Арифметические вычисления и преобразования ИТ
В результате преобразования выражения $$\frac{\sqrt[4]{14^{3}\sqrt{54}+30^{3}\sqrt{128}}}{3\sqrt[3]{2}}$$ получим:
- Определение степеней:
$$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$$;
$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$$.
- Свойства степеней:
$$\left (a^{n} \right )^{m}=a^{nm}$$;
$$\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$$;
$$a^{n}a^{m}=a^{n+m}$$.
Числа $$14$$, $$54$$, $$30$$ и $$128$$ мы разложили на простые множители:
$$14=7\cdot 2;$$
$$54=2\cdot 27=2\cdot 3^{3};$$
$$30=2\cdot 3\cdot 5;$$
$$128=2^{7}$$.
Если число $$120$$ составляет $$15$$% некоторого числа, то количество процентов, которые составляет это число от числа $$120$$, равно:
- Если $$p$$% некоторого числа равны $$a$$, то это число равно:
$$\frac{a}{p}\cdot 100$$.
- Процентное отношение чисел $$a$$ и $$b$$ равно:
$$\frac{a}{b}\cdot 100$$%.
$$\frac{120\cdot 100}{15}=\frac{40\cdot 100}{5}=800$$.
Процентные отношения чисел $$a$$ и $$b$$ и чисел $$b$$ и $$a$$ не равны.
$$20$$% от значения выражения $$\frac{-14^{-1}\cdot (-3)^{2}\cdot 63^{-1}} {-42^{-2}\cdot (-1)^{-20} }$$ равны:
- Определение степени:
$$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}};$$
- Свойство степеней:
$$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}.$$
- Процентом числа $$a$$ называют одну сотую часть этого числа:
$$1$$% от числа $$a$$ равен $$0,01a$$.
- Нахождение процентов от данного числа:
$$p%$$ от числа $$a$$ равны $$\frac{a}{100}\cdot p.$$
$$A=\frac{14^{-1}\cdot 3^{2}\cdot 63^{-1}}{42^{-2}\cdot 1^{-20}}$$,
$$A=\frac{ 42^{2}\cdot 3^{2}\cdot 1^{20}}{63^{1}\cdot 14^{1}}$$,
$$A=\frac{42^{2}\cdot 9}{63\cdot 14}=\frac{7^{2}\cdot 6^{2}}{7\cdot 14}=18$$.
2. Найдем $$20$$% от полученного числа:
$$\frac{18\cdot 20}{100}=\frac{18\cdot 2}{10}=3,6$$.
$$20$$% можно записать как $$0,2$$ и найти $$0,2$$ от числа $$18$$, так:
$$18\cdot 0,2=3,6$$.
Значение выражения $$-\frac{\sqrt{24}\cdot \sqrt{12}-3\sqrt{50}}{\sqrt{32}}$$, увеличенное на $$20$$%, равно:
- Свойство корней:
$$\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$$.
- Нахождение процентов от данного числа:
$$p$$% от числа $$a$$ равны $$\frac{a}{100}\cdot p.$$
$$120$$% можно записать как $$1,2$$ и найти $$1,2$$ от числа $$\frac{3}{4}$$, так:
$$\frac{3}{4}\cdot \frac{12}{10}=\frac{9}{10}=0,9$$.
В результате вычисления выражения $$25\cdot 0,1\cdot (-30)-25\cdot 0,01\cdot 10+25\cdot 2,5$$ получим:
- Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, необходимо сложить их модули и перед результатом поставить общий знак этих чисел.
- Чтобы сложить два числа с противоположными знаками, необходимо из большего модуля числа вычесть меньший и перед результатом поставить знак числа с большим модулем.
- Чтобы умножить (разделить) два числа с одинаковыми знаками, необходимо умножить (разделить) модули этих чисел. В результате всегда будем получать положительное число.
- Чтобы умножить (разделить) два числа с противоположными знаками, необходимо умножить (разделить) модули этих чисел и перед результатом поставить знак минус. В результате всегда будем получать отрицательное число.
- Чтобы умножить десятичные дроби, необходимо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, и в полученном произведении отделить справа столько цифр, сколько их содержится в обоих множителях вместе.
Вынесем число $$25$$ из скобок и выполним действия в скобках:
$$A=25\cdot (0,1\cdot (-30)-0,01\cdot 10+2,5)$$,
$$A=25\cdot (-3-0,1+2,5)$$,
$$A=25\cdot (-3,1+2,5)$$,
$$A=-25\cdot 0,6=-15$$.
Если результат вычисления выражения $$\left (18\frac{3}{4}-17\frac{2}{3}-\frac{5}{6}: 2,5 \right )\cdot 0,(6)$$ равен некоторому числу, то$$\frac{2}{5}$$ этого числа равны:
- Чтобы найти дробь от числа, необходимо умножить это число на дробь.
- Чтобы обратить бесконечную десятичную периодическую дробь в обыкновенную, необходимо к числу, записанному до периода прибавить обыкновенную дробь, в числитель которой записать число, входящее в период, а в знаменатель записать цифру $$9$$ столько раз, сколько цифр содержит период, и дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и периодом.
Представим периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби:
$$0,(6)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$.
