1. Матрицу, обратную к матрице $$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{bmatrix}$$, находят по формуле:
   $$A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}\cdot \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21}\\ A_{12}& A_{22} \end{bmatrix}$$.
2. Алгебраическое дополнение $$A_{ij}$$ элемента $$a_{ij}$$ квадратной матрицы находят по формуле:
   $$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$.

1. Найдем определитель матрицы $$A$$:
   $$\left | A \right |=2\cdot 8-4\cdot 2=8$$.
2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы $$A$$:
   $$A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1\cdot 8=8;$$
   $$A_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot 4=-4;$$
   $$A_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot 2=-2.$$
   $$A_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=1\cdot 2=2.$$
   
3. Запишем: $$A^{-1}=\frac{1}{8}\cdot \begin{bmatrix} 8 & -2\\ -4& 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -0,25\\ -0,5& 0,25 \end{bmatrix}$$.

Если квадратная матрица $$A^{-1}$$ является обратной к квадратной матрице $$A$$, то $$A^{-1}A=AA^{-1}=E$$.

1. Если матричное уравнение имеет вид $$AX=B$$, то матрицу $$X$$ находят по формуле:
   $$X=A^{-1}B$$.
2. Матрицу, обратную к матрице $$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} &a_{22} \end{bmatrix}$$, находят по формуле:
   $$A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}\cdot \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21}\\ A_{12} &A_{22} \end{bmatrix}$$.
3. Алгебраическое дополнение $$A_{ij}$$ элемента $$a_{ij}$$ квадратной матрицы находят по формуле:
   $$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$.

1. Найдем определитель матрицы $$A$$:
   $$\left | A \right |=2\cdot (-2)-1\cdot 1=-5$$.
2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы $$A$$:
   $$A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}= 1\cdot (-2)=-2$$;
   $$A_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}= -1\cdot 1=-1$$;
   $$A_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}= -1\cdot 1=-1$$;
   $$A_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}= 1\cdot 2=2$$.
3. Запишем: $$A^{-1}=-\frac{1}{5}\cdot \begin{bmatrix} -2 & -1\\ -1 &2 \end{bmatrix}$$.
4. Найдем матрицу $$X$$:
   $$X=-\frac{1}{5}\cdot \begin{bmatrix} -2 & -1\\ -1 &2 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}=$$
   $$= -\frac{1}{5}\cdot \begin{bmatrix} -2\cdot 1-1\cdot 1 & -2\cdot 1-1\cdot 1\\ -1\cdot 1+2\cdot 1 &-1\cdot 1+2\cdot 1 \end{bmatrix}=$$
   $$= -\frac{1}{5}\cdot \begin{bmatrix} -3 & -3\\ 1 &1 \end{bmatrix}=$$$$\begin{bmatrix} 0,6 & 0,6\\ -0,2 & -0,2 \end{bmatrix}$$.
5. Найдем определитель матрицы $$X$$:
   $$|X|=0,6 \cdot (-0,2) - 0,6 \cdot (-0,2)=0$$.

Если матричное уравнение имеет вид $$XA=B$$, то матрицу $$X$$ находят по формуле: $$X=BA^{-1}$$.

1. Минор $$M_{ij}$$ элемента $$a_{ij}$$ квадратной матрицы – это определитель этой матрицы, у которого отсутствует $$i$$ - я строка и $$j$$-й столбец.
2. Алгебраическое дополнение $$A_{ij}$$ элемента $$a_{ij}$$ квадратной матрицы находят по формуле:
   $$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$.

1. Найдем минор $$M_{13}$$, вычеркнув из определителя матрицы первую строку и третий столбец:
   $$M_{13}=\begin{vmatrix} 3& 5\\ 0&2 \end{vmatrix}=3\cdot 2-0\cdot 5=6$$.
2. Найдем минор $$M_{21}$$, вычеркнув из определителя матрицы вторую строку и первый столбец:
   $$M_{21}=\begin{vmatrix} 4& 2\\ 2&3 \end{vmatrix}=4\cdot 3-2\cdot 2=8$$.
3. Найдем алгебраические дополнения:
   $$A_{11}=(-1)^{1+1} \cdot M_{11}=1\cdot\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 2& 3 \end{vmatrix}=13$$;
   $$A_{23}=(-1)^{2+3} \cdot M_{23}=-1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 0& 2 \end{vmatrix}=-1\cdot 2=-2$$.
4. Получим:
   $$M_{13}\cdot M_{21}+2A_{11}\cdot A_{23}$$ $$=6\cdot 8+2\cdot 13\cdot (-2)= -4$$.

$$(-1)^{2n}=1$$, $$(-1)^{2n-1}=-1$$, где $$n$$ – натуральное число.

