, получим:
$$10-4-2y{}'=8y{}'$$,
$$10y{}'=6,$$
$$y{}'=0,6$$.
Правило дифференцирования:
$$\left (u\cdot v \right ){}'=u{}'v+uv{}'$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции.
Если функция имеет вид $$y=xe^{5x}$$, то значение выражения $$y{}'(0)$$ равно:
Правило дифференцирования:
$$\left (u\cdot v \right ){}'=u{}'v+uv{}'$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции.
Производные функций:
$$x{}'=1,$$
$$\left (e^{g(x)} \right ){}'=e^{g(x)} (g(x)){}'$$.
$$y{}'=x{}'\cdot e^{5x}+x\cdot (e^{5x}){}'$$, $$y{}'=1\cdot e^{5x} +x\cdot e^{5x}\cdot (5x){}'$$, $$y{}'=e^{5x} (1+5x)$$,
$$y{}'(0)=e^0(1+0)=1$$.
При $$a\neq 0$$ справедливо равенство:
$$a^0=1$$.