Загрузка

Системы координат

Если в полярной системе координат задана точка $$M(\sqrt{3};\frac{\pi}{3} )$$, то декартовы координаты точки равны:
Полярными координатам точки $$M$$ называют полярный радиус  $$\rho$$ и полярный угол $$\varphi$$.
Записывают:  $$M(\rho; \varphi)$$, где $$\rho\geq 0,  0\leq \varphi< 2\pi $$.
Декартовы координаты $$x$$ и $$y$$ точки $$M(\rho; \varphi)$$  находят по формулам:
$$x=\rho \cos \varphi $$, $$y=\rho \sin  \varphi $$.

Так как $$\rho=\sqrt{3} $$, $$\varphi =\frac{\pi }{3}$$, то
$$x=\sqrt{3} \cos \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$,
$$y=\sqrt{3} \sin  \frac{\pi }{3}=\frac{3}{2}$$.


Полярные координаты точки $$M$$ (рис. 2):
1) полярный радиус $$\rho$$ – расстояние от точки $$M$$ до полюса (точки $$O$$);
2) полярный угол $$\varphi $$ –  угол между полярной осью $$O\rho$$  и лучом $$OM$$.

Рис. 2

Выберите один из вариантов
Сумма декартовых координат точки $$M(\sqrt{2}; 0,25\pi; 5)$$, заданной в цилиндрической системе координат, равна:
Декартовы координаты $$x, y$$ и $$z$$ точки   $$M(\rho; \varphi;  z_{0})$$ находят по формулам:
$$x=\rho \cos \varphi $$, $$y=\rho \sin  \varphi $$, $$z=z_{0}$$.
Так как $$\rho =\sqrt{2}$$, $$\varphi =0,25\pi $$, $$z_{0}=5$$, то:
$$x=\sqrt{2}\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} {2}=1$$;
$$y=\sqrt{2}\sin  \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} {2}=1$$;
$$z=5$$.
Цилиндрическими координатами точки $$M$$ (рис. 3) называют числа $$\rho, \varphi$$  и $$z_{0}$$, где
$$\rho$$ и  $$\varphi$$ (полярные координаты точки $$N$$),
 $$z_{0}$$ – длина отрезка $$OP$$,
точка $$N$$ – проекция точки $$M$$ на плоскость $$xOy$$,
точка $$P$$ – проекция точки $$M$$ на плоскость $$Oz$$.

Рис. 4

Введите ответ в поле

Периметр треугольника с вершинами в точках $$A(0; 2; 3)$$, $$B(-1, -3, 5)$$  и $$C(4; 2; -3)$$   равен: 

Если известны точки  $$A(x_{1}, y_{1}, z_{1})$$ и $$B(x_{2}, y_{2}, z_{2})$$ , то длину отрезка $$AB$$ находят по формуле:
$$AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 +(y_{2}-y_{1})^2 +(z_{2}-z_{1})^2}$$.
Найдем длины сторон треугольника:
$$AB=\sqrt{(-1-0)^2 +(-3-2)^2 +(5-3)^2}=\sqrt30$$;
$$BC=\sqrt{(4+1)^2 +(2+3)^2 +(-3-5)^2}=\sqrt{114}$$;
$$AC=\sqrt{(4-0)^2 +(2-2)^2 +(-3-3)^2}=\sqrt{52}$$.
Найдем периметр треугольника:
$$P_{ABC}=\sqrt{30}+\sqrt{114}+\sqrt{52}$$.
Периметр треугольника равен сумме длин его сторон.
Выберите один из вариантов
Серединой отрезка $$AB$$, если $$A(5; 8; 1)$$ и $$B(3; 2; 5)$$, является точка с координатами:

Если точки $$A(a_{1}; a_{2}; a_{3})$$ и $$B(b_{1}; b_{2}; b_{3})$$ $$-$$ концы отрезка, а точка $$M$$ $$-$$ его середина, то точка $$M$$ будет иметь координаты:

$$M\left(\frac{a_{1}+b_{1}}{2}; \frac{a_{2}+b_{2}}{2}; \frac{a_{3}+b_{3}}{2}\right)$$.

Точка $$M$$, являющаяся серединой отрезка $$AB$$, будет иметь координаты:

$$M\left(\frac{5+3}{2}; \frac{8+2}{2}; \frac{1+5}{2}\right)$$ или $$M(4; 5; 3)$$.

