Загрузка

Неопределенный интеграл

Найдите интеграл $$\int \frac{e^\sqrt{2x}dx}{\sqrt{5x}}$$:
Изменяя формулу дифференциала, получим:
$$I=\int \frac{e^{\sqrt{2x}}dx}{\sqrt{5x}}$$, $$I=\int \frac{e^{\sqrt{2x}}d\sqrt{2x}}{\sqrt{5x}(\sqrt{2x})'}$$, $$I=\int \frac{e^{\sqrt{2x}}d\sqrt{2x}\cdot \sqrt{2}\sqrt{x}}{\sqrt{5}\sqrt{x}}$$, 
$$I=\sqrt{0,4}\int e^{\sqrt{2x}}d\sqrt{2x}$$, $$I=\sqrt{0,4}e^{\sqrt{2x}}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int x^2 sin xdx$$:
Применим формулу интегрирования по частям.
Полагая $$x^2 = u$$, а $$sin xdx = dv$$, получим:
$$2xdx =du$$, а $$-cos x = v$$.
Следовательно, $$I_{1}=-x^2 cos x +2\int x cos xdx$$.
Чтобы найти интеграл $$I_{2}=\int x cos xdx$$, применим еще раз формулу интегрирования по частям.
Полагая $$x = u$$, а $$cos xdx =dv$$, получим:
$$dx=du$$, а $$sin x = v$$.
Следовательно, $$I_{2}= x sin x - \int sin xdx =x sin x + cos x$$.
Запишем ответ:
$$I_{1}=-x^2 cos x +2 sin x +2 cos x +C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int (14-4x)\sqrt[5]{7-2x}dx$$:
Преобразуем подынтегральную функцию:
$$2(7-2x)\sqrt[5]{7-2x}=2(7-2x)^\frac{6}{5}$$.
Найдем интеграл:
$$I=2\int \frac{(7-2x)^\frac{6}{5}d(7-2x)}{-2}$$, $$I=-\frac{5(7-2x)^\frac{11}{5}}{11}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{6-2x}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}dx$$:
Преобразуем подынтегральную функцию:
$$f(x)=\frac{-2(x-3)}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}$$,
$$f(x)=\frac{-2(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3x})}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}$$,
$$f(x)=-2x(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3x})$$.
Найдем сумму интегралов:
$$I=\int x^\frac{2}{3}dx +\sqrt[3]{9}\int dx + \sqrt[3]{3}\int x^\frac{1}{3}dx$$,
$$I=\frac{3}{5}x^\frac{5}{3}+\sqrt[3]{9}x+\frac{3\sqrt[3]{3}}{4}x^\frac{4}{3}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{dx}{1+2 cos^2 0,5 x}$$ :
Положим: $$ tg 0,5x=t$$.
Тогда $$(tg 0,5x)'dx=t'dt$$, $$\frac{dx}{2cos^20,5x}=dt$$, $$dx=(1+cos x)dt$$.
Так как $$cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$, то:
$$dx=(1+\frac{1-t^2}{1+t^2})dt$$, $$dx=\frac{2dt}{1+t^2}$$;
$$1+2 cos^2 0,5x=2+\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{3+t^2}{1+t^2}$$.
Найдем интеграл:
$$I=\int \frac{dx}{1+2cos^20,5x}$$, 
$$I=\int \frac{2 dt\cdot (1+t^2)}{(1+t^2)(3+t^2)}$$, 
$$I=2\int \frac{dt}{3+t^2}$$,
 $$I=\frac{2}{\sqrt{3}}arctg\frac{t}{\sqrt{3}}+C$$,
$$I=\frac{2}{\sqrt{3}}arctg\frac{tg0,5x}{\sqrt{3}}+C$$.

Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{4x+3}{\sqrt{4x-3}}dx$$:
Полагая $$\sqrt{4x-3}=t$$, получим:
$$4x-3=t^2$$, $$4x+3=t^2+6$$, $$dx=\frac{t}{2}dt$$.
Переходя к новой переменной,получим интеграл:
$$I=\int \frac{(t^2+6)tdt}{2\cdot t}$$, $$I=\frac{1}{2}\int (t^2+6)dt$$, $$I=\frac{t^3}{6}+3t+C$$.
Учитывая, что $$t=\sqrt{4x-3}$$, запишем:
$$I=\frac{\sqrt{(4x-3)^3}}{6}+3\sqrt{4x-3}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{dx}{x^2-6x+34}$$ :
Преобразуем квадратный трехчлен:
$$(x^2-6x+9)+25=(x-3)^2+5^2$$.
По формуле $$\int \frac{du}{u^2+a^2}=\frac{1}{a}arctg\frac{u}{a}+C$$ получим:
$$\int \frac{d(x-3)}{(x-3)^2+5^2}=\frac{1}{5}arctg\frac{x-3}{5}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int ln\sqrt[3]{x+3}dx$$ :
Преобразуем интеграл:
$$\int \sqrt[3]{x+3}dx=\frac{1}{3}\int ln(x+3)dx = I$$.
Полагая $$ln(x+3)=u$$, а $$dx=dv$$, получим:
$$\frac{dx}{x+3}=du$$, а $$x=v$$.
Применим формулу интегрирования по частям:
$$I=\frac{1}{3}(x ln (x+3)-\int \frac{xdx}{x+3})$$,
$$I=\frac{x}{3} ln (x+3)-\frac{1}{3}\int \frac{(x+3)-3}{x+3}dx$$,
$$I=\frac{x}{3} ln (x+3)-\frac{1}{3}\int dx+\int \frac{d(x+3)}{x+3}$$,
$$I=\frac{x}{3} ln (x+3)-\frac{x}{3}+ln(x+3)+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int sin 1,5 x sin 4,5 xdx$$:
Преобразуем подынтегральную функцию:
$$f(x)=0,5(cos(1,5x-4,5x) - cos(1,5x+4,5x))$$,
$$f(x)=0,5(cos 3x-cos 6x)$$.
Найдем сумму интегралов:
$$I=\frac{1}{2}\int \frac{cos 3 xd (3x)}{3}-\frac{1}{2}\int \frac{cos 6 xd (6x)}{6}$$,
 $$I=\frac{sin 3x}{6}-\frac{sin 6x}{12}+C$$.
Выберите один из вариантов
Найдите интеграл $$\int \frac{5x^2+2}{x^2-2x}dx$$ :
1. Так как подынтегральная функция представлена неправильной рациональной дробью, то выполним деление многочленов:
Запишем результат деления:
$$\frac{5x^2+2}{x^2-2x}=5+\frac{10x+2}{x^2-2x}$$.
2. Представим полученную дробь в виде суммы простейших дробей.
$$\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}=\frac{(A+B)x-2A}{x(x-2)}$$.
Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменных,  получим систему уравнений:
$$\begin{cases}A+B=10,\\-2A=2;\end{cases}$$ $$\begin{cases}B=11,\\A=-1.\end{cases}$$
3. Найдем сумму интегралов:
$$I=\int 5dx -\int \frac{dx}{x}+\int \frac{11d(x-2)}{x-2}$$, 
$$I=5x-ln|x|+11ln|x-2|+C$$.
Выберите один из вариантов