Загрузка

Несобственные интегралы

Вычислите несобственный интеграл $$\int_{1}^{2}\frac{dx}{(x-2)^2}$$ или установите его расходимость:

Если функция $$y=f(x)$$ не ограничена в окрестности точки $$b,$$ то:

$$I= \int_{a }^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{a }^{b-\varepsilon} f(x)dx.$$

Поскольку подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки $$x=2,$$ то:

$$I=\int_{1}^{2}\frac{d(x-2)}{(x-2)^2}$$, 

$$I=-\frac{1}{(x-2)}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{2-\varepsilon }$$, 

$$I=-\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{1}{2-\varepsilon -2}-1$$, $$I=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\varepsilon }-1=\infty.$$

Табличный интеграл:

$$\int \frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}+C.$$

Выберите один из вариантов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{3}^{4}\frac{dx}{\sqrt[3]{x-3}}$$  или установите его расходимость:
Если функция $$y=f(x)$$ не ограничена в окрестности точки $$a$$, то:
$$I=\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{a+\varepsilon }^{b}f(x)dx$$.
Поскольку подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки $$x=3$$, то:
$$I=\int_{3}^{4}(x-3)^{-\frac{1}{3}}dx$$,
$$I=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{3+\varepsilon }^{4}(x-3)^{-\frac{1}{3}}d(x-3)$$,
$$I=\frac{3}{2}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}(x-3)^{\frac{2}{3}}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{3+\varepsilon }^{4}$$,
$$I=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}(3+\varepsilon -3)^{\frac{2}{3}}$$,
$$I=\frac{3}{2}-0=\frac{3}{2}$$.
Табличный интеграл:
$$\int x^{n} dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$.
Выберите один из вариантов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{e}^{+\infty }\frac{ln x^2}{x}dx$$ или установите его расходимость:
Интеграл с бесконечным верхним пределом:
$$\int_{a}^{+\infty }f(x)dx=\lim_{b\rightarrow +\infty }\int_{a}^{b}f(x)dx.$$
Табличный интеграл:
$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$.
$$I=\int_{e}^{+\infty }\frac{2lnx}{x}dx$$,
$$I=\int_{e}^{+\infty }\frac{2ln xd(lnx)}{x(lnx)'}$$,
$$I=\int_{e}^{+\infty }2ln xd(lnx)$$,
$$I=\lim_{b\rightarrow +\infty }ln^2x\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{e}^{b}$$,
$$I=\lim_{b\rightarrow +\infty }ln^2b-1=\infty$$.
Свойства пределов:
$$\lim_{n\rightarrow \infty }ln n=\infty $$;
$$\lim_{n\rightarrow 0 }ln n=-\infty $$.
Выберите один из вариантов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{2}^{+\infty }\frac{dx}{5x+3}$$ или установите его расходимость:
Интеграл с бесконечным нижним пределом:
$$\int_{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim_{a\rightarrow -\infty }\int_{a}^{b}f(x)dx$$.
Табличный интеграл:
$$\int \frac{dx}{x}=ln|x|+C$$.
$$I=\int_{2}^{+\infty}\frac{dx}{5x+3}$$, $$I=\lim_{b\rightarrow +\infty}\frac{1}{5}\int_{2}^{b}\frac{d(5x+3)}{5x+3}$$, $$I=\frac{1}{5}\lim_{b\rightarrow +\infty}ln|5x+3|\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{2}^{b}$$, $$I=\frac{1}{5}\lim_{b\rightarrow +\infty }ln|5b+3|-\frac{1}{5}ln13$$, $$I=\infty -\frac{1}{5}ln13=\infty $$.
Свойства пределов:
$$\lim_{x\rightarrow \infty }ln x =\infty$$;
$$\lim_{x\rightarrow 0}ln x=-\infty$$.
Выберите один из вариантов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{-\infty }^{1}\frac{3dx}{x^2}$$ или установите его расходимость:
Интеграл с бесконечным нижним пределом:
$$\int_{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim_{a\rightarrow -\infty }\int_{a}^{b} f(x)dx$$.
Табличный интеграл:
$$\frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}+C$$.
$$I=\int_{-\infty }^{1}\frac{3dx}{x^2}=-\lim_{a\rightarrow -\infty}\frac{3}{x}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{1}$$, $$I=-3+\lim_{a\rightarrow -\infty }\frac{3}{x}$$, $$I=-3-0=-3$$.
Свойства пределов:
$$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x}=0$$; 
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}=\infty$$;
$$\lim_{x\rightarrow \infty }x=\infty $$.
Выберите один из вариантов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{1+4x^2}$$ или установите его расходимость:
Интеграл с бесконечными пределами:
$$\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\lim_{a\rightarrow -\infty }\int_{a}^{c}f(x)dx+\lim_{b\rightarrow +\infty }\int_{c}^{b}f(x)dx$$.
Табличный интеграл:
$$\int \frac{dx}{1+x^2}=arctgx+C$$.
Представим интеграл в виде:
$$I=\int_{-\infty }^{0}\frac{dx}{1+(2x)^2}+\int_{0}^{+\infty }\frac{dx}{1+(2x)^2}$$.
Найдем интегралы:
1) $$I_1=\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{0}\frac{d(2x)}{1+(2x)^2}$$,
$$I_1=\frac{1}{2}\lim_{a\rightarrow -\infty }arctg2x\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{0}$$,
$$I_1=0-\frac{1}{2}\lim_{a\rightarrow -\infty }arctg2a=\frac{\pi }{4}$$;
2) $$I_2=\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty }\frac{d(2x)}{1+(2x)^2}$$,
$$I_2=\frac{1}{2}\lim_{b\rightarrow +\infty }arctg2x\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{b}$$,
$$I_2=\frac{1}{2}\lim_{b\rightarrow +\infty }arctg2b-0=\frac{\pi }{4}$$.
Тогда, $$I=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$$.
Свойства пределов:
$$\lim_{n\rightarrow \infty } arctg n=0,5\pi $$,
$$\lim_{n\rightarrow -\infty } arctg n=-0,5\pi $$;
$$\lim_{n\rightarrow \infty } arcctg n=\pi $$,
$$\lim_{n\rightarrow -\infty } arcctg n=0 $$.
Выберите один из вариантов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{0}^{+\infty } sin xdx$$  или установите его расходимость:
Интеграл с бесконечным верхним пределом:
$$\int_{a}^{+\infty }f(x)dx=\lim_{b\rightarrow +\infty }\int_{a}^{b}f(x)dx.$$
Табличный интеграл:
$$\int sin xdx=-cos x +C$$.
$$I=\int_{0}^{+\infty } sin xdx$$, $$I=\frac{1}{2}\lim_{b\rightarrow +\infty }\int_{0}^{b} sin 2 xd (2x)$$, $$I=-\frac{1}{2}\lim_{b\rightarrow +\infty}cos 2x\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{b}$$, $$I=-\frac{1}{2}\lim_{b\rightarrow +\infty }cos2b+\frac{1}{2}$$.
Так как $$\lim_{b\rightarrow +\infty }cos2b$$ не существует, то интеграл расходится.
Несобственный интеграл сходится, если существует конечный предел соответствующего ему собственного интеграла.
Несобственный интеграл расходится, если предел соответствующего ему собственного интеграла не существует или равен бесконечности.
Выберите один из вариантов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{1}^{2}\frac{dx}{x-1}$$ или установите его расходимость:

