Загрузка

Линии второго порядка

Каноническое уравнение линии $$5x^2-3y^2+10x+18y-28=0$$ имеет вид:
Квадрат двучлена:
$$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.
В данном уравнении выделим квадраты двучленов:
$$5\left ( x^{2}+2x+1 \right )-3\left ( y^2-6y+9 \right )=28+5\cdot 1-3\cdot 9$$,
$$5(x+1)^2-3(y-3)^2=6$$,
$$\frac{5(x+1)^2}{6}-\frac{3(y-3)^2}{6}=\frac{6}{6}$$,
$$\frac{(x+1)^2}{1,2}-\frac{(y-3)^2}{2}=1$$.
Имеем гиперболу: центр в точке $${O}'(-1;3)$$, $$a=2\sqrt{0,3}$$, $$b=\sqrt{2}$$.
Выберите один из вариантов
Если эллипс пересекает ось $$Ox$$ в точках $$A_{1}(2;0)$$ и $$A_{2}(-2;0)$$, а ось $$Oy$$ пересекает в точках $$B_{1}(0;1)$$ и $$B_{2}(0;-1)$$, то его фокусы находятся в точках:

Каноническое уравнение эллипса:
$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$,
где $$a$$ $$-$$ большая полуось; $$b$$ $$-$$ меньшая полуось.
Фокусы эллипса: 

$$F_{1} \left (-c;0 \right )$$ и $$F_{2} \left (c;0 \right )$$,
где $$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$$.

Большая полуось равна $$2$$, а малая полуось равна $$1$$

Тогда, $$c=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$$.
Фокусы: $$F_{1} \left (-\sqrt{3};0 \right )$$$$F_{2} \left (\sqrt{3};0 \right )$$.

Эллипс $$-$$ это геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Выберите один из вариантов
Если мнимая полуось гиперболы равна $$\sqrt{6}$$ и гипербола проходит через точку $$C(\sqrt{5};-2)$$, то ее действительная ось равна:
Каноническое уравнение гиперболы:
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$,
где $$a$$ – действительная полуось, $$b$$ – мнимая полуось.

Подставляя значения $$b=\sqrt{6}$$, $$x=\sqrt{5}$$, $$y=-2$$ в каноническое уравнение гиперболы, получим:
$$\frac{5}{a^2}-\frac{4}{6}=1$$, $$\frac{5}{a^2}=\frac{5}{3}$$, $$a^2 = 3$$.
Действительная ось гиперболы:
$$2a = 2\sqrt{3}$$.

Действительная ось гиперболы равна $$2a$$.
Мнимая ось гиперболы равна $$2b$$.
Выберите один из вариантов
Радиус окружности $$x^2+y^2-x+14y=-48$$ равен:

Если центр окружности находится в точке $${O}'(a,b)$$, а ее радиус равен $$R$$, то уравнение окружности имеет вид:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$$.

В данном уравнении выделим квадраты двучленов:
$$(x^2-2\cdot 0,5x +0,25)+(y^2+14y+49)=-48+0,25+49$$;
$$(x-0,5)^2+(y+7)^2=1,25$$.
Если $$R=0$$, то уравнению $$X^2+Y^2=0$$ удовлетворяют координаты единственной точки: $$X=0$$, $$Y=0$$.
Если $$R^2<0$$, то уравнению $$X^2+Y^2=-R^2$$ не удовлетворяют координаты ни одной точки.
Выберите один из вариантов
Если уравнение параболы имеет вид $$y^{2}=10x$$, то ее фокус находится в точке, сумма координат которой, увеличенная в $$2$$ раза, равна:
Каноническое уравнение параболы:
$$y^{2}=2px$$,
где ось $$Ox$$ $$-$$ ось симметрии параболы; $$p$$ $$-$$ расстояние от фокуса до директрисы $$d$$.
Фокус: $$F\left ( \frac{p}{2};0 \right )$$.
Так как $$2p=10$$, то $$p=5$$.
Фокус: $$F \left (2,5;0 \right )$$.
Тогда, $$(2,5+0)\cdot 2=5$$.
Парабола $$-$$ это геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и прямой, называемой директрисой.
Выберите один из вариантов
Каноническое уравнение линии $$5x^2+3y^2+10x+18y-28=0$$ имеет вид:
Квадрат двучлена:
$$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.
В данном уравнении выделим квадраты двучленов:
$$5\left ( x^{2}+2x+1 \right )+3\left ( 3y^2+6y+9 \right )=28+5\cdot 1+3\cdot 9$$,
$$5(x+1)^2+3(y+3)^2=60$$,
$$\frac{5(x+1)^2}{60}+\frac{3(y+3)^2}{60}=\frac{60}{60}$$,
$$\frac{(x+1)^2}{12}+\frac{(y+3)^2}{20}=1$$.