Если точки $$A(a_1; a_2; a_3)$$ и $$B(b_1; b_2; b_3)$$ $$-$$ концы вектора $$\overline{AB}$$, а точка $$M$$ $$-$$ его середина, то точка $$M$$ будет иметь координаты:

$$M\left(\frac{a_1+b_1}{2}; \frac{a_2+b_2}{2}; \frac{a_3+b_3}{2}\right)$$.
Выберите один из вариантов
Длина биссектрисы $$AN$$ треугольника $$ABC$$ с вершинами в точках $$A(1; 1)$$, $$B(4; 5)$$  и  $$C(9; -5)$$ равна:
1. Биссектриса треугольника делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим его сторонам.
2. Если точки $$A(x_{1}; y_{1})$$  и  $$B(x_{2}; y_{2})$$ – концы отрезка $$AB$$, а точка$$M(x;y)$$   делит этот отрезок в отношении  $$l=\frac{AM}{MB}$$ , то координаты точки $$M$$ находят по формулам:
$$l=\frac{x_{1}+ lx_{2}}{1+l}$$,  $$l=\frac{y_{1}+ ly_{2}}{1+l}$$.
1. Найдем длины сторон $$AC$$ и $$AB$$ треугольника:
$$AC=\sqrt{(9-1)^2 +(-5-1)^2}=10$$;
$$AB=\sqrt{(4-1)^2 +(5-1)^2}=5$$.
По свойству биссектрисы треугольника (рис. 1):
$$\frac{AB}{AC}=\frac{BN}{CN}$$.
Рис. 1
Следовательно:
$$l=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{10}=0,5$$ ; $$x_{1}=4$$ , $$x_{2}=9$$, $$y_{1}=5$$, $$y_{2}=-5$$.
Найдем координаты точки $$N$$:
$$x=\frac{4+0,5\cdot9}{1+0,5}=\frac{17}{3}$$;
$$y=\frac{5-0,5\cdot5}{1+0,5}=\frac{5}{3}$$.
Найдем длину биссектрисы $$AN$$:
$$AN=\sqrt{\left ( \frac{17}{3}-1 \right )^2 +\left ( \frac{5}{3}-1 \right )^2}=\frac{1}{3}\sqrt{14^2+2^2}=\frac{10\sqrt{2}}{3}$$.


Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, который соединяет вершину треугольника и точку пересечения биссектрисы угла со стороной треугольника.
Выберите один из вариантов
В цилиндрической системе координат точка $$M(3, \sqrt{3}, -3)$$ имеет координаты:
Цилиндрические координаты $$\rho, \varphi $$  и  $$z_{0}$$ точки $$M(x; y; z)$$ находят по формулам:
$$\rho =\sqrt{x^2+y^2}$$, $$tg \varphi =\frac{y}{x}$$, $$z=z_{0}$$.
Записывают: 
 $$M(\rho; \varphi; z_{0})$$, где $$\rho\geq 0,  0\leq \varphi< 2\pi $$.
Так как $$x=3$$,  $$y=\sqrt{3}$$,   $$z=-3$$,  то:
$$\rho =\sqrt{9+3}=2\sqrt{3}$$,
$$tg\varphi =\frac{\sqrt{3}}{3}$$, откуда $$\varphi=\frac{\pi }{6}$$;
$$z_{0}=-3$$.
Цилиндрическими координатами точки $$M$$ (рис. 3) называют числа $$\rho, \varphi$$  и $$z_{0}$$, где
 $$\rho$$ и  $$\varphi$$ – полярные координаты точки $$N$$,
$$z_{0}$$ – длина отрезка $$OP$$,
точка $$N$$ – проекция точки $$M$$ на плоскость $$xOy$$,
точка $$P$$ – проекция точки $$M$$ на плоскость $$Oz$$.

