Загрузка

Аналитическая геометрия

Направляющий вектор прямой, заданной системой уравнений $$x=2-3t$$, $$y=5+4t$$, $$z=-3+t$$, имеет вид:
Так как $$t=\frac{x-2}{-3}$$, $$t=\frac{y-5}{4}$$, $$t=\frac{z+3}{1}$$, 
то $$\frac{x-2}{-3}=\frac{y-5}{4}=\frac{z+3}{1}$$.
Следовательно, $$\bar{l}(-3;4;1)$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Угол наклона бокового ребра $$AB$$ пирамиды с вершинами в точках $$A(-1;3;1)$$, $$B(1;2;-1)$$, $$C(-1;2;0)$$, $$D(2;0;-1)$$ к плоскости грани $$BCD$$ равен:
1. Найдем уравнение плоскости грани $$BCD$$:
$$\begin{vmatrix} x-1 &y-2 & z+1\\ -1-1 & 2-2 & 0+1 \\ 2-1&   0-2 & -1+1 \end{vmatrix}=0$$,
$$\begin{vmatrix} x-1 &y-2 & z+1\\ -2 & 0 & 1 \\ 1 &  -2 &  0 \end{vmatrix}=0$$,
$$2x+y+4z=0$$.
Запишем нормальный вектор плоскости:
$$\bar{n}(2;1;4)$$.
2. Найдем уравнение прямой $$AB$$:
$$\frac{x+1}{1+1}=\frac{y-3}{2-3}=\frac{z-1}{-1-1}$$,
$$\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-1}{-2}$$.
Запишем направляющий вектор прямой:
$$\bar{l}(2;-1;-2)$$.
3. Найдем угол между прямой $$AB$$ и плоскостью $$BCD$$:
$$sin\alpha=\frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 -4 \cdot 2 }{\sqrt{4+1+16} \cdot \sqrt{4+1+4}}=-\frac{5}{3\sqrt{21}}$$,
откуда $$\alpha=arcsin\frac{5}{3\sqrt{21}}$$.
Выберите один из вариантов
Угол между диагоналями четырехугольника $$ABCD$$ с вершинами в точках $$A(3;3)$$, $$B(-3;5)$$, $$C(-2;0)$$ и $$D(1;1)$$ равен:
1. Найдем уравнение прямой $$AC$$:
$$\frac{x-3}{-2-3}=\frac{y-3}{0-3}$$, 
$$\frac{x-3}{5}=\frac{y-3}{3}$$, 
$$y=0,6x+1,2$$.
Следовательно, $$k=0,6$$.
2. Найдем уравнение прямой $$BD$$:
$$\frac{x+3}{1+3}=\frac{y-5}{1-5}$$, 
$$\frac{x+3}{1}=\frac{y-5}{-1}$$, 
$$y=-x+2$$.
Следовательно, $$k=-1$$.
3. Найдем угол между прямыми $$AC$$ и $$BD$$:
$$tg \varphi=\frac{0,6+1}{1-0,6 \cdot 1}=4$$, откуда $$\varphi=arctg4$$.
Выберите один из вариантов
Квадрат расстояния от вершины $$C$$ до стороны $$BD$$ треугольника с вершинами в точках $$B(3;4)$$, $$C(6;-4)$$ и $$D(1;-2)$$ равен:
1. Найдем уравнение стороны $$BD$$:
$$\frac{x-3}{1-3}=\frac{y-4}{-2-4}$$,
$$\frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{3}$$,
$$3x-y-5=0$$.
2. Найдем расстояние от точки $$C$$ до $$BD$$:
$$d=\frac{| 3 \cdot 6 + 1 \cdot 4 -5 |}{\sqrt{9+1}}=\frac{17}{\sqrt{10}}$$.
Введите ответ в поле
Угол, который образует с осью абсцисс прямая, проходящая через точку $$M(2;-1)$$ параллельно вектору $$\bar{b}= 6 \bar{j} + 2 \bar{i}$$, равен:
Зная направляющий вектор прямой $$\bar{b}(2;6)$$  и точку $$M(2;-1)$$, принадлежащую прямой, получим:
$$\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{6}$$, откуда $$y=3x-7$$.
Так как $$k=3=tg \alpha$$, то $$\alpha= arctg3$$.
Выберите один из вариантов
Сумма абсолютных величин координат фокусов гиперболы с действительной осью, равной $$10$$, и эксцентриситетом, равным $$1,2$$, равна:
Так как $$a=5$$, а $$\varepsilon=1,2$$, то $$1,2=\frac{c}{5}$$, откуда $$c=6$$.
Фокусы гиперболы: $$F_{1}(-6;0)$$; $$F_{2}(6;0)$$.
Введите ответ в поле
Если расстояние между  фокусами эллипса равно $$6$$, а сумма его осей равна $$10$$, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:
1. Так как $$2c=6$$, то $$c=3$$.
2. Так как $$2a+2b=10$$, то $$a+b=5$$,  а $$b=5-a$$.
3. Так как $$c^{2}=a^{2}-b^{2}$$, то $$9=a^{2}-25+10a-a^{2}$$,
откуда $$a=3,4$$, $$b=1,6$$.
4. Каноническое уравнение эллипса:
$$\frac{x^{2}}{11,56}+\frac{y^{2}}{2,56}=1$$.
Выберите один из вариантов
Расстояние между плоскостями $$x-2y+3z+5=0$$ и $$3x-6y+9z-15=0$$ равно:
1. Запишем нормальные векторы данных плоскостей:
$$\bar{n}_{1}(1;-2;3)$$; $$\bar{n}_{2}(3;-6;9)$$.
Так как $$\frac{1}{3}=\frac{-2}{-6}=\frac{3}{9} \neq \frac{5}{-15}$$, то плоскости параллельны.
2. Найдем одну из точек, принадлежащих плоскости $$x-2y+3z+5=0$$.
Например, если $$x=-1$$, а $$y=2$$, то $$z=0$$.
3. Найдем расстояние от точки $$M(-1;2;0)$$ до плоскости $$3x-6y+9z-15=0$$:
$$d=\frac{|3 \cdot (-1) - 6 \cdot 2 + 9 \cdot 0 -15|}{\sqrt{9+36+81}}=\frac{10}{\sqrt{14}}$$.
Выберите один из вариантов
Уравнение директрисы параболы, симметричной относительно оси $$Oy$$ и проходящей через точку пересечения прямых $$x-y+1=0$$ и $$x+2y+4=0$$ имеет вид:
1. Решая систему уравнений $$x-y+1=0$$ и $$x+2y+4=0$$, найдем точку, принадлежащую параболе:
$$M(-2;-1)$$.
2. Подставляя координаты точки $$M$$ в уравнение $$x^{2}=2py$$, получим:
$$4=2p \cdot( -1)$$, откуда $$p=-2$$.
3. Запишем уравнений директрисы параболы:
$$y=-0,5 \cdot (-2)$$, $$y=1$$.
Выберите один из вариантов
Каноническое уравнение линии $$4x^{2}-3y^{2}-12y-3=0$$ имеет вид:
Выполним преобразования:
$$4x^{2}-3(y^{2}+4y+4)-3-12=0$$,
$$4x^{2}-3(y+2)^{2}=15$$.
$$\frac{4x^{2}}{15}-\frac{3(y+2)^{2}}{15}=\frac{15}{15}$$,
$$\frac{x^{2}}{3,75}-\frac{(y+2)^{2}}{5}=1$$.
Имеем гиперболу с центром в точке $$M(0;-2)$$.
Выберите несколько вариантов ответов