Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Студент
Производная функции ИТ 1
45.000

Производная функции ИТ 1

Значение производной функции $$y=\sqrt {5x ^2-2x+1}$$, в точке $$x=1$$ равно:
  1. Правила дифференцирования:
    $$(k\cdot f(x))'= k\cdot f'(x)$$, где $$k$$ - число;
    $$(u+v)'= u' + v'$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$. 
  2. Производная сложной функции:
    $$(\sqrt{g(x)})'=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$$.
  1. Найдем производную функции:
    $$y'=\frac{(5x^2-2x+1)'}{2\sqrt{5x^2-2x+1}}$$,
    $$y'=\frac{10x-2}{2\sqrt{5x^2-2x+1}}$$,
    $$y'=\frac{5x-1}{\sqrt{5x^2-2x+1}}$$. 
  2. Найдем значение производной в точке $$x=1$$:
    $$y'(1)=\frac{5-1}{\sqrt{5-2+1}}=\frac{4}{\sqrt{4}}=2$$.
Производные функций:
  1. $$a'=0$$; 
  2. $$(x^a)'= a\cdot x^{a-1}$$; 
  3. $$x'=1$$.
Введите ответ в поле

Дифференциал функции $$y=4^x+x^4$$ имеет вид:

Дифференциал функции $$y=f(x)$$ находят по формуле:

$$dy=f{}'\left ( x \right )\cdot dx$$.

  1. Найдем производную функции:
    $$y'=(4^{x})'+(x^{4})'$$,
    $$y'=4^{x}\ln 4+4x^{3}$$. 
  2. Найдем дифференциал функции:
    $$dy=(4^{x}\ln 4+4x^{3})dx$$.
    Различайте производные:
    1. степенной функции $${\left (x^{a} \right )}'=a\cdot x^{a-1}$$; 
    2. показательной функции $${\left (a^{x} \right )}'=a^{x}\cdot \ln a$$.
    Выберите один из вариантов

    Если функция имеет вид $$y=xe^{5x}$$, то значение выражения $$y{}'(0)$$ равно:

    1. Правило дифференцирования:
      $$\left (u\cdot v \right ){}'=u{}'\cdot v+u\cdot v{}'$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции.
    2. Производные функций:
      $$x{}'=1,$$
      $$\left (e^{g(x)} \right ){}'=e^{g(x)} (g(x)){}'$$.
      1. Найдем производную произведения функций:
        $$y{}'=x{}'\cdot e^{5x}+x\cdot (e^{5x}){}'$$,
        $$y{}'=1\cdot e^{5x} +x\cdot e^{5x}\cdot (5x){}'$$,
        $$y{}'=e^{5x} \cdot (1+5x)$$. 
      2. Найдем значение производной в точке $$x=0$$:
        $$f{}'(0)=e^0\cdot (1+0)=1$$.

      При $$a\neq 0$$ справедливо равенство:

      $$a^0=1$$.

      Введите ответ в поле
      Производная функции $$y=\textrm{sin}^2 4 x$$ имеет вид:
      Производные сложных функций:
      1. $$(g^n (x))′=ng^{n−1} ( x)\cdot g'(x)$$; 
      2. $$(\textrm{sin} g (x))′=\textrm{cos} g ( x )\cdot g'(x)$$.
      Найдем производную степенной функции: 
      $$y '=2\textrm{sin}^{2−1} 4 x \cdot (\textrm{sin} 4 x )′$$; 
      $$y '=2\textrm{sin} 4 x \cdot {\textrm{cos} 4 x }\cdot ( 4 x )'$$; 
      $$y =4 \cdot {2\textrm{sin} 4 x }\cdot {\textrm{cos} 4 x}$$; 
      $$y'=4\textrm{sin}8x$$.
      Формула двойного аргумента:
      $$\textrm{sin} 2 x=2\textrm{sin} x \textrm{cos} x$$.
      Выберите один из вариантов

      Производная функции $$y=4\textrm{sin}^4x-4\textrm{cos}^4x$$ имеет вид:

      1. Производная сложной функции:
        $$(\textrm{cos} g(x)){}'=-\textrm{sin}g(x)\cdot g{}'(x)$$. 
      2. Формулы тригонометрии:
        $$\textrm{cos}2x=\textrm{cos}^{2}x-\textrm{sin}^{2}x$$;
        $$\textrm{sin}^2x+\textrm{cos}^2x=1$$.
      1. Запишем функцию в виде:
        $$y=4\left (\textrm{sin}^{4}x-\textrm{cos}^{4} x\right )$$,
        $$y=4\left (\textrm{sin}^{2} x-\textrm{cos}^{2}x\right )\left (\textrm{sin}^{2}x+\textrm{cos}^{2} x\right )$$,
        $$y= -4\textrm{cos}2x$$. 
      2. Найдем производную:
        $$y{}'=-4\cdot \left (-\textrm{sin}2x \right )\cdot {\left (2x \right )}'$$,
        $$y{}'=8\textrm{sin}2x$$.