Выполним действия:
1) $$18\frac{3}{4}-17\frac{2}{3}=1\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{7 \cdot 3 -2 \cdot 4}{12}=\frac{13}{12}$$;
2) $$\frac{5}{6}: \frac{25}{10}=\frac{5\cdot 10}{6\cdot 25}=\frac{1}{3}$$;
3) $$\frac{13}{12}-\frac{1}{3}=\frac{13-1\cdot 4}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$$;
4) $$\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{2}$$.
Найдем $$\frac{2}{5}$$ числа $$\frac{1}{2}$$. Получим: $$\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}=0,2$$.
Любую обыкновенную дробь можно обратить в равную ей десятичную дробь делением числителя на ее знаменатель. Возможны следующие случаи:
- если в знаменателе несократимой дроби не имеется других простых делителей, кроме чисел $$2$$ и $$5$$, то частное выразится конечной десятичной дробью:
$$\frac{23}{8}=2,875;$$
- если в знаменателе несократимой дроби имеются другие простые делители, кроме чисел $$2$$ и $$5$$, то остатки будут бесконечно повторяться и частное выразится бесконечной периодической десятичной дробью. При этом группа повторяющихся цифр образует период. Период принято записывать в круглых скобках:
$$\frac{8}{15}=0,5333...=0,5(3)$$.
Если $$\frac{3}{a}=\frac{5}{6}$$, $$\frac{-3}{5}=\frac{b}{2}$$, $$\frac{c-1}{0,1}=\frac{-4}{9}$$, $$\frac{8}{-2}=\frac{5,5}{2+d}$$, то наименьшее из чисел $$a$$, $$b$$, $$c$$ и $$d$$ равно:
- Частное от деления одного числа на другое называется их отношением.
Два равных отношения образуют пропорцию:
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$,где $$a$$ и $$d$$ - крайние, $$b$$ и $$c$$ – средние члены пропорции.
- Произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов:
$$bc=ad$$. - Правила нахождения неизвестных членов пропорции $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$:
$$a=\frac{bc}{d}$$, $$b=\frac{ad}{c}$$, $$c=\frac{ad}{b}$$, $$d=\frac{bc}{a}$$.
Решим пропорции:
1) $$a=\frac{3\cdot 6}{5}=\frac{18}{5}$$;
2) $$b=\frac{-3\cdot 2}{5}=-\frac{6}{5}=-1\frac{1}{5}$$;
3) $$c-1=\frac{-4\cdot 0,1}{9}=\frac{-4 \cdot 1}{9 \cdot 10}=-\frac{2}{45}$$,
откуда $$c=-\frac{2}{45}+1=\frac{43}{45}$$;
4) $$2+d=\frac{-2\cdot 5,5}{8}=\frac{-1 \cdot 55}{4 \cdot 10}=-\frac{11}{8}$$,
откуда $$d=-1\frac{3}{8}-2=-3\frac{3}{8}$$.
Поскольку всякое положительное число больше всякого отрицательного, то рассмотрим только отрицательные числа
$$-1\frac{1}{5}$$ и $$-3\frac{3}{8}$$.
Так как $$\left | -1\frac{1}{5} \right | = 1\frac{1}{5}$$,
а $$\left | -3\frac{3}{8} \right | = 3\frac{3}{8}$$ и $$3\frac{3}{8}>1\frac{1}{5}$$,
то $$-3\frac{3}{8}<-1\frac{1}{5}$$.
Следовательно, наименьшее из $$a, b, c$$ и $$d$$ равно $$-3\frac{3}{8}$$
или $$-3 \frac{3\cdot 125}{8\cdot 125} =-3\frac{375}{1000}=-3,375$$.
Из двух отрицательных чисел меньше то число, модуль которого (его абсолютная величина) больше.
Значение выражения $$\left (\sqrt{11-6\sqrt{2}}-\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} \right )^{6}$$ равно:
1. Формулы сокращенного умножения:
1) квадрат суммы (разности):
$$( a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$$;
2) куб суммы (разности):
$$( a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$$.
2. Свойства степеней:
1) $$\sqrt[2n]{a^{2n}}=\left | a \right |;$$
2) $$\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}} =a$$.
3. Правила раскрытия модуля:
если под знаком модуля положительная величина, то модуль просто опускаем; если под знаком модуля отрицательная величина, то модуль опускаем и меняем знак выражения, стоящего под модулем.
Как правило, куб суммы или разности, а часто и квадрат суммы или разности выделить достаточно сложно. Наиболее простой путь – метод подбора.
Значение выражения $$\frac{(-0,5)^{-3}\cdot (-1)^{11}-1,5^{2}\cdot (-2)^{2}}{(1\frac{2}{3})^{2}+(-\frac{3}{5})^{-2}}$$, уменьшенное в $$1,5$$ раза, равно:
Свойства степеней:
$$\left (\frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}};$$
$$\left (\frac{a}{b} \right )^{-n}=\left (\frac{b}{a} \right )^{n}$$.
В результате возведения отрицательного числа в четную степень всегда получаем положительное число, а в нечетную степень – отрицательное:
$$(-a)^{2n}=a^{2n};$$
$$(-a)^{2n-1}=-a^{2n-1}$$,
где $$n$$ – натуральное число.
Значение выражения $$\frac{18}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}-1}$$ равно:
- Формула разности квадратов:
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$.
- Свойство степени:
$$\left (\sqrt{a} \right )^{2}=a$$.
Выражения $$a+b$$ и $$a-b$$ называют сопряженными.