Если функция $$y=f(x)$$ не ограничена в окрестности точки $$a,$$ то:

$$I= \int_{a }^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{a+\varepsilon }^{b} f(x)dx.$$

Табличный интеграл:

$$\int \frac{dx}{x}=ln \left |x \right |+C.$$

Поскольку подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки $$x=1,$$ то:

 $$I=\int_{1}^{2}\frac{d(x-1)}{x-1}$$,

 $$I=ln \left |x-1 \right  |_{1+\varepsilon }^{2}$$, 

$$I=ln1-\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} ln \left |1+\varepsilon -1 \right |$$, 

$$I=0-\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} ln \left |\varepsilon \right |=\infty .$$

$$\lim_{x\rightarrow \infty }ln x=\infty ,$$

$$\lim_{x\rightarrow 0 }ln x=- \infty.$$

Выберите один из вариантов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{-\infty }^{0}x^2\cdot 3^{1+x^3}dx$$ или установите его расходимость:
Интеграл с бесконечным нижним пределом:
$$\int_{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim_{a\rightarrow -\infty }\int_{a}^{b}f(x)dx$$.
Табличный интеграл:
$$\int a^xdx=\frac{a^x}{ln a}+C$$.
$$I=\int_{-\infty }^{0} 3x^2\cdot 3^{x^{3}}dx$$,
$$I=\int_{-\infty }^{0}\frac{3x^2\cdot3^{x^{3}}d(x^3)}{3x^2}$$,
$$I=\lim_{a\rightarrow -\infty }\frac{3^{x^{3}}}{ln3}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{0}$$,
$$I=\frac{1}{ln3}-\frac{1}{ln3}\lim_{a\rightarrow -\infty }3^{a^{3}}$$,
$$I=\frac{1}{ln3}-0=\frac{1}{ln3}$$
Несобственный интеграл от неотрицательной функции $$y=f(x)$$   выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции. Если интеграл сходится, то площадь конечна, а если расходится, то бесконечна.
Выберите один из вариантов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{-\infty }^{0}0,3^{2x-1}dx$$ или установите его расходимость:

Несобственным интегралом называют:

1) определенный интеграл, у которого хотя бы один из его пределов бесконечен;

2) определенный интеграл от неограниченной функции.

Несобственный интеграл сходится, если существует конечный предел соответствующего ему собственного интеграла.
Несобственный интеграл расходится, если предел соответствующего ему собственного интеграла не существует или равен бесконечности.
Интеграл с бесконечным нижним пределом можем найти по формуле: $$\int_{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim_{a\rightarrow -\infty }\int_{a }^{b} f(x)dx.$$
Табличный интеграл:
$$\int a^xdx=\frac{a^x}{ln a}+C.$$

Преобразуем подынтегральную функцию:

$$0,3 ^{2x-1}=\frac{0,3^{2x}}{0,3}=\frac{10}{3}\cdot 0,09^x.$$

Найдем интеграл:

$$I=\frac{10}{3}\int_{-\infty }^{0} 0,09^xdx$$, $$I=\frac{10\cdot 0,09^x}{3ln0,09}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-\infty}^{0}$$, $$I=\frac{10\cdot 0,09^0}{3ln0,09}-\frac{10}{3ln0,09}$$$$\lim_{x\rightarrow -\infty } 0,09^x$$, $$I=\frac{10}{3ln0,09}-\infty =-\infty .$$

$$\lim_{n\rightarrow \infty }a^n=\infty , \lim_{n\rightarrow -\infty }a^n=0,$$ если $$a>1;$$

$$\lim_{n\rightarrow \infty }a^n=0,$$$$\lim_{n\rightarrow -\infty }a^n=\infty$$, если $$0<a<1$$.

Выберите один из вариантов