      Если не преобразовывать функцию, то необходимо применять правило:

      $$\left (g^{n}(x) \right ){}'=ng^{n-1}(x)\cdot g{}'\left (x \right )$$.

      Выберите один из вариантов
      Если $$f(x)=\textrm{ln} \sqrt{\frac{2x+5}{5-2x}}$$, то значение выражения $$0,2f{}'(0)$$ равно:
      1. Свойства логарифмов:
        $$\textrm{log}_{a}b^{n}=n \cdot \textrm{log}_{a} b$$;
        $$\textrm{log}_{a}\frac{b}{c}= \textrm{log}_{a}b-\textrm{log}_{a}c$$. 
      2. Правила дифференцирования:
        $$ (k \cdot(f(x))'=k \cdot f(x)' $$, где $$k$$ – число;
        $$(u+v)'= u' +v'$$, где $$u=f_{1}(x)$$, $$v=f_{2}(x)$$.
      3. Производные функций:
        $$a'=0$$;
        $$x'=1$$;
        $$(\textrm{ln}(g(x)))'= \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x)$$.
      1. Преобразуем функцию:

        $$f(x)=\ln\left (\frac{2x+5}{5-2x} \right )^{\frac{1}{2}}$$,
        $$f(x)=\frac{1}{2}\ln {\frac{2x+5}{5-2x}}$$,
        $$f(x)=\frac{1}{2}(\ln (2x+5)-\ln (5-2x))$$.

      2. Найдем производную суммы сложных функций:

        $$f{}'\left ( x \right )= \frac{1}{2}\left ({(\ln (2x+5))}'-{(\ln (5-2x))}' \right )$$, 
        $$f'(x)=\frac{1}{2} \left (\frac{{(2x+5)}'}{2x+5}-\frac{{(5-2x)}'}{5-2x} \right)$$,
        $$f'(x)=\frac{1}{2}\left ( \frac{2}{2x+5}-\frac{-2}{5-2x} \right )$$, 
        $$f'(x)=\frac{2}{2} \left (\frac{1}{2x+5}+\frac{-1}{2x-5} \right)$$,
        $$f'(x)=\frac{10}{25-4x^{2}}$$.

      3. Найдем значение выражения:

        $$0,2{f}'(0)$$$$=\frac{0,2\cdot10 }{25}=0,08$$.

      Натуральный логарифм числа $$b$$ записывают:

      $$\textrm{log}_{e} b$$ или $$\textrm{ln} b$$,

      где $$e$$ – иррациональное число и $$e= 2,718281828459045...$$

      Введите ответ в поле

      Если функция имеет вид $$y=\frac{\sqrt{x}+5}{2-x}$$, то значение производной этой функции в точке $$x_{0}=1$$ равно:

      1. Правило дифференцирования:

        $$\left (\frac{u}{v} \right ){}'=\frac{u{}'v-uv{}'}{v^2}$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции.

      2. Производные элементарных функций:

        $${a}'=0$$,

        $${x}'=1$$,

        $${(\sqrt{x})}'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$.

      1. Найдем производную частного функций:
        $$y{}'=\frac{\left (\sqrt{x}+5 \right ){}'(2-x)-\left ({\sqrt{x}}+5 \right )(2-x){}'}{(2-x)^2}$$,
        $$y{}'=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot (2-x)-(\sqrt{x}+5)\cdot (-1)}{(2-x)^2}$$,
        $$y{}'=\frac{\frac{2-x}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}+5}{(2-x)^2}$$,
        $$y{}'=\frac{2+x+10\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(2-x)^2}$$.
      2. Найдем значение производной в точке $$x=1$$:
        $$y{}'(1)=\frac{2+1+10}{2\cdot 1\cdot 1}=6,5$$.

