Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Студент
Неопределенный интеграл КТ 1
45.000

Неопределенный интеграл КТ 1

Найдите интеграл $$\int \frac{(3x^{3}+\sqrt[3]{x^{2}})dx}{\sqrt{x^{3}}}$$:
  1. Преобразуем подынтегральную функцию: 
    $$f(x)=\frac{3x^{3}+x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{3}{2}}}$$, 
    $$f(x)=\frac{3x^{3}}{x^{\frac{3}{2}}}+\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{3}{2}}}$$, 
    $$f(x)=3x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{5}{6}}$$. 
  2. Найдем сумму интегралов:
    $$I=\int 3x^{\frac{3}{2}}dx+\int x^{-\frac{5}{6}}dx$$,
    $$I=\frac{6}{5}x^{\frac{5}{2}}+6x^{\frac{1}{6}}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \textrm{arcsin}2xdx$$:
  1. Полагая $$\textrm{arcsin}2x= u$$, a $$dx=dv$$, получим:
    $$\frac{2dx}{\sqrt{1-4x^{2}}}=du$$, а $$x=v$$.
  2. Применим формулу интегрирования по частям:
    $$I=x\cdot \textrm{arcsin}2x-\int \frac{2xdx}{\sqrt{1-4x^{2}}}$$,
    $$I=x\cdot \textrm{arcsin}2x+\frac{1}{4}\int \frac{d(1-4x^{2})}{\sqrt{1-4x^{2}}}$$,
    $$I=x\cdot \textrm{arcsin}2x+\frac{1}{2}\sqrt{1-4x^{2}}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{e^{\textrm{tg}x}dx}{\cos^{2}x}$$:
Изменим форму дифференциала:
    $$I=\int \frac{e^{\textrm{tg}x}d(\textrm{tg}x)}{\cos^{2}x\cdot(\textrm{tg}x)'}$$,
    $$I=\int e^{\textrm{tg}x}d(\textrm{tg}x)=e^{\textrm{tg}x}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{dx}{16+6x-x^{2}}$$:
  1. Преобразуем квадратные трехчлен:
    $$(x^{2}-6x+9)-25=(x-3)^2 -5^2$$. 
  2. По формуле $$\int \frac{du}{u^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\textrm{ln}\left | \frac{u-a}{u+a} \right |+C$$ получим:
    $$I=-\int \frac{d(x-3)}{(x-3)^{2}-25}$$,
    $$I=-\frac{1}{2\cdot 5}\textrm{ln}\left | \frac{(x-3-5)}{(x-3+5)} \right |+C$$,
    $$I=-\frac{1}{10}\textrm{ln}\left | \frac{x-8}{x+2} \right |+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите и интеграл $$\int \frac{\sqrt[4]{\sqrt{x}-15}}{4\sqrt{x}}$$:
  1. Положим $$\sqrt{x}=t$$, откуда $$x=t^2$$.
    Продифференцируем это равенство:
    $${x}'dx=(t^2)'dt$$, откуда $$dx=2tdt$$. 
  2. Перейдем к новой переменной:
    $$I=\int \frac{\sqrt[4]{t-15}\cdot 2tdt}{4t}$$,
    $$I=\frac{1}{2}\int \frac{(t-15)^{\frac{1}{4}}d(t-15)}{(t-15)'}$$,
    $$I=\frac{2}{5}(t-15)^{\frac{5}{4}}+C$$. 
  3. Учитывая, что $$t=\sqrt{x}$$, получим:
    $$I= 0,4\left ( \sqrt{x}-15 \right )^{1,25}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{5^{2+5x}dx}{2^{5x}}$$:
  1. Преобразуем подынтегральную функцию:
    $$\frac{5^2\cdot 5^{5x}}{2^{5x}}=5^2\cdot 2,5^{5x}$$. 
