Загрузка

Умножение векторов

Если векторы $$\bar{a}(5;-4;1)$$ и $$\bar{b}(1;n;-5)$$ перпендикулярны, то значение $$n$$ равно:
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. 

Найдем скалярное произведение данных векторов:

$$\bar{a}\cdot \bar{b}=5-4n-5=-4n$$ . 

Решим уравнение:

$$\bar{a}\cdot \bar{b}=0$$ , откуда $$n=0$$.

Скалярное произведение векторов $$\bar{a} \left (a_{1}, a_{2}, a_{3} \right )$$ и $$\bar{b} \left (b_{1}, b_{2}, b_{3} \right )$$ находят по формуле: 

$$\bar{a}\cdot \bar{b}= a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}$$.
Введите ответ в поле
Внутренний угол $$A$$ треугольника $$ABC$$ с вершинами в точках $$A(-2;1), B(2;1)$$ и $$C(0;4)$$ равен:

Угол между векторами $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$ находят по формуле:

$$cos \alpha =\frac{\bar{a}\cdot \bar{b}}{\left | \bar{a} \right |\cdot \left | \bar{b} \right |}$$.
1. Найдем координаты векторов $$\overline{AB}$$ и $$\overline{AC}$$:
$$\overline{AB}(4;0)$$, $$\overline{AC}(2;3)$$.
2. Найдем длины векторов $$\overline{AB}$$ и $$\overline{AC}$$:
$$\left | \overline{AB} \right |=\sqrt{16+0}=4$$;
$$\left | \overline{AB} \right |=\sqrt{4+9}= \sqrt{13}$$.
3. Найдем скалярное произведение векторов $$\overline{AB}$$ и $$\overline{AC}$$:
$$ \overline{AB}\cdot \overline{AC}=4\cdot 2+ 0\cdot 3 = 8$$.
4. Найдем угол между векторами  $$\overline{AB}$$ и $$\overline{AC}$$:
$$cos \alpha =\frac{8}{4\cdot \sqrt{13}}$$;
$$\alpha$$ = $$arccos\frac{2}{\sqrt{13}}$$.

1. Скалярное произведение векторов $$\bar{a}(a_{1}; a_{2})$$ и $$\bar{b}(b_{1}; b_{2})$$ находят по формуле: 

$$\bar{a}\cdot \bar{b}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}$$.

2. Длину вектора $$\bar{a}(a_1; a_2)$$ находят по формуле:

$$\left | \bar{a} \right | = \sqrt{{a_{1}}^2+{a_{2}}^2}$$.

Выберите один из вариантов
Объем параллелепипеда, построенного на векторах $$\bar{a}(2; 3; -1)$$$$\bar{b}(1; 4; 2)$$ и $$\bar{c}(1; -2; 0)$$, равен:

Объем параллелепипеда, построенного на векторах $$\bar{a}, \bar{b}$$ и $$\bar{c}$$ , находят по формуле:

$$V= |(\bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} ) |$$.
1. Найдем смешанное произведение данных векторов:
$$\left(\bar{c},\bar{a}\times\bar{b}\right)$$$$=\begin{vmatrix} 2&3&-1\\1&4&2\\1&-2&0\end{vmatrix}$$,
$$\left(\bar{c},\bar{a}\times\bar{b}\right)$$$$=0+6+2+4-0+8=20$$.
2. Получим: $$V=20$$.
Смешанное произведение векторов $$\bar{a}, \bar{b}$$ и $$\bar{c}$$ находят по формуле: 

$$\left (\bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} \right )$$$$=\begin{vmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$. 
Введите ответ в поле
Площадь треугольника с вершинами в точках $$A(1; 2; 3)$$$$B(3; 1; 4)$$ и $$C(2; 3; 4)$$ равна:

Площадь треугольника, построенного на векторах $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$ , находят по формуле:

$$S=\frac{1}{2} \left |\bar{a}\times \bar{b} \right |$$.

Векторное произведение векторов $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$ находят по формуле:

$$\bar{d}=\bar{a}\times \bar{b}=\begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{vmatrix}$$.

