Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Студент
Числовые характеристики матриц ИТ
45.000

Числовые характеристики матриц ИТ

Ранг матрицы $$A=\begin{bmatrix} 4 & 8 & 0 & 0\\1 & 3 & 5 & -2\\8 & 7 & 1 & 0\\3 & 9 & 15 & -6\end{bmatrix}$$ равен:
  1. Если в матрице произвольным образом выбрать $$s$$ строк и $$s$$ столбцов и из элементов, стоящих на пересечении этих строк и столбцов, составить определитель, то получим минор порядка $$s$$ этой матрицы. 
  2. Рангом матрицы называют наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров. 
  3. Ранг матрицы $$A$$ обозначают: $$r$$, или $$r_{A}$$, или $$rang A$$.
  1. Вычислим минор четвертого порядка:
    $$\begin{vmatrix} 4 & 8 & 0 & 0\\1 & 3 & 5 & -2\\8 & 7 & 1 & 0\\1\cdot 3 & 3\cdot 3 & 5\cdot 3 & -2\cdot 3\end{vmatrix}=0$$.
    Так как все элементы четвертой строки определителя пропорциональны соответствующим элементам второй строки, то определитель равен нулю.
    Поскольку минор четвертого порядка равен $$0$$, то ранг матрицы меньше четырех. 
  2. Вычислим один из миноров третьего порядка, например:
    $$\begin{vmatrix} 8 & 0 & 0\\3 & 5 & -2\\ 7 & 1 & 0\end{vmatrix}=16$$.
    Так как среди миноров третьего порядка нашелся отличный от нуля, то ранг матрицы равен трем.
Свойства ранга матрицы:
  1. Ранги матрицы $$A$$ и матрицы $$A^T$$ равны. 
  2. Ранг матрицы не изменится, если из нее вычеркнуть или приписать к ней нулевую строку или нулевой столбец. 
  3. Ранг матрицы не изменится, если выполнить элементарные преобразования матрицы.
Введите ответ в поле
Определитель матрицы $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\-1 & 2 & 4 & 3\\0 & 5 & 0 & 0\\2 & -4 & 6 & 0\end{bmatrix}$$ равен:
  1. Определитель квадратной матрицы – это число, которое находят по формуле:
    $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end{vmatrix}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}$$,
    где $$i=\overline{1,n}$$,$$A_{ij}$$ – алгебраическое дополнение элемента $$a_{ij}$$ матрицы $$A$$. 
  2. Минор $$M_{ij}$$ элемента $$a_{ij}$$ квадратной матрицы – это определитель этой матрицы, у которого отсутствует i -я строка и j -й столбец. 
  3. Алгебраическое дополнение $$A_{ij}$$ элемента $$a_{ij}$$ квадратной матрицы находят по формуле:
    $$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$.
Разложим определитель по элементам третьей строки (эта строка содержит наибольшее количество нулей):
    $$\triangle = a_{32}\cdot A_{32}=5\cdot (-1)^{3+2}\cdot M_{32}$$;
    $$\triangle=-5\cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\-1 & 4 & 3\\2 & 6 & 0\end{vmatrix}$$;
    $$\triangle=-5\cdot(0+6+0-0-0-18)=60$$.
Этот определитель можно разложить и по элементам столбца, например, четвертого (этот столбец содержит наибольшее количество нулей).
    $$\triangle = a_{24}\cdot A_{24}$$;
    $$\triangle=3\cdot (-1)^{2+4}\cdot M_{24}$$;
    $$\triangle=3 \cdot\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1\\0 & 5 & 0\\ 2 & -4 & 6\end{vmatrix}$$;
    $$\triangle=3\cdot (30+0+0-10-0-0)=60$$.
Введите ответ в поле
Если матрица имеет вид $$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 2\\3 & 5 & 1\\0 & 2 & 3\end{bmatrix}$$, то значение выражения $$M_{13}\cdot M_{21}+2A_{11}\cdot A_{23}$$ равно:
  1. Минор $$M_{ij}$$ элемента $$a_{ij}$$ квадратной матрицы – это определитель этой матрицы, у которого отсутствует $$i$$ -я строка и $$j$$ -ий столбец. 
  2. Алгебраическое дополнение $$A_{ij}$$ элемента $$a_{ij}$$ квадратной матрицы находят по формуле:
    $$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$.
