Пределы КТ 1
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{x-5}{5+x})^{2x}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$1^{\infty }$$.
Выполним преобразования и применим второй замечательный предел:
$$\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{x+5-10}{x+5})^{2x}$$,
$$\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{x+5-10}{x+5})^{2x}$$,
$$\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{-10}{x+5})^{2x}$$,
$$\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{-10}{x+5})^{\frac{x+5}{-10}\cdot \frac{-20x}{x+5}}$$,
$$e^{\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{-20x}{x+5}}=e^{-20}$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{x}{x-3}+\frac{2x}{x+3})$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\infty +\infty$$.
Выполним преобразования:
$$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^2+3x+2x^2-6x}{(x-3)(x+3)}$$, $$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{3x^2-3x}{x^2-9}$$.
Получили неопределенность $$\frac{\infty }{\infty }$$.
Разделим числитель и знаменатель дроби на $$x^2$$:
$$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{3-\frac{3}{x}}{1-\frac{9}{x}}=\frac{3-0}{1-0}=3$$.
Введите ответ в поле
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{8-x^{3}}{5x^2-12x+4}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
1. Разложим квадратный трехчлен на множители:
$$D=144-80=64$$; $$x_1=\frac{12-8}{10}=0,4$$; $$x_2=\frac{12+8}{10}=2$$.
Следовательно, $$5x^2-12x+4=5(x-0,4)(x-2)$$.
2. Найдем предел:
$$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(2-x)(4+2x+x^2)}{(5x-2)(x-2)}$$, $$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{4+2x+x^2}{5x-2}=-\frac{3}{2}$$.
Введите ответ в поле
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{3+x^2+7x}{\sqrt[3]{5x^3-2}}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\frac{\infty }{\infty }$$.
Разделим числитель и знаменатель дроби на $$x$$:
$$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{3}{x}+x+7}{\sqrt[3]{5-\frac{2}{x^3}}}=\frac{0+\infty +7}{\sqrt[3]{5-0}}=\infty $$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x^2-5x}{\sqrt{1-\textrm{cos}2x}}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
Выполним преобразования и применим первый замечательный предел:
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x^2-5x}{\sqrt{1-cos^2x+sin^2x}}$$,
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x^2-5x}{\sqrt{1-cos^2x+sin^2x}}$$,
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(2x-5)}{\sqrt{2}sin x}$$,
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{sin x}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x-5}{\sqrt{2}}=-\frac{5}{\sqrt{2}}$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\textrm{cos}3x}{4x\cdot \textrm{ctg} x}$$ равно:
Выполним преобразования и применим первый замечательный предел:
$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\textrm{cos} 3x}{4x\cdot \textrm{ctg} x}$$, $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\textrm{cos} 3x\cdot \textrm{sin} x}{4x\cdot \textrm{cos} x}$$, $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\textrm{sin} x}{x}\cdot{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\textrm{cos}3x}{4\textrm{cos}x}}=1\cdot{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}$$.
$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\textrm{cos} 3x}{4x\cdot \textrm{ctg} x}$$, $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\textrm{cos} 3x\cdot \textrm{sin} x}{4x\cdot \textrm{cos} x}$$, $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\textrm{sin} x}{x}\cdot{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\textrm{cos}3x}{4\textrm{cos}x}}=1\cdot{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\textrm{ln}(x+1)}{x(x+3)}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
Выполним преобразования и применим второй замечательный предел:
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(x+1)}{x}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x+3}$$, $$\frac{1}{3}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}ln(x+1)$$, $$\frac{1}{3}ln \lim_{x\rightarrow 0}(x+1)^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{3}ln e=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{3}-2x^{2}+2x-1}{x^{3}-x^{2}}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
1. Разложим квадратный трехчлен на множители способом группировки:
$$f(x)=(x-1)(x^{2}+x+1)-2x(x-1)$$, $$f(x)=(x-1)(x^{2}-x+1)$$.
2. Найдем предел:
$$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x^{2}-x+1)}{x^{2}(x-1)}$$, $$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-x+1}{x^2}=1$$.
Введите ответ в поле
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{4-\sqrt{x+16}}}{{x^2+4x}}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
Умножим числитель и знаменатель дроби на $$4+\sqrt{x+16}$$ и применим формулу разности квадратов:
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{16-(x+16)}{(x^2+4x)(4+\sqrt{x+16})}$$, $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-x}{x(x+4)(4+\sqrt{x+16})}$$, $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-1}{(x+4)(4+\sqrt{x+16})}=-\frac{1}{32}$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{x+8}{9x-4})^{-5x}$$ равно:
$$\lim_{x\rightarrow \infty } (\frac{x+8}{9x-4})^{-5x}$$,
$$\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{x+8}{9x-4})^{-5\lim_{x\rightarrow \infty }x}$$,
$$(\frac{1}{9})^{-\infty }=9^\infty =\infty $$.
Выберите один из вариантов