Загрузка

Линейная алгебра

Если $$A=\begin{bmatrix} 2 &1 \\ -3&5 \end{bmatrix}$$, а $$B=\begin{bmatrix} 6 &8 \\ 0&-2\end{bmatrix}$$, то определитель произведения матриц $$B$$ и $$A$$ равен:
1. Найдем произведение матриц $$A$$ и $$B$$:
$$BA=\begin{bmatrix} 6 &8 \\ 0&-2\end{bmatrix}   \cdot   \begin{bmatrix} 2 &1 \\ -3&5 \end{bmatrix} $$,
$$BA=\begin{bmatrix} 6   \cdot  2-8  \cdot  3 &6   \cdot  1 + 8 \cdot 5  \\ 0  \cdot  1 + 2  \cdot  3&0  \cdot  1 - 2 \cdot  5 \end{bmatrix} $$,
$$BA= \begin{bmatrix} -12 &46 \\6&-10\end{bmatrix} $$. 
2. Найдем определитель произведение матриц $$B$$ и $$A$$:
$$|B   \cdot A | =-12 \cdot (-10)-46 \cdot 6=-156$$.

Выберите один из вариантов
Ранг матрицы  $$\begin{bmatrix} 1& -2& 3 & 0\\ -1& 2& 4 &3 \\ 3& 5 &0 &1 \\ -2 &4&-6 & 0\end{bmatrix}$$ равен:
С помощью элементарных преобразований приведем матрицу к треугольному виду:
$$ \begin{bmatrix} 1 & -2 &3 &0  \\ -1 & -2 &4 &3 \\ 3 & 4 & 0 &1\\ -2 & 4 & -6 &0\end{bmatrix}$$,$$\begin{bmatrix} 1 & -2 &3 &0  \\ 0 & -4 &7 &3 \\ 0 & 10 & -3&1\\ 0 & 0 & 0 &0\end{bmatrix}$$,$$\begin{bmatrix} 1 & -2 &3 &0  \\ 0 & -4 &7&3\\0&0&29&17\end{bmatrix}$$.
Так как среди миноров второго порядка есть отличные от нуля, например, 
$$\begin{vmatrix} 1 & -2 &3   \\ 0 & -4 &7 \\ 0 & 0 & 29 \end{vmatrix}=1 \cdot  (-4)  \cdot 29=-116$$,

то ранг матрицы $$A$$ равен $$3$$.

Введите ответ в поле

Произведение всех значений переменных, которые образуют решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} x+2y-z=20, \\     5x+2z=15, \\ 3x-y+z=5, \end{array}\right. $$ равно:


Решим систему методом Крамера.
$$\Delta=\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1\\ 5 & 0 & 2\\ 3& -1& 1 \end{vmatrix}=12+5-10+2=9$$;
$$\Delta_x=\begin{vmatrix} 20 & 2 & -1\\ 15 & 0 & 2\\ 5& -1& 1 \end{vmatrix}=45$$;
$$\Delta_y=\begin{vmatrix} 1 & 20 & -1\\ 5 & 15 & 2\\ 3& 5& 1 \end{vmatrix} = 45$$;
$$\Delta_z=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 20\\ 5 & 0 & 15\\ 3& -1& 5 \end{vmatrix}=-45$$.
Найдем значения переменных:
$$x=\frac {45}{9}=5$$; $$y=\frac {45}{9}=5$$; $$z=\frac {-45}{9}=-5$$.
Найдем произведение всех значений переменных:  
$$5 \cdot 5 \cdot (-5) =-125$$.
Выберите один из вариантов
Если $$A=\begin{bmatrix} 2 &1 \\ -3&5 \end{bmatrix}$$, а $$B=\begin{bmatrix} 6 &8 \\ 0&-2\end{bmatrix}$$, то произведение определителей матриц $$A$$ и $$B$$ равно:
1. Найдем определители матриц:
$$|A | = 2\cdot 5-1\cdot (-3)=13$$;
$$|B | = 6\cdot (-2)-8\cdot 0=-12$$.
2. Найдем произведение определителей матриц $$A$$ и $$B$$.
$$|A | \cdot |B | = 13\cdot (-12)=-156$$.
Выберите один из вариантов
Если $$A=\begin{bmatrix} 2 &-1 & 0  \\ -3& 1 & 1 \\ 2& 0 &-1 \end{bmatrix}$$, то произведение элементов главной диагонали матрицы $$A^{-1}$$ равно:

