Векторы: основные понятия ИТ
Даны векторы:
$$\bar{a}(3;-2;1)$$, $$\bar{b}(-3;-2;-1)$$, $$\bar{c}(3;2;1)$$, $$\bar{d}(-3;2;-1)$$, $$\bar{l}(-6;4;-2)$$, $$\bar{m}(6;-4;2)$$.
Противоположными являются векторы:
Векторы, имеющие равные длины и противоположно направленные, называют противоположными.
- Векторы $$\bar{a}(3;-2;1)$$ и $$\bar{d}(-3;2;-1)$$ противоположные, так как:
$$\left | \bar{a} \right |=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14} $$, $$\left | \bar{d} \right |=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14} $$,
$$\frac{3}{-3}=\frac{-2}{2}=\frac{1}{-1}=-1 $$. - Векторы $$\bar{b}(-3;-2;-1)$$ и $$\bar{c}(3;2;1)$$ противоположные, так как:
$$\left | \bar{b} \right |=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14} $$, $$\left | \bar{c} \right |=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14} $$,
$$\frac{-3}{3}=\frac{-2}{2}=\frac{-1}{1}=-1 $$. - Векторы $$\bar{l}(-6;4;-2)$$ и $$\bar{m}(6;-4;2)$$ противоположные, так как:
$$\left | \bar{l} \right |=\sqrt{36+16+4}=\sqrt{56} $$, $$\left | \bar{m} \right |=\sqrt{36+16+4}=\sqrt{56} $$,
$$\frac{-6}{6}=\frac{4}{-4}=\frac{-2}{2}=-1 $$.
- Вектор, противоположный вектору $$\overline{AB}$$, записывают: $$ - \overline{AB}$$ или $$\overline{BA}$$.
- Вектор, противоположный вектору $$\bar{a}$$, записывают: $$ - \bar{a}$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Если известны векторы $$\bar{a}(3;2;-1)$$ и $$\bar{b}(-1;4;0)$$, то разложение вектора $$\bar{c} = 2\bar{a} - 4\bar{b}$$ по ортам имеет вид:
- Чтобы умножить вектор на число, необходимо каждую координату вектора умножить на это число.
- Чтобы сложить векторы, необходимо сложить их соответствующие координаты.
- Любой вектор $$\bar{b}$$ пространства $$\textrm{R}^3$$ можно разложить по ортам $$ \bar{i}(1;0;0)$$, $$\bar{j}(0;1;0)$$, $$\bar{k}(0;0;1)$$:
$$\bar{b}=x\bar{i}+ y\bar{j}+ z\bar{k}$$, где $$x$$, $$y$$ и $$z$$ - координаты вектора $$\bar{b}$$,
$$|\bar{i}|=|\bar{j}|=|\bar{k}|=1$$, $$\bar{i}\perp\bar{j}\perp\bar{k}$$.
- Найдем координаты вектора $$ \bar{c}$$:
$$\bar{c}= 2 \cdot ( 3; 2; - 1 ) - 4 \cdot ( -1 ;4 ;0 )$$, $$\bar{c}= ( 6; 4; - 2) - ( - 4; 16; 0)$$, $$\bar{c}( 10; - 12; - 2)$$. - Запишем разложение вектора $$\bar{c}$$ по ортам:
$$\bar{c}= 10 \bar{i} - 12 \bar{j} -2 \bar{k}$$.
Любой вектор $$\bar{b}$$ пространства $$\textrm{R}^2$$ можно разложить по ортам $$\bar{i}(1;0)$$ и $$\bar{j}(0;1)$$:
- $$\bar{b} = x\bar{i} + y\bar{j}$$,
Выберите несколько вариантов ответов
Если известны точки $$C(8; -2; 1)$$ и $$D(5; -2; -5)$$, то сумма координат вектора $$\overline{DC}$$ равна:
Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала.
Так как точка $$C(8; -2; 1)$$ - конец вектора, а точка $$D(5; -2; -5)$$ - его начало, то
- $$\overline{DC}( 8 - 5; -2 +2; 1 + 5)$$,
$$\overline{DC}( 3; 0; 6)$$.
Векторы $$\overline{DC}(3;0;6)$$ и $$\overline{CD}(-3;0;-6)$$ - противоположные.
Введите ответ в поле
Модуль суммы векторов $$\bar{a}=-12 \bar{j}+2 \bar{k}$$, $$\bar{b}=2\bar{k} + 5\bar{i} - \bar{j}$$ и $$\bar{c}= \bar{j} - 10\bar{i} - \bar{k}$$ равен:
Длину вектора (модуль вектора) $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3} )$$ находят по формуле:
- $$|\bar{a}|=\sqrt{a_{1}^2 + a_{2}^2 + a_{3}^2 }$$.
