Загрузка

Линейная алгебра

Если $$A=\begin{bmatrix} -1 &4 \\ 0&1 \end{bmatrix}$$, $$C=\begin{bmatrix} 4 &0 \\ 1&3 \end{bmatrix}$$, то решение уравнения $$XA=C$$ имеет вид:
1. Найдем определитель матрицы $$A$$:
$$|A|=-1\cdot 1-0\cdot 4=-1$$.
2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы $$A$$:
$$A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1\cdot 1= 1$$;
$$A_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}= -1\cdot 0=0$$;
$$A_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}= -1\cdot 4=-4$$;
$$A_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}= 1\cdot (-1)=-1$$.
3. Найдем матрицу, обратную к матрице $$A$$:
$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21}\\ A_{12}& A_{22} \end{bmatrix}$$;
$$A^{-1}=-1\cdot \begin{bmatrix} 1 & -4\\ 0& -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 4\\ 0& 1 \end{bmatrix}$$.
4. Найдем матрицу $$X$$:
$$X=C\cdot A^{-1}= \begin{bmatrix} 4 & 0\\ 1 &3 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} -1 & 4\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$,
$$X=\begin{bmatrix} 4\cdot (-1)+0\cdot 0 & 4\cdot 4+0\cdot 1\\ 1\cdot (-1)+3\cdot 0 &1\cdot 4+3\cdot 1 \end{bmatrix}$$,
$$X=\begin{bmatrix} -4 & 16\\ -1& 7 \end{bmatrix}$$.


Выберите один из вариантов
Определитель матрицы $$A=\begin{bmatrix} 1 &-2 & 3 &0 \\ -1& 2 & 4 & 3\\ 1& 2 &3 & 0\\ 0& -5& 0 & 2 \end{bmatrix}$$ равен:

Разложим определитель по элементам четвертой строки:
$$|A|=-5\cdot A_{42}+2\cdot A_{44}$$.
Найдем алгебраические дополнения:
$$A_{42}=(-1)^6\cdot M_{42}=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ -1 & 4 & 3\\ 1& 3&0 \end{vmatrix}=0$$
 (соответствующие элементы первой и третьей строки равны);
$$A_{44}=(-1)^8\cdot M_{44}=\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3\\ -1 & 2 & 4\\ 1& 2&3 \end{vmatrix}=-28$$.
Найдем определитель:
$$|A|=-5\cdot 0+2\cdot (-28)=-56$$.


Выберите один из вариантов
Система линейных уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} x+2y-z=0,\\ 5x+y-5z=0 ,\\ 3x-y-3z=0 \end{array}\right.$$ является:
Выполним элементарные преобразования расширенной матрицы системы:
$$\begin{bmatrix} 1 & 2 &-1 &0 \\ 5 & 1 &-5 &0 \\ 3 &-1 & -3 & 0 \end{bmatrix}$$, \begin{bmatrix} 1& 2& -1 & 0\\ 0& 9& 0 &0 \\ 0 & 7 & 0 &0 \end{bmatrix}$$, $$\begin{bmatrix} 1& 2& -1 & 0\\ 0& 9& 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \end{bmatrix}.
Так как число переменных системы $$n=3$$, а  $$r_{A}=r_{\tilde{A}}=2\neq n$$, то система совместная неопределенная.

Выберите несколько вариантов ответов
Сумма корней уравнения $$\begin{vmatrix} x & -1 & -3\\ x & 5 & x\\ 2& 2& 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 5 & 12\\ 1 & -6 & 4\\ 9& 9& 36 \end{vmatrix}$$ равна:

1. Вычислим определители:
$$\begin{vmatrix} x & -1 & -3\\ x & 5 & x\\ 2& 2& 1 \end{vmatrix}=-2x^2-2x+30$$;
$$\begin{vmatrix} 3 & 5 & 12\\ 1 & -6 & 4\\ 9& 9& 36 \end{vmatrix}= 4\cdot 0=0$$.
2. Решим уравнение:
$$-2x^2-2x+30=0$$ или $$x^2+x-30=0$$.
Так как $$D=121>0$$, то по теореме, обратной теореме Виета, $$x_{1}+x_{2}=-1$$.


Выберите один из вариантов
Если $$A=\begin{bmatrix} 0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}$$, то значение |$$C^2$$ | равно:

  1. $$C^2=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 0 & 1  \\ 0 & 1  \end{bmatrix}$$,
    $$C^2= \begin{bmatrix} 0\cdot 0+1\cdot 1 & 0\cdot 1+1\cdot 0\\1\cdot 0+0\cdot 1 & 1\cdot 1+0\cdot 0 \end{bmatrix}$$,

    $$C^2=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 &1  \end{bmatrix}$$.
  2. |$$C^2$$ |=$$\begin{vmatrix} 1 &0 \\ 0&1 \end{vmatrix}= 1\cdot 1-0\cdot 0=1$$.
Выберите один из вариантов
Если $$\left | A \right |$$ - определитель основной матрицы системы уравнений 
$$\left\{\begin{array}{lr} x+2y-z=0,\\ 5x+y-2z=0 ,\\ 3x-y+z=0, \end{array}\right.$$
а $$(x_{0};y_{0};z_{0})$$ – ее решение, то значение выражения  $$\frac{|A|} {x_{0}+y_{0}+z_{0}}$$ равно:
Найдем определитель основной матрицы системы:
$$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 &-1 \\ 5 & 1 &-2 \\ 3 & -1 &1 \end{vmatrix}=-15$$.
Имеем однородную систему линейных уравнений. Так как $$r_{A}=r_{\tilde{A}}=3$$, то система совместная определенная, следовательно, имеет единственное решение:
$$x_{0}=0$$, $$y_{0}=0$$, $$z_{0}=0$$.