Матрицу, обратную к матрице $$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$$, находят по формуле:

1. Найдем определитель матрицы $$A$$:
   $$\left | A \right |=1\cdot 5\cdot 1=5$$.
2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы $$A$$:
   $$A_{11}=(-1)^2\cdot \begin{vmatrix} 5 & 1\\ 0&1 \end{vmatrix}=5$$, $$A_{12}=(-1)^3\cdot \begin{vmatrix} 0 & 1\\ 0&1 \end{vmatrix}=0$$, $$A_{13}=(-1)^4\cdot \begin{vmatrix} 0 & 5\\ 0&0 \end{vmatrix}=0$$, $$A_{21}=(-1)^3\cdot \begin{vmatrix} 4 & 3\\ 0&1 \end{vmatrix}=-4$$, $$A_{22}=(-1)^4\cdot \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 0&1 \end{vmatrix}=1$$, $$A_{23}=(-1)^5\cdot \begin{vmatrix} 1 & 4\\ 0&0 \end{vmatrix}=0$$, $$A_{31}=(-1)^4\cdot \begin{vmatrix} 4 & 3\\ 5&1 \end{vmatrix}=-11$$, $$A_{32}=(-1)^5\cdot \begin{vmatrix} 1& 3\\ 0&1 \end{vmatrix}=-1$$, $$A_{33}=(-1)^6\cdot \begin{vmatrix} 1 & 4\\ 0&5 \end{vmatrix}=5$$.
3. Найдем матрицу, обратную данной:
   $$A^{-1}=\frac{1}{5}\cdot \begin{bmatrix} 5 &-4 &11 \\ 0 & 1 & -1\\ 0& 0& 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -0,8 & -2,2\\ 0 & 0,2& -0,2\\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}$$.

1. Если определитель матрицы равен нулю, то говорят, что матрица вырождена. Вырожденная матрица обратной матрицы не имеет.
2. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

1. Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.
2. Чтобы сложить (вычесть) две матрицы, необходимо сложить (вычесть) их соответствующие элементы.
3. Транспонировать матрицу – значит, заменить все ее строки соответствующим столбцами.
4. В результате умножения матрицы $$A_{mn}=(a_{ik})_{mn}$$ на матрицу $$B_{nl}=(b_{ik})_{nl}$$ получают матрицу $$C_{ml}=(c_{ik})_{ml}$$, элементы которой находят по формуле: $$c_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}$$.
   Например:
   $$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{bmatrix}$$.

1. $$2B=2\cdot \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & 3\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 8 & 6\\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$.
2. $$2B-A=\begin{bmatrix} 2 &4 \\ 8&6 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 4 &4 \\ 8& 1\\ 3& -2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 &0 \\ 0&5 \\ -3&4 \end{bmatrix}$$.
3. $$(2B-A)C^T=\begin{bmatrix} -2 & 0\\ 0 & 5\\ -3& 4 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 4 & 8 &1 \\ 3 & -5 & 0 \end{bmatrix}=$$
   $$= \begin{bmatrix} -2\cdot 4+0\cdot 3 &-2\cdot 8+0 & -2\cdot 1+0\\ 0\cdot 4+5\cdot 3 & 0+5\cdot (-5) & 0+0\\ -3\cdot 4+4\cdot 3 & -3\cdot 8+4\cdot (-5) &-3\cdot 1+0 \end{bmatrix}=$$
   $$=\begin{bmatrix} -8 & -16 & -2\\ 15&-25 &0 \\ 0&-44 & -3 \end{bmatrix}$$.

1. Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковых размеров.
2. Умножать можно только согласованные матрицы. Говорят, что матрица $$A$$ согласована с матрицей $$B$$, если количество столбцов матрицы $$A$$, равно количеству строк матрицы $$B$$.
3. Если имеем два действительных числа $$a$$ и $$b$$, то справедливо, что $$a\cdot b=b\cdot a$$ (от перестановки множителей произведение чисел не изменится). Если имеем две взаимно согласованные матрицы $$A$$ и $$B$$, то не обязательно, что $$AB$$ равно $$BA$$.

