Загрузка

Пределы

Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{x^{2}-3x}{\sqrt{9-x}-3}$$ равно:

Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
Умножим числитель и знаменатель дроби  на $$\sqrt{9-x}+3$$ и применим формулу разности квадратов:
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x^{2}-3x)(\sqrt{9-x}+3)}{(\sqrt{9-x}-3)(\sqrt{9-x}+3)}$$, $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(x-3)(\sqrt{9-x}+3)}{-x}$$, $$-\lim_{x\rightarrow 0}(x-3)(\sqrt{9-x}+3)=3\cdot 6=18$$.
 
Введите ответ в поле
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
1. Разложим квадратный трехчлен на множители:
$$D=9+16=25$$; $$x_{1}=\frac{3-5}{4}=0,5$$; $$x_{2}=\frac{3+5}{4}=2$$.
Следовательно, $$2x^{2}-3x-2=2(x-0,5)(x-2)$$.
2. Найдем предел:
$$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(2x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x-1}{x+2}=\frac{3}{4}$$.
Введите ответ в поле
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow \infty }\left (\frac{2x}{1+4x}  \right )^{x}$$ равно:
$$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{2x}{1+4x} \right )^{\lim_{x\rightarrow \infty }x}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{\infty }=0$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos2x}{ctgx}$$ равно:
Выполним преобразования и применим первый замечательный предел:
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos2x}{4x\cdot tgx}$$, $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^{2}x\cdot cosx}{4x\cdot sinx}$$, $$\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}cosx=\frac{1}{2}$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 0}(cos2x)^{\frac{1}{x^{2}}}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$1^{\infty }$$.
Выполним преобразования и применим второй замечательный предел:
$$\lim_{x\rightarrow 0}(1-sin^{2}x)^{\frac{1}{x^{2}}}$$, $$\lim_{x\rightarrow 0}(1-sin^{2}x)^{\frac{1}{-2sin^{2}x}\cdot \frac{-2sin^{2}x}{x^{2}}}$$, $$e^{-2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^{2}x}{x^{2}}}=e^{-2}$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{5x^{2}+2x-2}{x^{3}-2x^{2}-2}$$ равно:
Имеем неопределенность $$\frac{\infty }{\infty }$$.
Разделим числитель и знаменатель дроби на $$x^3$$:
$$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{5}{x}+\frac{2}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}}{1-\frac{2}{x}-\frac{2}{x^{2}}}=\frac{0+0-0}{1-0-0}=0$$.


Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{x+3}{x-2} \right )^{x}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$1^{\infty }$$.
Выполним преобразования и применим второй замечательный предел:
$$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{x-2+5}{x-2} \right )^{x}$$, $$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{5}{x-2} \right )^{x}$$, $$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{5}{x-2} \right )^{\frac{x-2}{5}\cdot \frac{5x}{x-2}}$$, $$e^{\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{5x}{x-2}}=e^{5}$$.

Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow \infty }(\sqrt{x^{2}+3x}-x)$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\infty -\infty $$.
Выполним преобразования:
$$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\left ( \sqrt{x^{2}+3x}-x \right )\left ( \sqrt{x^{2}+3x}+x \right )}{\sqrt{x^{2}+3x}+x}$$, $$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{3x}{\sqrt{x^{2}+3x}+x}$$.
Получили неопределенность $$\frac{\infty }{\infty }$$.
Разделим числитель и знаменатель дроби на $$x$$:
$$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}+1}}=\frac{3}{2}$$.


Введите ответ в поле
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sinx}{ln(1+2x)}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
Так как $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+2x)}{2x}=ln \lim_{x\rightarrow 0}(1+2x)^{\frac{1}{2x}}=ln e=1$$,
то $$ln(1+2x)\sim 2x$$ при $$x\rightarrow 0$$.
Тогда,  $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sinx}{ln(1+2x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sinx}{2x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1$$.
Выберите один из вариантов
Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ^{5}x}{5x^{5}}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
Выполним преобразования и применим первый замечательный предел:
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ^{5}x}{5x^{5}}=\frac{1}{5}\left ( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x} \right )^{5}=\frac{1}{5}\cdot 1^{5}=\frac{1}{5}$$.

Выберите один из вариантов