Аналитическая геометрия КТ 1
Плоский угол при вершине $$D$$ в плоскости грани $$ADC$$ пирамиды с вершинами в точках $$A(1;3;1)$$, $$C(-1;2;0)$$ и $$D(2;0;-1)$$ равен:
1. Найдем уравнение прямой $$AD$$:
$$\frac{x-1}{2-1}=\frac{y-3}{0-3}=\frac{z-1}{-1-1}$$,
$$\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{-3}=\frac{z-1}{-2}$$,
где $$\bar{l}_{AD}(1;-3;-2)$$.
2. Найдем уравнение прямой $$CD$$:
$$\frac{x+1}{2+1}=\frac{y-2}{0-2}=\frac{z-0}{-1-0}$$,
$$\frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z}{-1}$$,
где $$\bar{l}_{CD}(3;-2;-1)$$.
3. Найдем угол между прямыми $$AD$$ и $$CD$$:
$$cos \angle D=\frac{1 \cdot 3 +3 \cdot 2 + 2 \cdot 1}{\sqrt{1+9+4} \cdot \sqrt{9+4+1}}=\frac{11}{14}$$.
Выберите один из вариантов
Каноническое уравнение гиперболы с центром в точке $$O(0;0)$$, с мнимой осью, равной $$4$$, и проходящей через точку $$C(2\sqrt{2};0)$$, имеет вид:
Так как $$a=2\sqrt{2}$$, а $$b=2$$, то
$$\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{4}=1$$.
Выберите один из вариантов
Эксцентриситет эллипса с центром в точке $$O(0;0)$$, который пересекает оси координат в точках $$B(6;0)$$ и $$C(0;-3)$$, равен:
Так как $$a=6$$, а $$b=3$$, то
$$c=\sqrt{36-9}=3\sqrt{3}$$.
Найдем эксцентриситет эллипса:
$$\varepsilon=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$.
Выберите один из вариантов
Уравнение высоты $$BH$$ треугольника с вершинами в точках $$A(-5;0)$$, $$B(2;4)$$ и $$C(4;-3)$$ имеет вид:
Найдем уравнение прямой $$AC$$:
$$\frac{x+5}{4+5}=\frac{y-0}{-3-0}$$, откуда $$y=-\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}$$.
Так как $$BH \perp AC$$, то $$k_{BH}=-\frac{1}{k_{AC}}=3$$.
Найдем уравнение прямой $$BH$$:
$$y=4+3(x-2)$$,
$$y=3x-2$$.
Выберите один из вариантов
Высота $$AH$$ пирамиды с вершинами в точках $$A(1;3;1)$$, $$B(1;2;-1)$$, $$C(-1;2;0)$$, $$D(2;0;3)$$ равна:
1. Найдем уравнение плоскости $$BCD$$:
$$\begin{vmatrix} x-1 &y-2 & z+1\\ - 1-1 & 2-2 & 0+1 \\ 2-1& 0-2 & 3+1 \end{vmatrix}=0$$,
$$\begin{vmatrix} x-1 &y-2 & z+1\\ -2 & 0 & 1 \\ 1 & -2& 4 \end{vmatrix}=0$$,
$$2x+9y+4z-16=0$$.
2. Найдем расстояние от точки $$A(1;3;1)$$ до плоскости $$BCD$$:
$$d=\frac{|2 \cdot 1+9 \cdot 3 + 4 \cdot 1-16|}{\sqrt{4+81+16}}=\frac{17}{\sqrt{101}}$$.
Выберите один из вариантов
Нормальный вектор плоскости, проходящей через точки $$A(2;5;-1)$$, $$B(2;3;-1)$$ и $$С(0;4;-10)$$, имеет вид:
1. Найдем уравнение плоскости:
$$\begin{vmatrix} x-2 &y-5 & z+1\\ 2-2 & 3-5 & -1+1 \\ 0-2& 4-5 & -10+1 \end{vmatrix}=0$$,
$$\begin{vmatrix} x-2 &y-5 & z+1\\ 0 & -2 & 0 \\ -2& -1 & -9 \end{vmatrix}=0$$,
$$18(x-2)-4(z+1)=0$$,
$$9x-2z-20=0$$.
Запишем нормальный вектор плоскости:
$$\bar{n}(9;0;-2)$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Уравнение плоскости, проходящей через точки $$A(2;5;-1)$$ и $$B(0;3;-1)$$ параллельно прямой $$\frac{2-x}{5}=\frac{y-10}{2}=\frac{3-z}{10}$$ имеет вид:
Представим уравнение прямой в каноническом виде:
$$\frac{2-x}{-5}=\frac{y-10}{2}=\frac{z-3}{-10}$$,
где $$\bar{l}(-5;2;-10)$$ - направляющий вектор прямой (параллелен искомой плоскости).
Найдем уравнение плоскости:
$$\begin{vmatrix} x-2 &y-5 & z+1\\ 0-2 & 3-5 &-1+1 \\ -5& 2& -10 \end{vmatrix}=0$$ ,
$$\begin{vmatrix} x-2&y-5 & z+1\\ -2& -2 &0 \\ -5 & 2 & -10 \end{vmatrix}=0$$,
$$20(x-2)-4(z+1)-10(z+1)-20(y-5)=0$$,
$$10x-10y-7z+23=0$$.
Выберите один из вариантов
Каноническое уравнение линии $$0,1x^{2}+0,1y^{2}-x+y+4,5=0$$ имеет вид:
Запишем данное уравнение в виде $$x^{2}+y^{2}-10x+10y+45=0$$ и выделим полные квадраты:
$$(x^{2}-10x+25)+(y^{2}+10y+25) +45-50=0$$,
$$(x-5)^{2}+(y+5)^{2}=5$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Если парабола симметрична относительно оси $$Oy$$, а фокус находится в точке $$A(0;-5)$$, то ее каноническое уравнение имеет вид:
Так как $$0,5p=-5$$, то $$p=-10$$.
Каноническое уравнение параболы:
$$x^{2}=-20y$$.
Выберите один из вариантов
Если прямая $$Ax+5y+8=0$$ образует с осью ординат угол $$90^{\circ}$$, то значение $$A$$ равно:
Так как прямая параллельна оси абсцисс, то ее угловой коэффициент равен $$0$$.
Следовательно, $$A=0$$.
Введите ответ в поле