1. Определитель квадратной матрицы – это число, которое находят по формуле:
   $$\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &... &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & ... & a_{nn} \end{vmatrix}$$ = $$a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}$$,
   где $$i=\overline{1,n}$$, $$A_{ij}$$ – алгебраическое дополнение элемента $$a_{ij}$$ матрицы $$A$$.
2. Минор $$M_{ij}$$ элемента $$a_{ij}$$ квадратной матрицы – это определитель этой матрицы, у которого отсутствует $$i$$ - я строка и $$j$$-й столбец.
3. Алгебраическое дополнение $$A_{ij}$$ элемента $$a_{ij}$$ квадратной матрицы находят по формуле:
   $$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$.

Разложим определитель по элементам третьей строки:
$$\triangle = a_{32}\cdot A_{32}=5\cdot (-1)^{3+2}\cdot M_{32}=-5\cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ -1 & 4 & 3\\ 2& 6&0 \end{vmatrix}=$$

Этот определитель можно разложить и по элементам четвертого столбца.
$$\triangle = a_{24}\cdot A_{24}=3\cdot (-1)^{2+4}\cdot M_{24} = 3 \cdot$$$$\begin{vmatrix} 1 & 2 &1 \\ 0 &5 & 0\\ 2& -4 & 6\end{vmatrix}=$$

1. Если в матрице произвольным образом выбрать $$s$$ строк и $$s$$ столбцов и из элементов, стоящих на пересечении этих строк и столбцов, составить определитель, то получим минор порядка $$s$$ этой матрицы.
2. Рангом матрицы называют наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров.
3. Ранг матрицы $$A$$ обозначают: $$r$$, или $$r_{A}$$, или $$rang A$$.

1. Вычислим минор четвертого порядка:
   $$\begin{vmatrix} 4 & 8 &0 & 0\\ 1 & 3 & 5 &-2 \\ 8& 7& 1& 0\\ 1\cdot 3 & 3\cdot 3 &5\cdot 3 & -2\cdot 3 \end{vmatrix}=0$$.
   Так как все элементы четвертой строки определителя пропорциональны соответствующим элементам второй строки, то определитель равен нулю.
   Поскольку минор четвертого порядка равен $$0$$, то ранг матрицы меньше четырех.
2. Вычислим один из миноров третьего порядка, например:
   $$\begin{vmatrix} 8 & 0 &0 \\ 3&5 &-2 \\ 7& 1& 0 \end{vmatrix}=16$$.
3. Так как среди миноров третьего порядка нашелся отличный от нуля, то ранг матрицы равен трем.

Свойства ранга матрицы:

1. Ранги матрицы $$A$$ и матрицы $$A^T$$ равны.
2. Ранг матрицы не изменится, если из нее вычеркнуть или приписать к ней нулевую строку или нулевой столбец.
3. Ранг матрицы не изменится, если выполнить элементарные преобразования матрицы.

1. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов:
   $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 0 & a_{22} & a_{23}\\ 0& 0& a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}$$.
2. Если $$sinx=0$$, то $$x=0+\pi n$$, где $$n$$ – целое число.
3. Если $$cosx=0$$, то $$x=\frac{\pi }{2}+\pi n$$, где $$n$$ – целое число.

Решим уравнение $$sinx\cdot cosx=0$$.

Получим: $$sinx=0$$ или $$cosx=0$$, откуда $$x=0+\pi n$$ или $$x=\frac{\pi }{2}+\pi m$$, где $$n$$ и $$m$$ – целые числа.

Число $$0$$ – наименьшее неотрицательное решение уравнения.

Число $$0$$ – целое неотрицательное и неположительное число.

Определитель матрицы третьего порядка – это число, которое находят по формуле:
$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} &a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=$$

$$\begin{vmatrix} 1 & 4 &0 \\ 3 & 5 &1 \\ 0 & 4 &2 \end{vmatrix}=$$

Определитель матрицы третьего порядка можно вычислить по формуле:
$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} &a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$$$=$$

Определитель матрицы второго порядка - это число, которое находят по формуле:
$$\left | \begin{matrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right | = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$.

$$\begin{vmatrix} -1 &-2 \\ 5&10 \end{vmatrix}= -1\cdot 10-5\cdot (-2)=0$$.

Для определителя матрицы употребляются обозначения: $$\left | A \right |$$, $$det A$$, $$\triangle$$.