Загрузка

Способы интегрирования

Найдите интеграл $$\int\frac{5x^{2}-2}{x(x^{2}+2)}dx$$:
1. Формула изменения формы дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int\frac{f(x)dg(x)}{{g}'(x)}$$.
2. Табличный интеграл:
$$\int\frac{dx}{x}=ln|x|+C$$.

Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:
$$\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+2}=\frac{Ax^{2}+2A+Bx^{2}+Cx}{(x-2)(x^{2}+1)}$$,
откуда $$(A+B)x^{2}+Cx+2A=5x^{2}-2$$.
Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменных, получим:
$$\left\{\begin{array}{lr} A+B=5, \\ C=0, \\ 2A=-2 ;\end{array}\right. $$  $$\left\{\begin{array}{lr} A=-1, \\ B=6, \\ C=0. \end{array}\right. $$
Найдем сумму интегралов:
$$l=-\int\frac{dx}{x}+\int\frac{6xdx}{x^{2}+2}$$,
$$l=-lnx+\int\frac{6dx(x^{2}+2)}{(x^{2}+2)2x}$$,
$$l=-ln|x|+3ln(x^{2}+2)+C$$.
При разложении рациональных дробей на сумму простейших дробей необходимо помнить, что степень многочлена-числителя на 1 меньше степени многочлена-знаменателя.
Например:
$$\frac{P_{0}(x)}{P_{1}(x)}=\frac{A}{ax+b}$$,
$$\frac{P_{1}(x)}{P_{2}(x)}=\frac{Ax+B}{ax^{2}+bx +c}$$,
где числа $$A$$, $$B$$, $$C$$ – неопределенные коэффициенты.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{dx}{sinx}$$:
Формулы тригонометрии:
$$cos^{2}x=0,5(1+cos2x)$$,
$$sinx=\frac{2tg0,5x}{1+tg^{2}0,5x}$$,
$$cosx=\frac{1-tg^{2}0,5x}{1+tg^{2}0,5x}$$.
Положим $$tg\frac{x}{2}=t$$, $$sinx=\frac{2t}{1+t^{2}}$$, $$cosx=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$$.
Дифференцируя равенство $$tg\frac{x}{2}=t$$, получим:
$$\frac{dx}{2cos^{2}0,5x}=dt$$,
$$dx=(1+cosx)dt$$,
$$dx=(1+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}})dt$$, 
$$dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$$.
Найдем интеграл:
$$l=\int \frac{2dt(1+t^{2})}{(1+t^{2})2t}=\int \frac{dt}{t}=ln|t|+C$$,
$$l=ln|tg0,5x|+C$$.
Если интеграл имеет вид 
$$\int R(sinx,cos)dx$$, 
где $$R$$ – рациональная функция $$sinx$$ и $$cosx$$,
то необходимо применить подстановку: 
$$tg\frac{x}{2}=t$$, $$sinx=\frac{2t}{1+t^{2}}$$, $$cosx=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int\frac{dx}{\sqrt{x-10x^{2}}}$$:
1. Формула изменения формы дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int\frac{f(x)dg(x)}{{g}'(x)}$$.
2. Табличный интеграл:
$$\int\frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}=arcsin\frac{u}{a}+C$$.
Преобразуем квадратный трехчлен:
$$f(x)=-10\left(x^{2}-\frac{1}{10}x\right)$$,
$$f(x)=-10\left(x^{2}-2\cdot \frac{1}{20}x+\frac{1}{20^{2}}-\frac{1}{20^{2}}\right)$$,
$$f(x)=10\left(\frac{1}{20^{2}}-\left(x-\frac{1}{20}^{2}\right) \right)$$.
Найдем интеграл:
$$l=\frac{1}{\sqrt{10}}\int\frac{d(x-0,05)}{\sqrt{0,05^{2}-(x-0,05)^{2}}}$$,
$$l=\frac{1}{\sqrt{10}}arcsin\frac{x-0,05}{0,05}+C$$.
$$u=x-0,05$$; $$a=0,05$$; $${(x-0,05)}'=1$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$ \int\frac{dx}{5x^{2}-2x+1}$$:
1. Формула изменения формы дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int\frac{f(x)dg(x)}{{g}'(x)}$$.
2. Табличный интеграл:
$$\int\frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}arctg\frac{u}{a}+C$$.
Преобразуем квадратный трехчлен:
$$f(x)=5\left (x^{2}-2 \cdot \frac{1}{5}x+\frac{1}{5}+\frac{1}{25}-\frac{1}{25}\right )$$,
$$f(x)=5 \left (\left(x-\frac{1}{5}\right )^{2}+\frac{4}{25}\right)$$.
