Загрузка

Векторная алгебра

Даны векторы $$\bar{a}(-1; -3; 4)$$, $$\bar{b}(\alpha; 8; \beta)$$, $$\bar{c}(2; 1; -3)$$. Если вектор $$\bar{b}$$ перпендикулярен вектору $$\bar{d}=\bar{a}+\bar{c}$$, то удвоенная сумма значений $$\alpha$$ и $$\beta$$ равна:

Найдем вектор $$\bar{d}$$:
$$\bar{d}(1; -2; 1)$$.
Векторы $$\bar{b}$$ и $$\bar{d}$$ перпендикулярны, если:
$$\bar{b} \cdot \bar{d}=0$$.
Тогда $$\alpha-8+\beta=0$$, откуда $$2(\alpha+\beta)=16$$.
Введите ответ в поле
Даны векторы: $$\bar{a}(3;0;-4)$$, $$\bar{b}(2;2;-1)$$, $$\bar{c}(-4;0;3)$$, $$\bar{d}(6;6;-3)$$.
Образуют базис векторы:
Образуют базис векторы:
1) $$\bar{a}(3;0;-4)$$, $$\bar{b}(2;2;-1)$$ и $$\bar{c}(-4;0;3)$$, так как
$$\begin{vmatrix} 3 & 0 & -4 \\ 2 & 2 & -1 \\ -4 & 0 & 3 \end{vmatrix}=18-32=-14 \neq 0$$;
2) $$\bar{a}(3;0;-4)$$, $$\bar{d}(6;6;-3)$$ и $$\bar{c}(-4;0;3)$$, так как
$$\begin{vmatrix} 3 & 0 & -4 \\ 6 & 6 & -3 \\ -4 & 0 & 3 \end{vmatrix}=3 \cdot (-14)=-42 \neq 0$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Сумма проекций ребра $$AD$$ на ребра $$BD$$ и $$CD$$ пирамиды с вершинами в точках $$A(1;3;-2)$$, $$B(3;1;0)$$, $$C(3;1;-1)$$, $$D(2;-3;1)$$ равна:

1. Найдем координаты векторов $$\overline{DA}$$, $$\overline{DB}$$ и $$\overline{DC}$$ (рис. 2):
$$\overline{DA}(-1;6;-3)$$; $$\overline{DB}(1;4;-1)$$; $$\overline{DC}(1;4;-2)$$. 

    Рис. 2


2. Найдем длины векторов $$\overline{DB}$$ и  $$\overline{DC}$$:
$$|\overline{DB}|=\sqrt{1+16+1}=3\sqrt{2}$$;
$$|\overline{DC}|=\sqrt{1+16+4}=\sqrt{21}$$.
3. Найдем скалярное произведение векторов:
$$\overline{DA} \cdot \overline{DB}=-1+24+3=26$$;
 $$\overline{DA} \cdot \overline{DC}=-1+24+6=29$$. 
4. Найдем проекцию вектора $$\overline{DA}$$ на вектор $$\overline{DB}$$:
$$пр_{\overline{DB}}\overline{DA}=\frac{26}{3\sqrt{2}}=\frac{13\sqrt{2}}{3}$$. 
5. Найдем проекцию вектора $$\overline{DA}$$ на вектор $$\overline{DC}$$:
$$пр_{\overline{DC}}\overline{DA}=\frac{29}{\sqrt{21}}=\frac{29\sqrt{21}}{21}$$.
6. Найдем сумму проекций:
$$\frac{13\sqrt{2}}{3}+\frac{29\sqrt{21}}{21}=\frac{273\sqrt{2}+87\sqrt{21}}{63}$$.
Выберите один из вариантов
Если отрезок $$AB$$, где $$A(2; -1)$$, $$B(5; 8)$$, разделить точками $$C$$ и $$D$$ на три равные части, то произведение координат точек $$C$$ и $$D$$ будет равно:

1. Найдем координаты точки $$C$$.
Так как $$AC:CB=1:2$$, то $$l=0,5$$, $$x_{1}=2$$, $$x_{2}=5$$, $$y_{1}=-1$$, $$y_{2}=8$$.
Тогда: $$x_{c}=\frac{2+0,5\cdot5}{1+0,5}=3$$, $$y_{c}=\frac{-1+0,5 \cdot 8}{1+0,5}=2$$.
Следовательно, $$C(3; 2)$$.
2. Найдем координаты точки $$D$$.
Так как $$CD=BD$$, то 
$$x_{D}=\frac{3+5}{2}=4$$, $$y_{D}=\frac{2+8}{2}=5$$.
Следовательно, $$D(4; 5)$$.
3. Найдем произведение координат точек $$C$$ и $$D$$:
$$3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5=120$$.
Введите ответ в поле
Угол между ребрами $$CA$$ и $$CB$$ пирамиды с вершинами в точках $$A(1;3;-2)$$, $$B(3;1;0)$$, $$C(3;1;-1)$$, $$D(2;-3;1)$$ равен:

1. Найдем координаты векторов $$\overline{CA}$$ и $$\overline{CB}$$ (рис. 1):

Рис. 1


Найдем длины векторов  $$\overline{CA}$$ и $$\overline{CB}$$:
$$|\overline{CA}|=\sqrt{4+4+1}=3$$;
$$|\overline{CB}|=\sqrt{0+0+1}=1$$.
3. Найдем скалярное произведение векторов $$\overline{CA}$$ и $$\overline{CB}$$:
$$\overline{CA} \cdot \overline{CB}=0+0-1=1$$.
4. Найдем угол между векторами $$\overline{CA}$$ и $$\overline{CB}$$:
$$\cos \angle C=\frac{-1}{3 \cdot 1}=-\frac{1}{3}$$, откуда $$\angle C=\pi-\arccos\frac{1}{3}$$.
Выберите один из вариантов
Объем пирамиды с вершинами в точках $$A(1;3;-2)$$, $$B(3;1;0)$$, $$C(3;1;-1)$$,$$D(2;-3;1)$$ равен:

1. Найдем координаты векторов, на которых построена пирамида (рис. 3):
$$\overline{BA}=\bar{a}(-2;2;-2)$$;
$$\overline{BD}=\bar{b}(-1;-4;1)$$;
$$\overline{BC}=\bar{c}(0;0;-1)$$. 

    Рис. 3


2. Найдем смешанное произведение векторов $$\bar{a}$$,$$\bar{b}$$ и $$\bar{c}$$:
$$\bar{c}\cdot(\bar{a}\times\bar{b})=\begin{vmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -2 & 2 & -2 \\ -1 & -4 & 1 \end{vmatrix}=-10$$.
3. Найдем объем пирамиды:
$$V=\frac{|-10|}{6}=\frac{5}{3}$$.
Выберите один из вариантов
В сферической системе координат точка $$A(\sqrt{2}; -\sqrt{2}; 2)$$ будет иметь координаты:

Так как $$x=\sqrt{2}$$, $$y=-\sqrt{2}$$, $$z=2$$, то:
$$r=\sqrt{2+2+4}=2\sqrt{2}$$;
$$tg\varphi =\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-1$$, откуда $$\varphi =\frac{3\pi}{4}$$;
$$\cos\theta=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$, откуда $$\theta=\frac{\pi}{4}$$.
Следовательно, $$A(2\sqrt{2}; \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4})$$.
Выберите один из вариантов
Площадь грани $$BCD$$ пирамиды с вершинами в точках $$A(1;3;-2)$$, $$B(3;1;0)$$, $$C(3;1;-1)$$, $$D(2;-3;1)$$ равна:

1. Найдем координаты векторов, на которых построен треугольник $$BCD$$:
$$\overline{BD}=\bar{b}(-1;-4;1)$$;
$$\overline{BC}=\bar{c}(0;0;-1)$$.
2. Найдем векторное произведение векторов $$\bar{b}$$ и $$\bar{c}$$:
$$\bar{d}=\bar{b}\times\bar{c}=\begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ -1 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix}=4\bar{i}-\bar{j}$$.
3. Найдем модуль вектора $$\bar{d}$$:
$$| \bar{d} |=\sqrt{36+16+100}=2\sqrt{38}$$.
4. Найдем площадь треугольника $$BCD$$:
$$S= \frac{2\sqrt{38}}{2}=\sqrt{38}$$.
Выберите один из вариантов
Высота $$AH$$ Пирамиды с вершинами в точках $$A(1;3;-1)$$, $$B(3;1;0)$$, $$C(3;1;-1)$$, $$D(2;-3;1)$$ равна:
Объем пирамиды (рис. 4) можно найти по формуле:
$$V= \frac{1}{3}S_{BCD} \cdot AH$$. 

    Рис. 4


Так как $$V=\frac{5}{3}$$ (Задача 8), а $$S_{BCD}=\sqrt{38}$$ (Задача 9), то 
$$AH=\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot \sqrt{38}}=\frac{5}{\sqrt{38}}$$.
Выберите один из вариантов
Модуль смешанного произведения векторов $$\bar{a}=\bar{i}-2\bar{j}$$, $$\bar{b}=2\bar{i}-\bar{j}-3\bar{k}$$  и $$\bar{c}=\bar{i}-\bar{k}-6\bar{j}$$ равен:
1. Запишем координаты данных векторов:
$$\bar{a}(1;-2;0)$$, $$\bar{b}(2;-1;-3)$$, $$\bar{c}(1;-6;1)$$.
2. Найдем скалярное произведение:
$$\bar{c} \cdot (\bar{a} \times \bar{b})=\begin{vmatrix} 1 & -6 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & -6 & -1 \end{vmatrix}=-8$$.
3. Найдем модуль смешанного произведения:
$$|\bar{c} \cdot (\bar{a} \times \bar{b})|=|-8|=8$$.
Введите ответ в поле