- Найдем сумму данных векторов:
$$ \bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = - 5\bar{i} - 12\bar{j} + 3\bar{k} = \bar{d}$$. - Найдем длину вектора $$\bar{d}$$:
$$ | \bar{d}| = \sqrt{25 + 144 + 9} = \sqrt{178}$$.
Векторы $$\bar{a}$$, $$\bar{b}$$ и $$\bar{c}$$ необходимо было записать в виде:
- $$\bar{a} = 0 \cdot \bar{i} - 12 \bar{j} + 2 \bar{k}$$,
$$\bar{b} = 5 \bar{i} - \bar{j} + 2 \bar{k}$$,
$$\bar{c} = - 10 \bar{i} + \bar{j} - \bar{k}$$.
Выберите один из вариантов
Длина вектора $$\overline{BC}$$, если $$B(1;4;0)$$, а $$C(3;5;1)$$, равна:
Если известны координаты точек $$A(x_{1}; y_{1}; z_{1})$$ и $$B(x_{2}; y_{2}; z_{2})$$, то длину вектора $$\overline{AB}$$ находят по формуле:
- $$\left | \overline{AB} \right |=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$.
Найдем длину вектора $$\overline{BC}$$:
- $$\left | \overline{BC} \right |=\sqrt{(3-1)^2+(5-4)^2+(1-0)^2}=\sqrt{6}$$.
Если известны координаты точек $$A(x_{1}; y_{1}; z_{1})$$ и $$B(x_{2}; y_{2}; z_{2})$$, то длину отрезка $$AB$$ находят по формуле:
- $$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$.
Выберите один из вариантов
Разложение вектора $$\bar{d}(0; -6; 5)$$ по векторам $$\bar{a}(3; -2; 1)$$, $$\bar{b}(-1; 1; 0)$$ и $$\bar{c}(2; 1; -3)$$ имеет вид:
- Если векторы $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3} )$$, $$\bar{b}(b_{1}; b_{2}; b_{3} )$$ и $$\bar{c}(с_{1}; с_{2}; с_{3} )$$ образуют базис, то определитель, составленный из координат этих векторов, не равен нулю:
$$\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1}\\ a_{2} & b_{2} & c_{2}\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}$$$$\neq0$$. - Любой вектор $$\bar{d}(d_{1}; d_{2}; d_{3} )$$ можно разложить по базису $$\bar{a}$$, $$\bar{b}$$ и $$\bar{c}$$:
$$\bar{d}=\alpha_{1}\bar{a} + \alpha_{2}\bar{b} + \alpha_{3}\bar{c}$$. - Чтобы найти коэффициенты разложения вектора по базису, необходимо решить систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lr} a_1\alpha_1+b_1\alpha_2+c_1\alpha_3=d_1, \\ a_2\alpha_1+b_2\alpha_2+c_2\alpha_3=d_2 , \\ a_3\alpha_1+b_3\alpha_2+c_3\alpha_3=d_3.\end{array}\right. $$
- Убедимся в том, что векторы $$\bar{a}$$, $$\bar{b}$$ и $$\bar{c}$$ образуют базис:
$$\Delta=\begin{vmatrix} 3 & -1 & 2\\ -2 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -3 \end{vmatrix} = -6 \neq 0$$. - Составим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lr} 3\alpha_1 - \alpha_2 + 2\alpha_3= 0, \\ -2\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3= -6 , \\ \alpha_1 - 3\alpha_3= 5.\end{array}\right. $$ - Решение системы уравнений найдем по формулам Крамера:
$$\alpha_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}$$; $$\alpha_{2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}$$; $$\alpha_{3}=\frac{\Delta_{3}}{\Delta}$$. - Найдем определители:
1) $$\Delta_{1}=\begin{vmatrix} 0 & -1 & 2\\ -6 & 1 & 1\\ 5 & 0 & -3 \end{vmatrix}$$, $$\Delta_{1} = -5 - 10 + 18 = 3$$;
2) $$\Delta_{2}=\begin{vmatrix} 3 & 0 & 2\\ -2 & -6 & 1\\ 1 & 5 & -3 \end{vmatrix}$$, $$\Delta_{2} = 54 - 20 + 12 - 15 = 31$$;
3) $$\Delta_{3}=\begin{vmatrix} 3 & -1 & 0\\ -2 & 1 & -6\\ 1 & 0 & 5 \end{vmatrix}$$, $$\Delta_{3} = 15 + 6 - 10 = 11$$. - Получим решение системы уравнений (коэффициенты разложения вектора $$\bar{d}$$ по базису $$\bar{a}$$, $$\bar{b}$$ и $$\bar{c}$$):
$$\alpha_{1} = -\frac{1}{2}$$; $$\alpha_{2} = -\frac{31}{6}$$; $$\alpha_{3} = -\frac{11}{6}$$.