Найдем интеграл:
$$l=\frac{1}{5}\int\frac{d(x-0,2)}{(x-0,2)^{2}+0,4^{2}}$$,
$$l=\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{0,4}arctg\frac{x-0,2}{0,4}+C$$.
$$u=x-0,2$$; $$a=0,4$$; $${(x-0,2)}'=1$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int\frac{2x^{3}+3x^{2}-4}{x^{2}-4}dx$$:
Табличные интегралы:
$$\int dx=x+C$$,
$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$,
$$\int\frac{dx}{x}=ln|x|+C$$.
Так как подынтегральная функция предоставлена неправильной рациональной дробью, то выполним деление многочленов:
Запишем результаты деления:
$$\frac{2x^{3}+3x^{2}-4}{x^{2}-4}=2x+3+\frac{8x+8}{x^{2}-9}$$.
Подставим полученную дробь в виде суммы простейших дробей:
$$\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x+2)}=\frac{Ax+2A+Bx-2B}{(x-2)(x+2)}$$,
откуда $$8x+8=(A+B)x+(2A-2B)$$.
Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменных, получим:
$$\left\{\begin{array}{lr} A+B=8, \\ A-B=4; \end{array}\right. $$ $$\left\{\begin{array}{lr} A=6, \\ B=2. \end{array}\right. $$
Найдем сумму интегралов:
$$l=2\int xdx+3\int dx+6\int\frac{d(x-2)}{x-2}+2\int\frac{d(x+2)}{x+2}$$,
$$l=x^{2}+3x+6ln|x-2|+2ln|x+2|+C$$.
Дробной рациональной функцией называют функцию вида:
$$f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}$$,
где $$P_{n}(x)$$ и $$Q_{m}(x)$$ – многочлены степеней $$n$$ и $$m$$ соответственно.
Если $$n
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int\sqrt{2+2x-x^{2}}dx$$:
1. Формула изменения формы дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int\frac{f(x)dg(x)}{{g}'(x)}$$.
2. Табличный интеграл:
$$\int\sqrt{a^{2}-u^{2}}du=\frac{u}{2}\sqrt{a^{2}-u^{2}}+\frac{a^{2}}{2}arcsin\frac{u}{a}+C$$.
Преобразуем квадратный трехчлен:
$$f(x)=-(x^{2}-2x-2)$$,
$$f(x)=-(x^{2}-2x+1-3)$$,
$$f(x)=3-(x-1)^{2}$$.
Найдем интеграл:
$$l=\int\sqrt{3-(x-1)^{2}}d(x-1)$$,
$$l=\frac{x-1}{2}\sqrt{3-(x-1)^{2}}+\frac{3}{2}arcsin\frac{x-1}{\sqrt{3}}+C$$.
$$u=x-1$$; $$a=\sqrt{3}$$; $${(x-1)}'=1$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int24sin^{3}x \cdot cos^{2}xdx$$:
Формулы тригонометрии:
$$sin\alpha x cos\alpha x= \frac{1}{2} sin 2\alpha x$$,
$$sin^{2}x=\frac{1}{2}(1-cos2x)$$,
$$sin\alpha xcos\beta x=\frac{1}{2}(sin(\alpha x -\beta x)+sin(\alpha x+\beta x))$$.
Преобразуем подынтегральную функцию:
$$f(x)=6sinx \cdot 4cos^{2}x \cdot sin^{2}x$$,
$$f(x)=6sinx \cdot sin^{2}2x$$,
$$f(x)=3sinx(1-cos4x)$$,
$$f(x)=3sinx-3sinxcos4x$$,
$$f(x)=3sinx+1,5sin3x-1,5sin5x$$.
Найдем сумму интегралов:
$$l=3\int sinxdx+\frac{1,5}{3}\int sin3xd(3x)-\frac{1,5}{5}\int sin5xd(5x)$$,
$$l=-3cosx-0,5cos3x+0,3cos5x+C$$.
Если интеграл имеет вид $$\int sin^{n}xcos^{m}xdx$$ и числа $$n$$ и $$m$$ четные, то подынтегральную функцию необходимо преобразовать с помощью формул понижения степени:
$$cos^{2}x=0,5(1+cos2x)$$;
$$sin^{2}x=0,5(1-cos2x)$$.
Если хотя бы одно из чисел  $$n$$ и $$m$$ нечетное, то необходимо отделить от нечетной степени один множитель.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{dx}{1+tg0,5x}$$:
Формулы тригонометрии:
$$cos^{2}x=0,5(1+cos2x)$$,
$$sinx=\frac{2tg0,5x}{1+tg^{2}0,5x}$$,
$$cosx=\frac{1-tg^{2}0,5x}{1+tg^{2}0,5x}$$.
Положим:
$$tg\frac{x}{2}=t$$, $$cosx=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$$.