  1. Найдем минор $$M_{13}$$, вычеркнув из определителя матрицы первую строку и третий столбец:
    $$M_{13}=\begin{vmatrix} 3 & 5\\0 & 2 \end{vmatrix}=3\cdot 2-0\cdot 5=6$$. 
  2. Найдем минор $$M_{21}$$, вычеркнув из определителя матрицы вторую строку и первый столбец:
    $$M_{21}=\begin{vmatrix} 4 & 2\\ 2 & 3\end{vmatrix}=4\cdot 3-2\cdot 2=8$$. 
  3. Найдем алгебраические дополнения:
    $$A_{11}=(-1)^{1+1} M_{11}=1\cdot\begin{vmatrix} 5 & 1\\2 & 3 \end{vmatrix}=13$$;
    $$A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot M_{23}=-1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 0 & 2 \end{vmatrix}=-2$$. 
  4. Найдем значение выражения:
    $$M_{13}\cdot M_{21}+2A_{11}\cdot A_{23}=6\cdot8+2\cdot13\cdot (-2)=-4$$.
$$(-1)^{2n}=1$$, $$(-1)^{2n-1}=-1$$, где $$n$$ - натуральное число.
Введите ответ в поле
Произведение действительных корней уравнения
$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\ 1 & x & -2\\5 & -1 & x\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 5 & -1 & x\\ 1 & x & -2\\1 & 0 & 3\end{vmatrix}$$ равно:
  1. Определитель третьего порядка матрицы $$A$$ находят по формуле:
    $$|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}$$,
    $$|A|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{21} a_{32}a_{13}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}$$. 
  2. Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения $$x^2+px+q=0$$ равна $$-p$$, а произведение корней равно $$q$$ (при условии, что $$D>0$$).
  1. Вычислим определители:
    1) $$\triangle_1=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\ 1 & x & -2\\5 & -1& x\end{vmatrix}$$, $$\triangle_1=x^2+0-3-15x-0-2$$, $$\triangle_1=x^2-15x-5$$;
    2) $$\triangle_2=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\ 1 & x & -2\\5 & -1& x\end{vmatrix}$$, $$\triangle_2=-(x^2-15x-5)$$. 
  2. Составим уравнение:
    $$x^2-15x-5=-(x^2-15x-5)$$, откуда $$x^2-15x-5=0$$.
    Так как $$D>0$$, то $$x_1\cdot x_2=-5$$.
Свойства определителей:
  1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами. 
  2. При перестановке двух соседних строк (столбцов) определитель меняет знак. 
  3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю. 
  4. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя. 
  5. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю. 
  6. Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умножив их на одно и то же отличное от нуля число, то определитель не изменится.
Введите ответ в поле
Определитель матрицы $$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 0\\3 & 5 & 1\\0 & 4 &2\end{bmatrix}$$ равен:
Определитель матрицы третьего порядка находят по формуле: 
$$\Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}$$, 
$$\Delta=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{21} a_{32}a_{13}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}$$.
$$\Delta=\begin{vmatrix} 1 & 4 & 0\\ 3 & 5 & 1\\ 0 & 4 & 2\end{vmatrix}$$, 
$$\Delta=1\cdot 5\cdot 2+4\cdot 1\cdot 0+3\cdot 4\cdot 0-0\cdot 5\cdot 0-4\cdot 3\cdot 2-1\cdot 4\cdot 1$$, 
$$\Delta=-18$$.
Определитель матрицы третьего порядка можно вычислить по формуле: 
$$\Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}$$, 
$$\Delta=a_{11}\cdot\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}-a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\cdot \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}$$.
Введите ответ в поле
Ранг матрицы $$A=\begin{bmatrix} 1 & -2\\-1 & 2\\3 & 0\end{bmatrix}$$ равен:
Рангом матрицы называют наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров.
Найдем миноры второго порядка:
    $$\begin{vmatrix} 1 & -2\\-1 & 2\end {vmatrix}=0$$;
    $$\begin{vmatrix} 1 & -2\\3 & 0\end {vmatrix}=6 ≠ 0$$;
    $$\begin{vmatrix} -1 & 2\\3 & 0\end {vmatrix}=-6 ≠ 0$$.
Так как среди миноров второго (высшего) порядка нашелся отличный от нуля, то $$r_A=2$$.
