Загрузка

Нахождение пределов

Значение предела $$\lim_{x \rightarrow -3}\frac{tg(x+3)}{x^{2}+x-6}$$ равно:
Свойства пределов:
1) $$\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x) \cdot g(x))= \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) \cdot \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)$$;
2) $$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{tgx}{x}=1$$.
Разложим квадратный трехчлен на множители:
$$x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$$.
Запишем предел в виде:
$$\lim_{x \rightarrow -3}\frac{tg(x+3)}{(x+3)} \cdot \lim_{x \rightarrow -3}\frac{1}{x-2}=-\frac{1}{5} \lim_{x \rightarrow -3}\frac{tg(x+3)}{(x+3)}$$. 
Полагая $$x+3=y$$, где $$y \rightarrow 0$$, получим:
 $$-\frac{1}{5} \lim_{y \rightarrow 0}\frac{tgy}{y}=-\frac{1}{5} \cdot 1= -\frac{1}{5}$$.
$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{tgx}{x}= \lim_{x \rightarrow 0}\frac{sinx}{cosx \cdot x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sinx}{x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{cosx}=1 \cdot 1= 1$$.
Введите ответ в поле
Значение предела $$ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{arcsin4x}{2x}$$ равно:
Первый замечательный предел:
$$ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1$$.
Полагая $$arcsin4x=y$$, получим:
$$4x=siny$$, где $$y \rightarrow 0$$.
Найдем предел:
$$\lim_{y \rightarrow 0}\frac{y}{0,5siny}=2 \cdot 1 =2$$.
$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{sinx}=\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{sinx}{x})^{-1}=1^{-1}=1$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x \rightarrow \infty} \left (\frac{3x-2}{2x+3} \right )^{2x}$$ равно:
1. Если пределы $$\lim_{x \rightarrow a}f(x)$$ и  $$\lim_{x \rightarrow a}g(x)$$ конечны, то:
$$\lim_{x \rightarrow a}(f(x))^{g(x)}= \left (\lim_{x \rightarrow a}f(x) \right )^{\lim_{x \rightarrow a}g(x)}$$.
2. $$\lim_{x \rightarrow +\infty}a^{x}=+\infty$$, при $$a>1$$.
Поскольку $$\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3x-2}{2x+3}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3-\frac{2}{x}}{2+\frac{3}{x}}=\frac{3}{2}$$, 
a $$\lim_{x \rightarrow \infty}2x=\infty$$, 
то $$\lim_{x \rightarrow \infty}(1,5)^{2x}=\infty$$.
$$\lim_{x \rightarrow  + \infty} a^{x}=0$$ при $$0 < a < 1$$;
$$\lim_{x \rightarrow  - \infty} a^{x}=+ \infty$$ при $$0 < a < 1$$; 
$$\lim_{x \rightarrow  - \infty} a^{x}=0$$ при $$a > 1$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{5x}{tg5x} + \frac{3x^{2}+2x}{x^{2}+5x}+10x^{10})$$ равно:
Свойства пределов:
1) $$\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x) \pm g(x))= \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) \pm \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)$$;
2) $$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{tgkx}{kx}=1$$.
 $$\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{5x}{tg5x} + \frac{3x^{2}+2x}{x^{2}+5x}+10x^{10})=$$
$$=\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{5x}{tg5x} + \lim_{x \rightarrow 0}\frac{3x+2}{x+5} + \lim_{x \rightarrow 0}(10x^{10})=$$
$$= 1+\frac{2}{5}+0=\frac{7}{5}$$.
$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{kx}{tgkx}=1$$.
Выберите один из вариантов
Результат вычисления предела $$\lim_{x \rightarrow \infty} \left (\frac{x-5}{x+4} \right )^{x}$$ равен:
$$\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x))^{g(x)}= \left (\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) \right )^{\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)}$$;
$$\lim_{x \rightarrow \infty} \left (1+\frac{1}{x} \right )^{x}=e$$.
Преобразуем дробь $$\frac{x-5}{x+4}$$:
$$\frac{x-5+4-4}{x+4}=\frac{(x+4)-9}{x+4}=1+\frac{-9}{x+4}$$.
Запишем:
$$\lim_{x \rightarrow \infty} \left (1+\frac{-9}{x+4} \right )^{x}$$.
 Умножим показатель степени на $$\frac{-9}{x+4}$$ и на $$\frac{x+4}{-9}$$ и выполним дальнейшие преобразования:
 $$\lim_{x \rightarrow \infty} \left (1+\frac{-9}{x+4} \right )^{x \cdot \frac{-9}{x+4} \cdot \frac{x+4}{-9}}= \lim_{ x\rightarrow \infty} \left ( \left (1+\frac{-9}{x+4} \right )^{\frac{x+4}{-9}} \right )^{\frac{-9x}{x+4}}=e^{\lim_{ x\rightarrow \infty} \frac{-9x}{x+4}}=e^{-9}$$.
Вычислим предел:
$$\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{-9x}{x+4}= \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{-9}{1+\frac{4}{x}}=\frac{-9}{1+0}=-9$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x \rightarrow 0} \left (\frac{5+3x}{5} \right )^{\frac{1}{x}}$$ равно:
Второй замечательный предел:
$$\lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e$$.
Запишем предел в виде $$\lim_{x \rightarrow 0} \left(1+\frac{3x}{5} \right )^{\frac{1}{x}}$$ и умножим показатель степени на $$\frac{5}{3}$$ и на $$\frac{3}{5}$$:
$$\lim_{x \rightarrow 0} \left(1+\frac{3x}{5} \right )^{\frac{1}{x} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}}=\left (\lim_{x \rightarrow 0} \left(1+\frac{3x}{5} \right )^{\frac{5}{3x}} \right )^{0,6}=e^{0,6}$$.
Второй замечательный предел:
$$\lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e$$ или $$\lim_{x \rightarrow \infty} \left (1+\frac{1}{x} \right )^{x}=e$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{ln(1+5x)}{sinx}$$ равно:
Второй замечательный предел:
$$\lim_{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$$.
$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{ln(1+5x)}{sinx}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x \cdot ln(1+5x)}{x \cdot sinx}= \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x}ln(1+5x) \cdot \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{sinx}=$$
$$=\lim_{x \rightarrow 0}ln(1+5x)^{\frac{1}{x}} \cdot 1=ln \left (\lim_{x \rightarrow 0}(1+5x)^{\frac{1}{5x}} \right )^{5}= lne^{5}=5$$.
Две бесконечно малые $$\alpha (x)$$ и $$\beta (x)$$ называют эквивалентными при $$x \rightarrow x_{0}$$, если
$$\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{\alpha (x)}{ \beta(x)}= \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{\beta(x)}{\alpha (x)}=1$$.
Записывают:
$$\alpha (x) \sim \beta (x)$$ при $$x \rightarrow x_{0}$$.
Так как $$ln(1+5x) \sim 5x$$ при $$x \rightarrow 0$$, то
$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{ln(1+5x)}{sinx}= \lim_{x \rightarrow 0}\frac{5x}{sinx}=5 \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{sinx}=5$$.

