1. Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.
2. Чтобы сложить (вычесть) две матрицы, необходимо сложить (вычесть) их соответствующие элементы.
3. Транспонировать матрицу – значит, заменить все ее строки соответствующим столбцами.
4. В результате умножения матрицы $$A_{mn}=(a_{ik})_{mn}$$ на матрицу $$B_{nl}=(b_{ik})_{nl}$$ получают матрицу $$C_{ml}=(c_{ik})_{ml}$$, элементы которой находят по формуле: $$c_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}$$.
   Например:
   $$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{bmatrix}$$.

1. $$2B=2\cdot \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & 3\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 8 & 6\\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$.
2. $$2B-A=\begin{bmatrix} 2 &4 \\ 8&6 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 4 &4 \\ 8& 1\\ 3& -2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 &0 \\ 0&5 \\ -3&4 \end{bmatrix}$$.
3. $$(2B-A)C^T=\begin{bmatrix} -2 & 0\\ 0 & 5\\ -3& 4 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 4 & 8 &1 \\ 3 & -5 & 0 \end{bmatrix}=$$
   $$= \begin{bmatrix} -2\cdot 4+0\cdot 3 &-2\cdot 8+0 & -2\cdot 1+0\\ 0\cdot 4+5\cdot 3 & 0+5\cdot (-5) & 0+0\\ -3\cdot 4+4\cdot 3 & -3\cdot 8+4\cdot (-5) &-3\cdot 1+0 \end{bmatrix}=$$
   $$=\begin{bmatrix} -8 & -16 & -2\\ 15&-25 &0 \\ 0&-44 & -3 \end{bmatrix}$$.

1. Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковых размеров.
2. Умножать можно только согласованные матрицы. Говорят, что матрица $$A$$ согласована с матрицей $$B$$, если количество столбцов матрицы $$A$$, равно количеству строк матрицы $$B$$.
3. Если имеем два действительных числа $$a$$ и $$b$$, то справедливо, что $$a\cdot b=b\cdot a$$ (от перестановки множителей произведение чисел не изменится). Если имеем две взаимно согласованные матрицы $$A$$ и $$B$$, то не обязательно, что $$AB$$ равно $$BA$$.

Определитель матрицы второго порядка - это число, которое находят по формуле:
$$\left | \begin{matrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right | = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$.

$$\begin{vmatrix} -1 &-2 \\ 5&10 \end{vmatrix}= -1\cdot 10-5\cdot (-2)=0$$.

Для определителя матрицы употребляются обозначения: $$\left | A \right |$$, $$det A$$, $$\triangle$$.

Определитель матрицы третьего порядка – это число, которое находят по формуле:
$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} &a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=$$

$$\begin{vmatrix} 1 & 4 &0 \\ 3 & 5 &1 \\ 0 & 4 &2 \end{vmatrix}=$$

Определитель матрицы третьего порядка можно вычислить по формуле:
$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} &a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$$$=$$

1. Определитель квадратной матрицы – это число, которое находят по формуле:
   $$\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &... &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & ... & a_{nn} \end{vmatrix}$$ = $$a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}$$,
   где $$i=\overline{1,n}$$, $$A_{ij}$$ – алгебраическое дополнение элемента $$a_{ij}$$ матрицы $$A$$.
2. Минор $$M_{ij}$$ элемента $$a_{ij}$$ квадратной матрицы – это определитель этой матрицы, у которого отсутствует $$i$$ - я строка и $$j$$-й столбец.
3. Алгебраическое дополнение $$A_{ij}$$ элемента $$a_{ij}$$ квадратной матрицы находят по формуле:
   $$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$.

Разложим определитель по элементам третьей строки:
$$\triangle = a_{32}\cdot A_{32}=5\cdot (-1)^{3+2}\cdot M_{32}=-5\cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ -1 & 4 & 3\\ 2& 6&0 \end{vmatrix}=$$

Этот определитель можно разложить и по элементам четвертого столбца.
$$\triangle = a_{24}\cdot A_{24}=3\cdot (-1)^{2+4}\cdot M_{24} = 3 \cdot$$$$\begin{vmatrix} 1 & 2 &1 \\ 0 &5 & 0\\ 2& -4 & 6\end{vmatrix}=$$

1. Минор $$M_{ij}$$ элемента $$a_{ij}$$ квадратной матрицы – это определитель этой матрицы, у которого отсутствует $$i$$ - я строка и $$j$$-й столбец.
2. Алгебраическое дополнение $$A_{ij}$$ элемента $$a_{ij}$$ квадратной матрицы находят по формуле:
   $$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$.