  2. Найдем интеграл:
    $$5^2\int \frac{2,5^{5x}d5x}{{(5x)}'}=\frac{5\cdot 2,5^{5x}}{\textrm{ln}2,5}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{dx}{\sqrt{2+2x-x^{2}}}$$:
  1. Преобразуем квадратный трехчлен:
    $$-(x^{2}-2x-2)=3-(x-1)^2$$. 
  2. По формуле $$\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}=\textrm{arcsin}\frac{u}{a}+C$$ получим:
    $$\int \frac{d(x-1)}{\sqrt{3-(x-1)^{2}}}=\textrm{arcsin}\frac{x-1}{\sqrt{3}}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \sin^{5}x\cdot \cos^2xdx$$:
  1. Изменим форму дифференциала:
    $$I=\int \frac{\sin^{5}x\cdot \cos^2xd(\cos{x})}{(\cos{x})'}$$,
    $$I=-\int \sin^{4}\cdot \cos^{2}xd(\cos{x})$$. 
  2. Преобразуем подынтегральную функцию:
    $$f(x)=\left (\sin^{2}x \right )^{2}\cdot \cos^2 x$$,
    $$f(x)=\left ( 1-\cos^{2}x \right )^{2}$$,
    $$f(x)=\cos^{2}x-2\cos^{4}x+\cos^{6}x$$. 
  3. Найдем сумму интегралов:
    $$I_{1}=-\int \cos^{2}xd(\cos{x})$$, $$I_{2}=2\int \cos^4 xd(\cos{x})$$, $$I_{3}=-\int \cos^6xd(\cos{x})$$.
    Следовательно: $$I=-\frac{\cos^{3}x}{3}+\frac{2\cos^{5}x}{5}-\frac{\cos^7 x}{7}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int x\sqrt{1+5x}dx$$:
  1. Положим $$\sqrt{1+5x}=t$$, откуда $$x=0,2(x^2-1)$$.
    Продифференцируем это равенство:
    $$x'dt=0,2(t^2-1)'dt$$, откуда $$dx=0,4tdt$$. 
  2. Перейдем к новой переменной:
    $$I=\int 0,2(t^2-1)\cdot t\cdot 0,04tdt$$,
    $$I=0,08\int (t^4-t^2)dt$$,
    $$I=0,08\left ( \frac{t^5}{5}-\frac{t^3}{3}+C \right )$$. 
  3. Учитывая, что $$t=\sqrt{1+5x}$$, получим:
    $$I= \frac{0,08\sqrt{(1+5x)^5}}{5}-\frac{0,08\sqrt{(1+5x)^3}}{3}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{(x-4)dx}{x^{3}+4x^{2}}$$:
  1. Преобразуем подынтегральную функцию:
    $$f(x)=\frac{x-4}{x^{2}(x+4)}$$,
    $$f(x)=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+4}$$,
    $$f(x)=\frac{A(x^{2}+4x)+B(x+4)+Cx^{2}}{x^{2}(x+4)}$$,
    $$f(x)=\frac{(A+C)x^{2}-(4A+B)x+4B}{x^{2}(x+4)}$$. 
  2. Решим систему уравнений:
    $$\left\{\begin{array}{lr} A+C=0, \\ 4A+B=1, \\ 4B=-4; \end{array}\right. $$ $$\left\{\begin{array}{lr} C=-0,5, \\ A=0,5, \\ B=-1. \end{array}\right. $$ 
  3. Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:
    $$\frac{x-4}{x^{3}+4x^{2}}=\frac{0,5}{x}-\frac{1}{x^{2}}-\frac{0,5}{x+4}$$. 
  4. Найдем сумму интегралов:
    $$I=\int \frac{0,5dx}{x}-\int \frac{dx}{x^{2}}-\int \frac{0,5d(x+4)}{x+4}$$,
    $$I=\frac{1}{2}\textrm{ln}\left | x \right |+\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\textrm{ln}\left | x+4 \right |+C$$.
Выберите один из вариантов
© Сиротина И.К., 2013—2026