Выберите один из вариантов
Среднее арифметическое чисел, которые образуют решение системы уравнений 
$$\left\{\begin{array}{lr} x_1+3x_2-x_3+4x_4=4, \\ 2x_1-x_2+6x_3=-8 , \\ 3x_1+x_2-6x_4=6, \\ 4x_1-4x_2+4x_4=8 \end{array}\right. $$  равно:
 Выполним элементарные преобразования расширенной матрицы системы:
$$$$\begin{pmatrix} 1 & 3 &-1 &1 &4 \\ 2 & -1 &6 &0 &-8 \\ 3 &1 & 0 & -6 &6 \\ 4& -4 &0 &1 &0 \end{pmatrix}$$, $$\begin{pmatrix} 1 & 3 &-1 &1 &4 \\ 0 & 7 &-8 &2 &16 \\ 0 &8 & -3 & 9 &6 \\ 0& 16 &-4 &3 &8\end{pmatrix}, 
\begin{pmatrix} 1 & 3 &-1 &1 &4 \\ 0 & 8 &-3 &9 &6 \\ 0 &0 & 43 & 47 &-86 \\ 0& 0 &-2 &15 &4\end{pmatrix}$$, $$\begin{pmatrix} 1 & 3 &-1 &1 &4 \\ 0 & 8 &-3 &9 &6 \\ 0 &0 & 43 & 47 &-86 \\ 0& 0 &0 &1 &0\end{pmatrix}.
Решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lr} x_1+3x_2-x_3+4x_4=4, \\ 8x_2-3x_3+9x_4=6 , \\ 43x_3-47x_4=-86, \\ 4x_4=0. \end{array}\right. $$.
Получим: $$x_4=0$$, $$x_3=-2$$, $$x_2=0$$, $$x_1=2$$.
Найдем среднее арифметическое полученных значений переменных:
$$(2+0-2+0):4=-1$$.
Введите ответ в поле
Ранг матрицы $$\begin{bmatrix} 1& 2& -4 & 8\\ 1& 2& -4 &8 \\ 0 & 1 & 0 &0 \end{bmatrix}$$ равен:
1. С помощью элементарных преобразований приведем матрицу к трапециевидному виду:
$$\begin{bmatrix} 1 & 2 &-4 &8 \\ 1 & 2 &-4 &8 \\ 0 &1 & -5 & 0 \end{bmatrix}$$, $$\begin{bmatrix} 1& 2& -4 & 8\\ 0& 0& 0 &0 \\ 0 & 1 & -5 &0 \end{bmatrix}$$, $$ \begin{bmatrix} 1& 2& -4 & 8\\  0 & 1 & -5 &0 \end{bmatrix}$$, $$\begin{bmatrix} 1& 2& -4 & 8\\  0 & 0 & 6 &8 \end{bmatrix}$$.
Так как среди миноров есть отличные от нуля, например, 
$$\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 0&0 \end{vmatrix}=12$$,
то ранг матрицы $$A$$ равен $$2$$.


Введите ответ в поле
Если $$A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 2\\ 0 &-1 & -2\end{bmatrix}$$, $$B= \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 4 \end{bmatrix}$$ и $$C= \begin{bmatrix} -1& 2 & 0\end{bmatrix}$$, то произведение $$ABC$$ равно:
1. $$AB=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1  \\ 2  \\  4  \end{bmatrix}$$,
$$AB= \begin{bmatrix} 3\cdot 1+1\cdot 2 + 2\cdot 4 \\ 0\cdot 1+(-1)\cdot 2+(-2)\cdot 4 \end{bmatrix}$$,

$$AB=\begin{bmatrix} 13\\ -10 \end{bmatrix}$$.
2. $$ABC=\begin{bmatrix} 13\\ -10  \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 &0 \end{bmatrix}=$$
$$=\begin{bmatrix} 13 & 26 & 0 \\ -10 & -20 & 0 \end{bmatrix}.$$
Выберите один из вариантов
Если $$A=\begin{bmatrix} 10 &4 & 2  \\ 3& 5 & 1 \\ 3& -2 & 0 \end{bmatrix}$$, то значение выражения |$$5M_{23}|-|2A_{23}|$$ равно:


1. Упрощая выражение |$$5M_{23}|-|2A_{23}$$|, получим:


$$5|M_{23}|-2|(-1)^5\cdot M_{23}|=5|M_{23}|-2|M_{23}|=3|M_{23}|$$. 

2. Найдем минор $$M_{23}$$:

$$M_{23}=\begin{vmatrix} 10& 4\\ 3&-2 \end{vmatrix}=10\cdot (-2)-4\cdot 3=-32$$.

3. Найдем значение выражения:

$$3 \cdot|M_{23}|=3\cdot|-32|=96$$.




Выберите один из вариантов