1. Найдем определитель матрицы $$A$$:
$$|A| = -2-2+0-0-3-0=-7$$.
2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы $$A$$:
$$A_{11} = (-1)^2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 0&-1 \end{vmatrix} = -1$$,
$$A_{12 }= (-1)^3 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 1\\ 2&-1 \end{vmatrix}= -1$$,
$$A_{13}= (-1)^4 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 1\\ 2&0 \end{vmatrix} = -2$$,
$$A_{21} = (-1)^3 \cdot \begin{vmatrix} -1 &0\\ 0&-1 \end{vmatrix}= -1$$,
$$A_{22} = (-1)^4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0\\ 2&-1 \end{vmatrix} = -2$$,
$$A_{23} = (-1)^5 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1\\ 2&0 \end{vmatrix}= -2$$,
$$A_{31} = (-1)^4 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0\\ 1&1 \end{vmatrix}= -1$$,
$$A_{32} = (-1)^5 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0\\ -3&1 \end{vmatrix}= -2$$, 
 $$A_{33} = (-1)^6 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1\\ -3&1 \end{vmatrix}= -1$$.
3. Найдем матрицы обратную данной:
$$A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}\begin{bmatrix} A_{11} &A_{21} &A_{31} \\ A_{12} &A_{22} &A_{32} \\ A_{13} &A_{23} &A_{33} \end{bmatrix}$$;  $$A^{-1}=\frac{1}{7}\begin{bmatrix} 1 &1 &1 \\ 1 &2&2 \\ 2 &2 &1 \end{bmatrix}$$.
4. Найдем произведение элементов главной диагонали матрицы  $$A^{-1}$$ :
$$\frac{1}{7} $$ $$\cdot$$ $$\frac{2}{7} $$ $$\cdot$$$$\frac{1}{7} $$ = $$\frac{2}{343} $$.
Выберите один из вариантов
Квадрат суммы чисел, которые образуют решение системы уравнений 

$$\left\{\begin{array}{lr} x_1-x_2-x_3+x_4=0, \\ 2x_1-x_2+6x_4=4 , \\ 3x_1+x_2+x_3-6x_4=4, \\ 4x_1-4x_2+5x_4=12, \end{array}\right. $$   равен:
Выполним элементарные преобразования расширенной матрицы системы:
$$\begin{bmatrix}1 & -1 &-1 &1 & 0  \\ 2 & -1 &0&6 &4\\  3& 1 & 1 &-6&4\\4&-4 &0 &5 & 12  \end{bmatrix}$$,$$ \begin{bmatrix}1 & -1 &-1 &1 & 0  \\ 0 & 1 &2&4 &4\\  0& 0& 4 &25&12\\ 0 & 0 &4 & 1 & 12 \end{bmatrix}$$,
$$\begin{bmatrix}1 & -1 &-1 &1 & 0  \\ 0 & 1 &2&4 &4\\  0& 4 & 4 &-9&4\\0&0 &4 &1 & 12  \end{bmatrix}$$,$$ \begin{bmatrix}1 & -1 &-1 &1 & 0  \\ 0 & 1 &2&4 &4\\  0& 0& 4 &25&12\\ 0 & 0 &0 & 24 & 0 \end{bmatrix}$$.

Решим систему уравнений:

$$\left\{\begin{array}{lr} x_1-x_2-x_3+x_4=0,\\ x_2+2x_3+4x_4=4,\\ 4x_3+25x_4=12,\\x_4=0.\end{array}\right. $$

Получим: $$x_4=0,x_3=3,x_2=-2,x_1=1$$.