- Линейной комбинацией системы $$n$$-мерных векторов называют выражение вида:
$${\alpha_{1}\bar{a}_{1}} + {\alpha_{2}\bar{a}_{2}} + ... + {\alpha_{m}\bar{a}_{m}} = \bar{b}$$,
где $$\sum_{i=1}^{m}\alpha_{i}^{2} \neq 0$$. - Если $$\bar{b} = 0$$, то система векторов линейно зависимая.
- Если $$\bar{b} \neq 0$$, то система векторов линейно независимая.
- Базисом системы векторов называют такую ее подсистему, векторы которой линейно независимы, а любой другой вектор системы является их линейной комбинацией.
Выберите один из вариантов
Если известны векторы $$\bar{a}(3;-2)$$ и $$\bar{b}(-1;4)$$, то модуль суммы координат векторов $$4\bar{a}$$ и $$-4\bar{b}$$ равен:
Чтобы умножить вектор на число, необходимо каждую координату вектора умножить на это число.
- Найдем координаты векторов $$4\bar{a}$$ и $$-4\bar{b}$$:
1) $$4\bar{a}( 3 \cdot 4; - 2 \cdot 4)$$, $$4\bar{a}( 12; - 8)$$;
2) $$ - 4\bar{b}(- 1 \cdot (- 4); 4 \cdot (-4))$$, $$-4\bar{b}(4; -16)$$. - Найдем модуль суммы координат векторов $$4\bar{a}$$ и $$-4\bar{b}$$:
$$|12-8+4-16|=8$$.
- Если $$k>0$$, то векторы $$\bar{a}$$ и $$k\bar{a}$$ сонаправленные: $$ \bar{a} \uparrow\uparrow k \bar{a}$$.
- Если $$k<0$$, то векторы $$\bar{a}$$ и $$k\bar{a}$$ противоположно направленные: $$ \bar{a} \uparrow\downarrow k \bar{a}$$.
Введите ответ в поле
Длина вектора $$\bar{b}(5;4;7)$$ равна:
Если известны координаты вектора $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3})$$, то длину вектора $$\bar{a}$$ находят по формуле:
- $$\left | \bar{a} \right |=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$$.
Найдем длину вектора $$\bar{b}(5;4;7)$$:
- $$\left | \bar{b} \right |=\sqrt{25+16+49}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$$.
Длину вектора $$\overline{AB}$$ записывают $$\left | \overline{AB} \right |$$ и читают: модуль вектора или длина вектора $$\overline{AB}$$.
Выберите один из вариантов
Коллинеарными являются векторы $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3} )$$ и $$\bar{b}(b_{1}; b_{2}; b_{3} )$$:
Векторы $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3})$$ и $$\bar{b}(b_{1}; b_{2}; b_{3})$$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны:
- $$\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{3}}{b_{3}}=k$$.
- Векторы $$\bar{a}(-1;-1;2)$$ и $$\bar{b}(1;2;3)$$ не коллинеарные, так как $$\frac{-1}{1}\neq \frac{-1}{2}\neq \frac{2}{3}$$.
- Векторы $$\bar{a}(1;4;3)$$ и $$\bar{b}(0;1;2)$$ не коллинеарные, так как $$\frac{0}{1}\neq \frac{1}{4}\neq \frac{2}{3}$$.
- Векторы $$\bar{a}(2;-4;0)$$ и $$\bar{b}(4;3;-2)$$ не коллинеарные, так как $$\frac{2}{4}\neq \frac{-4}{3}\neq \frac{0}{-2}$$.
- Векторы $$\bar{a}(1;4;3)$$ и $$\bar{b}(4;-1;-3)$$ не коллинеарные, так как $$\frac{1}{4}\neq \frac{4}{-1}\neq \frac{3}{-3}$$.
- Векторы $$\bar{a}(1;4;-2)$$ и $$\bar{b}(2;8;-4)$$ коллинеарные, так как $$\frac{1}{2}= \frac{4}{8}=\frac{-2}{-4}$$.
Коллинеарными называют векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой).
Выберите один из вариантов
Если векторы $$\bar{a}(1; 3; 3), \bar{b}(2; 2; 0)$$ и $$\bar{c}(x; 5; x)$$ компланарны, то значение переменной $$x$$ равно:
Векторы $$\bar{a} \left (a_{1}, a_{2}, a_{3} \right )$$, $$\bar{b} \left (b_{1}, b_{2}, b_{3} \right )$$ и $$\bar{c} \left (c_{1}, c_{2}, c_{3} \right )$$ компланарные, если определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю:
- $$\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1}\\ a_{2} & b_{2} & c_{2}\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}=0$$.
Составим определитель из координат данных векторов и решим уравнение:
- $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & x\\ 3 & 2 & 5\\ 3 & 0 & x \end{vmatrix}=0$$,
$$2x+30+0-6x-6x-0=0$$, $$10x=30$$, $$x=3$$.
Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называют компланарными.
Введите ответ в поле