Рис. 3

Выберите один из вариантов
Если точки $$A(6;-2)$$ и $$B(-1,4)$$ - концы отрезка $$AB$$, а точка  $$M(x;y)$$ делит этот отрезок в отношении $$3:5$$, считая от точки $$A$$, то сумма координат точки $$M$$ равна:
Если точки $$A(x_{1};y_{1})$$ и $$B(x_{2};y_{2})$$ – концы отрезка $$AB$$, а точка $$M(x;y)$$ делит этот отрезок в отношении  $$l=\frac{AM}{MB}$$, то координаты точки $$M$$ находят по формулам:
$$x=\frac{x_1 +lx_2}{1+l}$$, $$y=\frac{y_1 +ly_2}{1+l}$$.
Так как $$x_1=6$$, $$x_2=-1$$, $$y_1=-2$$, $$y_2=4$$, а  $$l=\frac{3}{5}=0,6$$, то:
$$x=\frac{6+0,6\cdot (-1)}{1+0,6}=\frac{27}{8}$$;
$$y=\frac{-2+0,6\cdot 4}{1+0,6}=\frac{1}{4}$$.
Тогда, $$\frac{27}{8}+ \frac{1}{4}=\frac{29}{8}$$.
Если точки $$A(x_{1};y_{1})$$ и $$B(x_{2};y_{2})$$ – концы отрезка $$AB$$, а точка $$M(x;y)$$ делит этот отрезок в отношении  $$l=\frac{BM}{MA}$$, то координаты точки $$M$$ находят по формулам:
$$x=\frac{x_2 +lx_1}{1+l}$$, $$y=\frac{y_2 +ly_1}{1+l}$$.
Выберите один из вариантов
Произведение декартовых координат точки $$M(\sqrt{3}; \frac{5\pi }{6}; 0)$$, заданной в сферической системе координат, равно:
Сферическими координатами точки $$M$$ (Рис. 5) называют числа $$r, \theta $$ и $$\varphi $$, где 
$$r$$ – длина отрезка $$OM$$,
$$\theta $$ – угол между отрезком $$OM$$ и осью $$Oz$$,
$$\varphi $$ – угол, на который необходимо повернуть ось $$Ox$$ против часовой стрелки (со стороны положительного направления оси $$Oz$$, чтобы она совпала с лучом  $$ON$$).
Записывают:
$$M(r; \theta ;\varphi )$$, где $$r\geq 0$$, $$0\leq \theta \leq \pi $$, $$0\leq \varphi < 2\pi $$.
Декартовы координаты  $$x,y$$ и $$z$$ находят по формулам:
$$x=r\sin\theta  \cos \varphi  $$, $$y=r\sin\theta  \sin  \varphi  $$, $$z=r\cos \theta $$.

Рис. 5

Так как $$r=\sqrt{3}$$, $$\theta =\frac{5\pi }{6}$$, $$\varphi =0$$, то:
$$x=\sqrt{3}\sin \frac{5\pi}{6}\cos 0=\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
$$y=\sqrt{3}\sin \frac{5\pi}{6}\sin  0=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0= 0$$;
$$z=\sqrt{3} \cos \frac{5\pi}{6}= -\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}  = -\frac{3}{2}$$.
$$\sin \frac{5\pi}{6}=\sin \left ( \pi -\frac{\pi}{6} \right )=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$$;
$$\cos \frac{5\pi}{6}=\cos \left ( \pi -\frac{\pi}{6} \right )=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$.
Введите ответ в поле
Квадрат длины медианы $$BM$$ треугольника $$ABC$$ с вершинами в точках $$A(1;2)$$, $$B(-1;3)$$ и $$C(5;2)$$ равен:
Если известны точки $$A(x_1; y_1)$$ и $$B(x_2; y_2)$$ , то квадрат длины отрезка $$AB$$ находят по формуле:
$$AB^2=(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$$.
1. Найдем середину стороны $$AC$$:
$$M\left ( \frac{1+5}{2}; \frac{2+2}{5} \right )$$, $$M(3;2)$$.
2. Найдем квадрат длины отрезка $$BM$$:
$$BM^2=(3+1)^{2}+(2-3)^{2}=17$$.

Медианой треугольника называют отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Выберите один из вариантов
В полярной системе координат точка $$M(1; -1)$$ имеет координаты:
Полярные координаты точки $$M$$ находят по формулам:
$$\rho =\sqrt{x^2+y^2}$$, $$tg \varphi =\frac{y}{x}$$, 
где $$\rho\geq 0,  0\leq \varphi< 2\pi $$.

Так как $$x=1$$, а  $$y=\sqrt{3}$$, то
$$\rho =\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$,
$$tg\varphi =\frac{-1}{1}=-1$$.
Так как $$0\leq \varphi< 2\pi $$, а в декартовой системе  координат точка $$M(1; -1)$$  расположена в четвертой четверти координатной плоскости, то 
$$\varphi =2\pi -arctg1 = \frac{7\pi }{4}$$.
Выберите один из вариантов