      Различайте:

      1. $${\left ( \frac{u}{v} \right )}'=\frac{{u}'v-u{v}'}{v^{2}}$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции;
      2. $${\left ( \frac{u}{k} \right )}'=\frac{1}{k} \cdot {u}'$$, где $$k$$ – число;
      3. $${\left ( \frac{k}{v} \right )}'=k \cdot {\left (\frac{1}{v} \right )}'$$, где $$k$$ – число.
      Введите ответ в поле
      Значение дифференциала функции $$y=\textrm{arccos} {3x}$$ в точке $$x = 0$$ равно:
      1. Производная сложной функции:
        $$(\textrm{arccos} g (x))'=-\frac {g'(x)}{\sqrt {1-g^2(x)}}$$. 
      2. Дифференциал функции $$y= f(x)$$:
        $$dy=f'(x)\cdot dx$$.
      1. Найдем производную функции:
        $$y'=-\frac {(3x)'}{\sqrt{1-9x^2}}$$,
        $$y'=-\frac {3}{\sqrt{1-9x^2}}$$. 
      2. Найдем дифференциал функции:
        $$dy=-\frac {3dx}{\sqrt{1-9x^2}}$$. 
      3. Найдем значение дифференциала в точке $$x=0$$:
        $$dy=-\frac {3dx}{\sqrt{1-0}}$$,
        $$dy=-3dx$$.
      Дифференциал функции в точке $$x=0$$ равен приращению касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
      Выберите один из вариантов
      Значение производной функции $$y=\sqrt[3]{3-3x^2}$$ в точке $$x=-2$$ равно:
      1. Свойства степеней:
        $$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$;
        $$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$$;
        $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$. 
      2. Производная сложной функции:
        $$(g^n(x))'=n\cdot g^{n-1}(x)\cdot {g}'(x)$$.
      1. Запишем функцию в виде:
        $$y=(3-3x^2)^{\frac{1}{3}}$$. 
      2. Найдем производную функции:
        $$y'=\frac{1}{3}(3-3x^2)^{\frac{1}{3}-1}(3-3x^2)'$$;
        $$y'= \frac{1}{3}(3-3x^2)^{\frac{-2}{3}}(-6x)$$;
        $$y'=-\frac{2x}{\sqrt[3]{(3-3x^2)^2}}$$. 
      3. Найдем значение производной в точке $$x=-2$$:
        $$y'(-2)=\frac{4}{\sqrt[3]{81}}=\frac{4}{3\sqrt[3]{3}}$$.
      Правила дифференцирования:
      1. $$(k\cdot f(x))'=k \cdot f'(x)$$, где $$k$$ – число; 
      2. $$(u+v)'=u'+v'$$, где $$u= f_1 ( x )$$, $$v= f_2 ( x )$$.
      Выберите один из вариантов

      Значение производной функции $$f(x)=\frac{x^3-4+2\sqrt{x^3}+10x}{2x}$$ в точке $$x=4$$ равно:

      1.  Правила дифференцирования:
        $$ (k \cdot(f(x))'=k \cdot f(x)' $$, где $$k$$ – число;
         $$(u+v)'= u' +v'$$, где $$u=f_{1}(x)$$, $$v=f_{2}(x)$$.
      2. Производные элементарных функций:

        $$a{}'=0, \left (x^a \right ){}'=a\cdot x^{a-1},$$

        $$\left (\frac{1}{x} \right ){}'=-\frac{1}{x^2}$$,

        $$(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$.

      1. Запишем функцию в виде:

        $$f(x)=\frac{x^3}{2x}-\frac{4}{2x}+\frac{2x\sqrt{x}}{2x}+\frac{10x}{2x}$$,
        $$f(x)=\frac{x^{2}}{2}-\frac{2}{x}+\sqrt{x}+5$$        .

      2. Запишем производную суммы:

        $${f}'(x)={\left ( \frac{x^2}{2} \right )}'-{\left ( \frac{2}{x} \right )}'+{(\sqrt{x})}'+{5}'$$.

      3. Вынесем за знаки производных постоянные множители:

        $$f{}'(x)=\frac{1}{2}(x^2){}'-2\left ( \frac{1}{x} \right ){}'+(\sqrt{x}){}'+5{}'$$.

      4. Применим правила нахождения производных элементарных функций:

        $$f{}'(x)=\frac{2x^{2-1}}{2}\cdot -2 \left ( -\frac{1}{x^2} \right )+ \frac{1}{2\sqrt{x}}$$,
        $$f{}'(x)=x+\frac{2}{x^2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$$.

      5. Найдем значение производной в точке $$x=4$$:

        $${f}'(4)=4+0,125+0,25=4,375$$.

      Если бы мы не преобразовали функцию (не представили ее в виде суммы элементарных функций), то необходимо было бы применять правило:
      $$\left (\frac{u}{v} \right ){}'=\frac{u{}'v-uv{}'}{v^2}$$, где $$u$$ и $$v$$ – функции.

      Введите ответ в поле
      © Сиротина И.К., 2013—2026