Имеем эллипс: центр в точке $$O{'}(-1; -3)$$, $$a=2\sqrt{3}$$, $$b=2\sqrt{5}$$.
Выберите один из вариантов
Если уравнение окружности имеет вид $$(x+9)^{2}+(y-6)^{2}=1$$, то сумма координат точки, которая является ее центром, равна:

Если центр окружности находится в точке $${O}' \left (a;b \right )$$

а ее радиус равен $$R$$, то уравнение окружности имеет вид:
$$\left (x-a \right )^{2}+\left (y-b \right )^{2}=R^{2}$$.

Центром окружности является точка $${O}' \left (-9;6 \right )$$
Тогда, $$-9+6=-3$$.
Если центр окружности находится в точке $$O(0;0)$$, а ее радиус равен $$R$$, то уравнение окружности имеет вид:
$$x^{2}+y^{2}=R^{2}$$.
Выберите один из вариантов
Если гипербола проходит через точки $$A_{1}(-3;0)$$ и $$A_{2}(3;0)$$, причем длина ее мнимой полуоси в $$2$$ раза меньше длины действительной полуоси, то эксцентриситет гиперболы равен:

Каноническое уравнение гиперболы:
$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$,
где $$a$$ $$-$$ действительная полуось; $$b$$ $$-$$ мнимая полуось.
Эксцентриситет гиперболы находят по формуле:
$$\varepsilon =\frac{c}{a}> 1$$

где $$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$.

Действительная полуось равна $$3$$, а мнимая полуось равна $$1,5$$.
Тогда, $$c=\sqrt{9+\frac{9}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$$, а $$\varepsilon =\frac{3\sqrt{5}}{2\cdot 3}=0,5\sqrt{5}$$.
Гипербола $$-$$ это геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разностей расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Выберите один из вариантов
Каноническое уравнение линии $$y^2-5x-8y+13=0$$ имеем вид:
Квадрат двучлена:
$$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$$.
Выполним преобразование данного уравнения:
$$(y^2-8x+16)=5x-13+16$$,
$$(y-4)^2=5(x+0,6)$$.
Имеем параболу с центром в точке $${O}'(-0,6;4)$$.
Выберите один из вариантов
Если большая ось эллипса равна $$2\sqrt{6}$$ и эллипс проходит через точку $$C(\sqrt{5};-\sqrt{2})$$, то его эксцентриситет равен:

1. Каноническое уравнение эллипса:
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$,
где $$a$$ – большая полуось, $$b$$ – меньшая полуось.
2. Эксцентриситет эллипса:
$$\varepsilon = \frac{c}{a}<1$$, где $$c=\sqrt{a^2-b^2}$$.

Подставляя значения $$a=\sqrt{6}$$,  $$x=\sqrt{5}$$,  $$y=-\sqrt{2}$$ в каноническое уравнение эллипса, получим:
$$\frac{5}{6}+\frac{2}{b^2}=1$$, $$\frac{2}{b^2}=\frac{1}{6}$$, $$b^2=12$$.
Тогда, $$c=\sqrt{12-6}=\sqrt{6}$$.
Найдем эксцентриситет эллипса:
$$\varepsilon = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{12}}=0,5\sqrt{2}$$.
Если в уравнении эллипса $$a<b$$, то 
$$c=\sqrt{b^{2}-a^{2}}$$, $$\varepsilon=\frac{c}{b}$$.
Выберите один из вариантов