1. Найдем минор $$M_{13}$$, вычеркнув из определителя матрицы первую строку и третий столбец:
   $$M_{13}=\begin{vmatrix} 3& 5\\ 0&2 \end{vmatrix}=3\cdot 2-0\cdot 5=6$$.
2. Найдем минор $$M_{21}$$, вычеркнув из определителя матрицы вторую строку и первый столбец:
   $$M_{21}=\begin{vmatrix} 4& 2\\ 2&3 \end{vmatrix}=4\cdot 3-2\cdot 2=8$$.
3. Найдем алгебраические дополнения:
   $$A_{11}=(-1)^{1+1} \cdot M_{11}=1\cdot\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 2& 3 \end{vmatrix}=13$$;
   $$A_{23}=(-1)^{2+3} \cdot M_{23}=-1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 0& 2 \end{vmatrix}=-1\cdot 2=-2$$.
4. Получим:
   $$M_{13}\cdot M_{21}+2A_{11}\cdot A_{23}$$ $$=6\cdot 8+2\cdot 13\cdot (-2)= -4$$.

$$(-1)^{2n}=1$$, $$(-1)^{2n-1}=-1$$, где $$n$$ – натуральное число.

1. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов:
   $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 0 & a_{22} & a_{23}\\ 0& 0& a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}$$.
2. Если $$sinx=0$$, то $$x=0+\pi n$$, где $$n$$ – целое число.
3. Если $$cosx=0$$, то $$x=\frac{\pi }{2}+\pi n$$, где $$n$$ – целое число.

Решим уравнение $$sinx\cdot cosx=0$$.

Получим: $$sinx=0$$ или $$cosx=0$$, откуда $$x=0+\pi n$$ или $$x=\frac{\pi }{2}+\pi m$$, где $$n$$ и $$m$$ – целые числа.

Число $$0$$ – наименьшее неотрицательное решение уравнения.

Число $$0$$ – целое неотрицательное и неположительное число.

1. Матрицу, обратную к матрице $$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{bmatrix}$$, находят по формуле:
   $$A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}\cdot \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21}\\ A_{12}& A_{22} \end{bmatrix}$$.
2. Алгебраическое дополнение $$A_{ij}$$ элемента $$a_{ij}$$ квадратной матрицы находят по формуле:
   $$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$.

1. Найдем определитель матрицы $$A$$:
   $$\left | A \right |=2\cdot 8-4\cdot 2=8$$.
2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы $$A$$:
   $$A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1\cdot 8=8;$$
   $$A_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot 4=-4;$$
   $$A_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot 2=-2.$$
   $$A_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=1\cdot 2=2.$$
   
3. Запишем: $$A^{-1}=\frac{1}{8}\cdot \begin{bmatrix} 8 & -2\\ -4& 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -0,25\\ -0,5& 0,25 \end{bmatrix}$$.

Если квадратная матрица $$A^{-1}$$ является обратной к квадратной матрице $$A$$, то $$A^{-1}A=AA^{-1}=E$$.

Матрицу, обратную к матрице $$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$$, находят по формуле:

1. Найдем определитель матрицы $$A$$:
   $$\left | A \right |=1\cdot 5\cdot 1=5$$.
2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы $$A$$:
   $$A_{11}=(-1)^2\cdot \begin{vmatrix} 5 & 1\\ 0&1 \end{vmatrix}=5$$, $$A_{12}=(-1)^3\cdot \begin{vmatrix} 0 & 1\\ 0&1 \end{vmatrix}=0$$, $$A_{13}=(-1)^4\cdot \begin{vmatrix} 0 & 5\\ 0&0 \end{vmatrix}=0$$, $$A_{21}=(-1)^3\cdot \begin{vmatrix} 4 & 3\\ 0&1 \end{vmatrix}=-4$$, $$A_{22}=(-1)^4\cdot \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 0&1 \end{vmatrix}=1$$, $$A_{23}=(-1)^5\cdot \begin{vmatrix} 1 & 4\\ 0&0 \end{vmatrix}=0$$, $$A_{31}=(-1)^4\cdot \begin{vmatrix} 4 & 3\\ 5&1 \end{vmatrix}=-11$$, $$A_{32}=(-1)^5\cdot \begin{vmatrix} 1& 3\\ 0&1 \end{vmatrix}=-1$$, $$A_{33}=(-1)^6\cdot \begin{vmatrix} 1 & 4\\ 0&5 \end{vmatrix}=5$$.
3. Найдем матрицу, обратную данной:
   $$A^{-1}=\frac{1}{5}\cdot \begin{bmatrix} 5 &-4 &11 \\ 0 & 1 & -1\\ 0& 0& 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -0,8 & -2,2\\ 0 & 0,2& -0,2\\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}$$.