1.Найдем координаты векторов $$\bar{a}=\overline{AB}$$ и $$\bar{b}=\overline{AC}$$: 
$$\bar{a}(2; -1; 1)$$; $$\bar{b}(1; 1; 1)$$.
2.Найдем векторное произведение векторов $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$: 
$$\bar{d}=\begin{vmatrix}\bar{i}&\bar{j}&\bar{k}\\2&-1&1\\1&1&1\end{vmatrix}$$,
$$\bar{d}=-\bar{i}+\bar{j}+\bar{2k}+\bar{k}-\bar{2j}-\bar{i}$$,
$$\bar{d}=-\bar{2i}-\bar{j}+\bar{3k}$$.
3. Запишем координаты вектора $$\bar{d}$$:
$$\bar{d}\left(-2;-1;3\right)$$.
4. Найдем модуль вектора $$\bar{d}$$:
$$\left|\bar{d}\right|=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}$$.
5. Найдем площадь треугольника:
$$S=0,5\sqrt{14}$$.
Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала.
Выберите один из вариантов
Проекция вектора $$\bar{a}(-1;0;9)$$ на вектор $$\bar{b}(-3;4;1)$$ равна:

Проекцией вектора $$\bar{a}$$ на вектор $$\bar{b}$$ называют длину отрезка, концами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора $$\bar{a}$$ на вектор $$\bar{b}$$.
Проекцию вектора $$\bar{a}$$ на вектор $$\bar{b}$$ находят по формуле:
$$пр_{\bar{b} } \bar{a}$$=$$\frac{\bar{a}\cdot \bar{b}}{|\bar{b}|}$$.

1. Найдем скалярное произведение векторов $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$:
$$ \bar{a}\cdot \bar{b}=-1\cdot (-3)+ 0\cdot 4 + 9 = 12$$.
2. Найдем длину вектора $$\bar{b}$$ :
$$\left | \bar{b} \right |=\sqrt{9+16+1}=\sqrt{26}$$.
3. Найдем проекцию вектора $$\bar{a}$$ на вектор $$\bar{b}$$:
$$пр_{\bar{b} } \bar{a}$$=$$\frac{12} {\sqrt{26}}$$.
Проекцию вектора $$\bar{b}$$ на вектор $$\bar{a}$$ находят по формуле:
$$пр_{\bar{a} } \bar{b}$$=$$\frac{\bar{a}\cdot \bar{b}}{|\bar{a}|}$$.
Выберите один из вариантов
Косинус угла между векторами $$\bar{a}(5; 1; -2)$$ и $$\bar{b}(2; 1; 0)$$ равен:

Угол между векторами $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$ находят по формуле:

$$cos \alpha =\frac{\bar{a}\cdot \bar{b}}{\left | \bar{a} \right |\cdot \left | \bar{b} \right |}$$.
$$cos\alpha=\frac{5\cdot 2+1\cdot 1-2\cdot 0}{\sqrt{25+1+4}\cdot\sqrt{4+1+0}}$$=$$\frac{11}{5\sqrt{6}}$$

1. Скалярное произведение векторов $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3})$$ и $$\bar{b}(b_{1}; b_{2}; b_{3})$$ находят по формуле: 

$$\bar{a}\cdot \bar{b}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}$$.

2. Длину вектора $$\bar{a}(a_1; a_2; a_3)$$ находят по формуле:

$$\left | \bar{a} \right | = \sqrt{{a_{1}}^2+{a_{2}}^2+{a_{3}}^2}$$.

Выберите один из вариантов
Векторное произведение векторов $$\bar{a}(0; -3; 5)$$ и $$\bar{b}(0; 0; 2 )$$ равно:

Векторное произведение векторов $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3})$$ и $$\bar{b}(b_{1}; b_{2}; b_{3})$$ находят по формуле: 

$$\bar{d}=\bar{a}\times \bar{b}=\begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{vmatrix}$$, 

где векторы $$\bar{i}$$, $$\bar{j}$$ и $$\bar{k}$$ — орты.



$$\bar{a}\times \bar{b}=\begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ 0 & -3 & 5\\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}=-6\bar{i}$$.
Векторным произведением неколлинеарных векторов $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3})$$ и $$\bar{b}(b_{1}; b_{2}; b_{3})$$ называют $$\bar{d}$$, который перпендикулярен как вектору $$\bar{a}$$, так вектору $$\bar{b}$$.
Выберите один из вариантов
Если известны точки $$A(-1; 4; 0)$$$$B(-1; 8; 5)$$, $$C(0; 0; 0)$$, $$D(0;3;1)$$, то высота $$CH$$ пирамиды $$ABCD$$ равна:

1. Площадь треугольника, построенного на векторах $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$ , находят по формуле:

$$S=\frac{1}{2} \left |\bar{a}\times \bar{b} \right |$$.

2. Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах $$\bar{a}, \bar{b}$$ и $$\bar{c}$$ , находят по формуле:

$$V= \frac{1}{6}|(\bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} ) |$$.


Так как объем пирамиды находят по формуле 
     $$V= \frac{1}{3}S_{ABD}  \cdot  h$$ (рис. 1), то $$h=\frac{3V}{S_{ABD}}$$.

1. Найдем координаты векторов, на которых построена пирамида:
$$\bar{a}=\overline{AB}(0;4;5)$$;
$$\bar{b}=\overline{AD}(1;-1;1)$$;
$$\bar{c}=\overline{AC}(1;-4;0)$$;
2. Найдем векторное произведение векторов $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$ :
$$\bar{a}\times \bar{b}$$=$$\begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ 0 & 4& 5\\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$=$$4\bar{i}+5\bar{j}-4\bar{k}+5\bar{i}$$ = $$9\bar{i}+5\bar{j}-4\bar{k}$$.
3. Найдем площадь треугольника $$ABD$$:
$$S_{ABD}=\frac{1}{2} \left |\bar{a}\times \bar{b} \right |$$=$$ \frac{1}{2} \sqrt{9^2+5^2+4^2}$$=$$\frac{1}{2} \sqrt{122}$$.
4. Найдем смешанное произведение векторов  $$\bar{a}, \bar{b}$$ и $$\bar{c}$$:
$$\left (\bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} \right )$$$$=\begin{vmatrix} 1 & -4 & 0 \\ 0 & 4 & 5\\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}=4-20+5=-11$$.
5. Найдем объем пирамиды:
$$V=\frac{|-11|}{6}=\frac{11}{6}$$.
6. Найдем высоту пирамиды:
$$h=\frac{3\cdot 11\cdot 2}{6\sqrt{122}}=\frac{11}{\sqrt{122}}$$.

Рис. 1

Различайте модуль числа и модуль вектора:
1) если $$a=-2$$, то $$|a|=|-2|=2$$;
2) если $$\bar{a}(-2;-1;1)$$, то $$\left | \bar{a} \right | = \sqrt{4+1+1}=\sqrt {6}$$.
Выберите один из вариантов
Скалярное произведение векторов $$\bar{a}=5\bar{i}+\bar{j}+4\bar{k}$$ и $$\bar{b}=\bar{j}-2\bar{i}+3\bar{k}$$ равно:

Скалярным произведением векторов $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3})$$ и $$\bar{b}(b_{1}; b_{2}; b_{3})$$ называют число, которое находят по формуле:

$$\bar{a}\cdot \bar{b}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}$$.

Запишем координаты данных векторов:

$$\bar{a}(5; 1; 4), \bar{b}(-2; 1; 3)$$.

Тогда, $$\bar{a}\cdot \bar{b}=-10+1+12=3$$.

Любой вектор $$\bar{b}$$ трехмерного пространства можно разложить по ортам:

$$\bar{b}=x\bar{i}+y\bar{j}+z\bar{k}$$

Говорят, что $$x$$$$y$$ и $$z$$ – координаты вектора $$\bar{b}$$ и записывают:

$$\bar{b}(x; y; z)$$.

Выберите один из вариантов
Смешанное произведение векторов  $$\bar{a}(0;-3;5)$$, $$\bar{b}(0;2;2)$$ и $$\bar{c}(1;5;1)$$ равно:

Смешанное произведение векторов $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3})$$$$\bar{b}(b_{1}; b_{2}; b_{3})$$ и $$\bar{c}(c_{1}; c_{2}; c_{3})$$ находят по формуле: 

$$\left (\bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} \right )$$$$=\begin{vmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$. 

$$\left (\bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} \right )$$$$=\begin{vmatrix} 1 & 5 & 1 \\ 0 & -3 & 5\\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix}=-6-10=-16$$. 
Смешанным произведением векторов $$\bar{a}$$, $$\bar{b}$$ и $$\bar{с}$$ называют число, которое получено в результате скалярного умножения вектора $$\bar{с}$$ на векторное произведение векторов $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$.
Введите ответ в поле