Тогда:
$$\frac{dx}{2cos^{2}0,5x}=dt$$, $$dx=(1+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}})dt$$, $$dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$$.
Получим интеграл:
$$\int \frac{dx}{1+tg0,5x}=\int \frac{2dt}{(1+t^{2})(1+t)}$$.
Подставим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:
$$f(x)=\frac{2}{(t+1)(t^{2}+1)}$$, 
$$f(x)=\frac{A}{t+1}+\frac{Bt+C}{t^{2}+1}$$, 
$$f(x)=\frac{(A+B)t^{2}+(C+B)t+(A+C)}{(t+1)(t^{2}+1)}$$, 
откуда $$\left\{\begin{array}{lr} A+B=0, \\ C+B=0 \\ A+C=2; \end{array}\right. $$   $$\left\{\begin{array}{lr} B=-1, \\ C=1 \\ A=1. \end{array}\right. $$ 
Найдем сумму интегралов:
$$l=\int \frac{dt}{t+1}+\int \frac{(-t+1)dt}{t^{2}+1}$$,
$$l=\int \frac{dt}{t+1}-\int \frac{tdt}{t^{2}+1}+\int \frac{dt}{t^{2}+1}$$,
$$l=\int \frac{d(t+1)}{t+1}-\int \frac{td(t^{2}+1)}{(t^{2}+1)2t}+\int \frac{dt}{t^{2}+1}$$,
$$l=ln|t+1|-0,5ln|t^{2}+1|+arctgt+C$$,
$$l=ln|tg0,5x+1|-ln\sqrt{tg^{2}0,5x+1}+0,5x+C$$,
$$l=ln|tg0,5x+1|+ln|cos0,5x|+0,5x+C$$,
$$l=ln|sin0,5x+cos0,5x|+0,5x+C$$.
$$arctg(tg0,5x)=0,5x$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int\frac{5x-2}{x(x-2)}dx$$:
1. Формула изменения формы дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int\frac{f(x)dg(x)}{{g}'(x)}$$.
2. Табличный интеграл:
$$\int\frac{dx}{x}=ln|x|+C$$.
Представим интегральную функцию в виде суммы простейших дробей:
$$\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}=\frac{Ax-2A+Bx}{x(x-2)}$$, 
откуда $$(A+B)x-2A=5x-2$$.
Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменных, получим:
$$\left\{\begin{array}{lr} A+B=5, \\ -2A=-2; \end{array}\right. $$  $$\left\{\begin{array}{lr} B=4, \\ A=1. \end{array}\right. $$
Найдем сумму интегралов:
$$l=\int\frac{dx}{x}+\int\frac{4d(x-2)}{x-2}$$,
$$l=ln|x|+4ln|x-2|+C$$.
1.Свойства логарифмов:
$$nlog_{a}b=log_{a}b^{n}$$;
$$log_{a}b+log_{a}c=log_{a}bc$$.
2. Преобразование ответа:
$$ln|x|+ln|x-2|^{4}+C=ln|x(x-2)^{4}|+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int\frac{5x-2}{x(x-2)^{2}}dx$$:
1. Изменение формы дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int\frac{f(x)dg(x)}{{g}'(x)}$$.
2. Табличные интегралы:
$$\int\frac{dx}{x}=ln|x|+C$$.
$$\int\frac{dx}{x^{2}}=-\frac{1}{x}+C$$.
Представим подынтегральную функцию в виду суммы простейших дробей:
$$\frac{5x-2}{x(x-2)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^{2}}$$,
$$\frac{5x-2}{x(x-2)^{2}}=\frac{A(x-2)^{2}+B(x^{2}-2x)+Cx}{x(x-2)^{2}}$$, 
откуда $$(A+B)x^{2}+(C-4A-2B)x+4A=5x-2$$.
Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменных, получим:
$$\left\{\begin{array}{lr} A+B=0, \\ C-4A-2B=5, \\ 4A=-2; \end{array}\right. $$ $$\left\{\begin{array}{lr} A=-0,5, \\ B=0,5, \\ C=4. \end{array}\right. $$
Найдем сумму интегралов:
$$l=-\int\frac{dx}{2x}+\int\frac{d(x-2)}{2(x-2)}+\int\frac{4d(x-2)}{(x-2)^{2}}$$,
$$l=-\frac{1}{2}ln|x|+\frac{1}{2}ln|x-2|-\frac{4}{x-2}+C$$.
1.Свойства логарифмов:
$$nlog_{a}b=log_{a}b^{n}$$;
$$log_{a}b-log_{a}c=log_{a}\frac{b}{c}$$.
2. Преобразование ответа:
$$-ln\sqrt{x}+ln\sqrt{x-2}-\frac{6}{x-2}+C=ln\sqrt{\frac{x-2}{x}}-\frac{6}{x-2}+C$$.
Выберите один из вариантов