1. Если определитель матрицы равен нулю, то говорят, что матрица вырождена. Вырожденная матрица обратной матрицы не имеет.
2. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

1. Если в матрице произвольным образом выбрать $$s$$ строк и $$s$$ столбцов и из элементов, стоящих на пересечении этих строк и столбцов, составить определитель, то получим минор порядка $$s$$ этой матрицы.
2. Рангом матрицы называют наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров.
3. Ранг матрицы $$A$$ обозначают: $$r$$, или $$r_{A}$$, или $$rang A$$.

1. Вычислим минор четвертого порядка:
   $$\begin{vmatrix} 4 & 8 &0 & 0\\ 1 & 3 & 5 &-2 \\ 8& 7& 1& 0\\ 1\cdot 3 & 3\cdot 3 &5\cdot 3 & -2\cdot 3 \end{vmatrix}=0$$.
   Так как все элементы четвертой строки определителя пропорциональны соответствующим элементам второй строки, то определитель равен нулю.
   Поскольку минор четвертого порядка равен $$0$$, то ранг матрицы меньше четырех.
2. Вычислим один из миноров третьего порядка, например:
   $$\begin{vmatrix} 8 & 0 &0 \\ 3&5 &-2 \\ 7& 1& 0 \end{vmatrix}=16$$.
3. Так как среди миноров третьего порядка нашелся отличный от нуля, то ранг матрицы равен трем.

Свойства ранга матрицы:

1. Ранги матрицы $$A$$ и матрицы $$A^T$$ равны.
2. Ранг матрицы не изменится, если из нее вычеркнуть или приписать к ней нулевую строку или нулевой столбец.
3. Ранг матрицы не изменится, если выполнить элементарные преобразования матрицы.

1. Если матричное уравнение имеет вид $$AX=B$$, то матрицу $$X$$ находят по формуле:
   $$X=A^{-1}B$$.
2. Матрицу, обратную к матрице $$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} &a_{22} \end{bmatrix}$$, находят по формуле:
   $$A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}\cdot \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21}\\ A_{12} &A_{22} \end{bmatrix}$$.
3. Алгебраическое дополнение $$A_{ij}$$ элемента $$a_{ij}$$ квадратной матрицы находят по формуле:
   $$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$.

1. Найдем определитель матрицы $$A$$:
   $$\left | A \right |=2\cdot (-2)-1\cdot 1=-5$$.
2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы $$A$$:
   $$A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}= 1\cdot (-2)=-2$$;
   $$A_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}= -1\cdot 1=-1$$;
   $$A_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}= -1\cdot 1=-1$$;
   $$A_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}= 1\cdot 2=2$$.
3. Запишем: $$A^{-1}=-\frac{1}{5}\cdot \begin{bmatrix} -2 & -1\\ -1 &2 \end{bmatrix}$$.
4. Найдем матрицу $$X$$:
   $$X=-\frac{1}{5}\cdot \begin{bmatrix} -2 & -1\\ -1 &2 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}=$$
   $$= -\frac{1}{5}\cdot \begin{bmatrix} -2\cdot 1-1\cdot 1 & -2\cdot 1-1\cdot 1\\ -1\cdot 1+2\cdot 1 &-1\cdot 1+2\cdot 1 \end{bmatrix}=$$
   $$= -\frac{1}{5}\cdot \begin{bmatrix} -3 & -3\\ 1 &1 \end{bmatrix}=$$$$\begin{bmatrix} 0,6 & 0,6\\ -0,2 & -0,2 \end{bmatrix}$$.
5. Найдем определитель матрицы $$X$$:
   $$|X|=0,6 \cdot (-0,2) - 0,6 \cdot (-0,2)=0$$.

Если матричное уравнение имеет вид $$XA=B$$, то матрицу $$X$$ находят по формуле: $$X=BA^{-1}$$.