Различайте:
  1. Минор $$M_{ij}$$ элемента $$a_{ij}$$ квадратной матрицы, который составляется из элементов матрицы в результате удаления их матрицы строки с номером $$i$$ и столбца с номером $$j$$. 
  2. Минор порядка $$s$$ матрицы, который составляется из элементов матрицы, стоящих на пересечении произвольным образом выбранных $$s$$ строк и $$s$$ столбцов.
Введите ответ в поле
Определитель матрицы $$\begin{bmatrix} -1 & -2\\5 & 10\end{bmatrix}$$ равен:
Определитель матрицы второго порядка находят по формуле:
$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$.
$$\begin{vmatrix} -1 & -2\\5 & 10 \end{vmatrix} = -1\cdot 10-5\cdot (-2)=0$$.
Для определителя матрицы употребляются обозначения: $$|A|$$, $$detA$$, $$\triangle$$.
Введите ответ в поле
Сумма действительных корней уравнения
$$\begin{vmatrix} x-\sqrt{3} & -2\\5 & x+\sqrt{3}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x & 2\\x & 10\end{vmatrix}=2$$ равна:
Определитель второго порядка находят по формуле:
$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$.
  1. Вычислим определители:
    1) $$\triangle_1=\begin{vmatrix} x-\sqrt{3} & -2\\5 & x+\sqrt{3}\end{vmatrix}$$, $$\triangle_1=(x-\sqrt{3})(x-\sqrt{3})+2\cdot 5$$, $$\triangle_1=x^2+7$$;
    2) $$\triangle_2=\begin{vmatrix} x & 2\\x & 10\end{vmatrix}$$, $$\triangle_2=10x-2x=8x$$. 
  2. Составим уравнение:
    $$x^2+7+8x=2$$, откуда $$x^2+8x+5=0$$.
    Так как $$D>0$$, то $$x_1+x_2=-8$$.
Теорема Виета:
    сумма корней квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ равна $$-\frac{b}{a}$$, а произведение корней равно $$\frac{c}{a}$$ (при условии, что $$D>0$$).
Введите ответ в поле
Ранг матрицы $$A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2\\2 & -2 & 4\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$$ равен:
  1. Рангом матрицы называют наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров. 
  2. Ранг матрицы не изменится, если из нее удалить или приписать к ней нулевую строку или нулевой столбец.
  1. Удалим из матрицы нулевую строку:
    $$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 2\\2 & -2 & 4\end{bmatrix}$$. 
  2. Найдем миноры второго порядка:
    $$\begin{vmatrix}1 & -1\\ 2 & -2\end{vmatrix}=0$$;
    $$\begin{vmatrix}1 & 2\\ 2 & 4\end{vmatrix}=0$$;
    $$\begin{vmatrix}-1 & 2\\ -2 & 4\end{vmatrix}=0$$. 
  3. Так как все миноры второго порядка равны нулю, то $$r_A<2$$.
    А так как миноры первого порядка (элементы матрицы) не равны нулю, то $$r_A=1$$.
Только нулевой матрицы ранг равен нулю.
Введите ответ в поле
Если $$A=\begin{bmatrix} 4 & -2 & 10 \\ 0 & 5 & 3 \\0 & 0 & -1\end{bmatrix}$$, то определитель матрицы $$X$$, полученной в результате решения уравнения $$5X+2A=0$$, равен:
  1. Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число. 
  2. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов:
    $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\0 & a_{22} & a_{23}\\0 & 0 & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}$$.
  1. Решим уравнение: $$5X+2A=0$$, откуда $$X=-0,4A$$. 
  2. Найдем матрицу $$X$$:
    $$X=-0,4\cdot \begin{bmatrix} 4 & -2 & 10 \\ 0 & 5 & 3 \\0 & 0 & -1\end{bmatrix}$$,
    $$X= \begin{bmatrix} -1,6 & 0,8 & -4 \\ 0 & -2 & -1,2 \\0 & 0 & 0,4\end{bmatrix}$$. 
  3. Найдем определитель матрицы $$X$$:
    $$|X|=-1,6\cdot (-2)\cdot 0,4=1,28$$.
Чтобы умножить определитель на число, необходимо элементы только одной из строк (или одного из столбцов) умножить на это число.
Введите ответ в поле
© Сиротина И.К., 2013—2026