Найдем квадрат суммы полученных значений переменных:

$$(1-2+3+0)^2=4$$

Введите ответ в поле
Решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} x-y-2z=2, \\     2x-2y+z=0, \\ 3x-3y+2z=5 \end{array}\right. $$ имеет вид:
Выполним элементарные преобразования расширенной матрицы системы:
$$\begin{bmatrix} 1 & -1 &-2 &2  \\ 2 & -2 &1 &0 \\ 3 & -3 & 2 &5 \end{bmatrix}$$, $$\begin{bmatrix} 1 & -1 &-2 &2  \\ 0 & 0 &5 &-4 \\ 0 & 0 & -8 &1 \end{bmatrix}$$,$$\begin{bmatrix} 1 & -1 &-2 &2  \\ 0 & 0 &5 &-4 \\ 0 & 0 & 0 &27\end{bmatrix}$$.

Так как ранг основной матрицы системы равен $$2$$, а ранг расширенной матрицы равен $$3$$, то система несовместная. 

Выберите один из вариантов
Решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} x+2y-z=0, \\     5x+y-5z=0, \\ 3x+y-3z=0\end{array}\right. $$ имеет вид:

Выполним элементарные преобразования расширенной матрицы системы:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 &-1 &0  \\ 5 & 1 &-5 &0 \\ 3 & 1 & -3 &0 \end{bmatrix}$$, $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 &-1 &0  \\ 0 & 9 &0 &0 \\ 0 & 5 & 0 &0 \end{bmatrix}$$,$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 &-1 &0  \\ 0 & 9 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \end{bmatrix}$$.

Так как $$n=3$$, а $$r_{A}=r_{\tilde{A}}=2\neq n$$, то система cовместная неопределенная.

Найдем решения данной системы:

$$\left\{\begin{array}{lr} x-y-2z=0,\\ 9y=0. \end{array}\right. $$

Получим: $$x=a$$, $$y=0$$, $$z=a$$, где $$a\in R$$.


Выберите один из вариантов
Определитель матрицы $$A=\begin{bmatrix} 10 &4 & 2  \\ 3& 5 & 1 \\ 3& -2 &0 \end{bmatrix}$$ равен:
$$|A | = 0 + 4 \cdot 1 \cdot 3 -3 \cdot 2 \cdot2 -2 \cdot 5 \cdot3 -4 \cdot 3 \cdot 0 +1 \cdot 2 \cdot 10 =-10$$.
Выберите один из вариантов
Если $$A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 2\\ -3 & 0 & -2\end{bmatrix}$$$$,B= \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 4 & 1\\ 0 & -5 \end{bmatrix}$$,  $$C= \begin{bmatrix} -4 & 1\\ 16 & 7\end{bmatrix}$$, то сумма элементов первой строки матрицы $$2(B^T-A-3C)-3(A-2C)$$ равна:

1. Упрощая выражение $$2(B^T-A-3C)-3(A-2C)$$, получим:
$$2B^T - 2A - 6C-3A +6C= 2B^T - 5A.$$
2. Умножим матрицу $$B^T$$ на число $$2$$:
$$2B^T= \begin{bmatrix} 4 & 8 & 0\\ 6 & 2 & -10 \end{bmatrix}$$.
3. Умножим матрицу $$A$$ на число $$5$$:
$$5A= \begin{bmatrix} 15 & 5 & 10\\ -15 & 0 & -10 \end{bmatrix}$$.
4. Найдем разность матриц $$2B^T$$ и $$5A$$:
 $$2B^T - 5A =\begin{bmatrix} 4 & 8 & 0 \\ 6 & 2 & -10 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 & 5 & 10 \\ -15 & 0 & -10 \end{bmatrix}$$,
 $$2B^T -5A = \begin{bmatrix} -11 & 3 & -10 \\ 21 & 2 & 0 \end{bmatrix}$$.
5. Найдем сумму элементов первой строки матрицы $$2B^T - 5A$$:
$$-11+3-10=-18$$.
Выберите один из вариантов