Введите ответ в поле
Значение выражения $$5\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{sin5x}{2x}+cos7x)^{-1}$$ равно:
Свойства пределов:
1) $$\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x) \pm g(x))= \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) \pm \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)$$;
2) $$\lim_{x \rightarrow x_{0}}kf(x)= k \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)$$;
3) $$\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x))^{n}=(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x))^{n}$$.
Первый замечательный предел:
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sinx}{x}=1$$ или $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sinkx}{kx}=1$$.
$$5(\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{sin5x}{2x}+cos7x))^{-1}=$$
$$=5(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{5}{2}(\frac{sin5x}{5x})+ \lim_{x \rightarrow 0}(cos7x))^{-1}=$$
$$= 5(\frac{5}{2}+1)^{-1}=\frac{5 \cdot 2}{7}=\frac{10}{7}$$.
$$cos0=1$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-cosx}{x^{2}}$$ равно:
1. Свойства пределов:
$$\lim_{x \rightarrow x_{0}}kf(x)=k \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)$$;
$$\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x))^{n}=(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x))^{n}$$;
$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sinkx}{kx}=1$$.
2. Формула понижения степени:
$$sin^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-cosx}{2}$$.
Учитывая, что $$1-cosx=2sin^{2}\frac{x}{2}$$, получим:
$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-cosx}{x^{2}}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2sin^{2}0,5x}{x^{2}}=\frac{2}{4} \lim_{x \rightarrow 0}\frac{sin^{2}0,5x}{0,25x^{2}}=$$
$$=0,5 \left (\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin0,5x}{0,5x} \right )^{2}=0,5 \cdot 1=0,5$$.
$$1-cosx \sim \frac{x^{2}}{2}$$ при $$x \rightarrow 0$$.
Введите ответ в поле
Значение предела $$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sin^{2}4x}{x^{2}}$$ равно:
Свойства пределов:
1) $$\lim_{x \rightarrow x_{0}}kf(x)= k \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)$$;
2) $$\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x))^{n}=(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x))^{n}$$;
3) $$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sinkx}{kx}=1$$.

$$\lim_{x \rightarrow 0}\left (\frac{sin4x}{x} \right )^{2}=\left (4 \lim_{x \rightarrow 0}\frac{sin4x}{4x}\right )^{2}=(4 \cdot 1)^{2}=16$$.
Значение предела можно найти иначе:
$$\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{sin4x}{x} \cdot \frac{sin4x}{x})=4 \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin4x}{4x} \cdot  4\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sin4x}{4x}=16$$.
Выберите один из вариантов