Загрузка

Двойные интегралы

Значение интеграла $$\int_{-1}^{1}dy\int_{0}^{5}\frac{2dx}{(2x-5y)^{2}}$$ равно:
Чтобы вычислить повторный интеграл $$I=\int_{a}^{b}dy\int_{c}^{d}f(x;y)dx$$, необходимо:
1) найти "внутренний " интеграл $$\int_{c}^{d}f(x;y)dx=g(y)$$, считая $$y$$ константой;
2) найти "внешний" интеграл $$\int_{a}^{b}g(y)dy$$.
Найдем "внутренний" интеграл:
$$I_{1}=\int_{0}^{5}\frac{2dx}{(2x-5y)^{2}}$$, $$I_{1}=\int_{0}^{5}\frac{2d(2x-5y)}{(2x-5y)^{2}\cdot 2} $$, $$I_{1}=\frac{1}{2x-5y}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{5}$$, $$I_{1}=-\frac{1}{10-5y}-\frac{1}{5y}$$.
Найдем "внешний" интеграл:
$$I_{2}=-\frac{1}{5}\int_{-1}^{1}\left ( \frac{1}{2-y}+\frac{1}{y} \right )dy$$, $$I_{2}=\frac{1}{5}(ln|2-y|-ln|y|) \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-1}^{1}$$, $$I_{2}=\frac{1}{5}ln\left |\frac{2-y}{y}  \right |\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-1}^{1}$$, $$I_{2}=\frac{1}{5}ln1-\frac{1}{5}ln3=-\frac{1}{5}ln3$$.

$$\int \frac{dy}{2-y}=-\int \frac{d(2-y)}{2-y}=-ln|2-y|+C$$.
Выберите один из вариантов
Значение интеграла $$\int_{-2}^{1}dy\int_{1}^{3}3x^{2}ydx$$ равно:
Чтобы вычислить повторный интеграл $$I=\int_{a}^{b}dy\int_{c}^{d}f(x;y)dx$$, необходимо:
1) Найти "внутренний " интеграл $$\int_{c}^{d}f(x;y)dx=g(y)$$, считая $$y$$ константой;
2) Найти "внешний" интеграл $$\int_{a}^{b}g(y)dy$$.
Преобразуем интеграл:
$$I=\int_{-2}^{1}3ydy\int_{1}^{3}x^{2}dx$$.
Найдем "внутренний" интеграл:
$$I_{1}=\int_{1}^{3}x^{2}dx=\frac{x^{3}}{3} \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{3}=9-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}$$.
Найдем "внешний" интеграл:
$$I_{2}=\int_{-2}^{1}26ydy=13y^{2} | _{-2}^{1}=-39$$.
Интеграл можно преобразовать так:
$$\int_{1}^{3}3x^{2}dx\int_{-2}^{1}ydy$$.
Тогда:
$$I_{1}=\int_{-2}^{1}ydy=\frac{y^{2}}{2}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-2}^{1}=-\frac{3}{2} $$;
$$I_{2}=-\frac{9}{2}\int_{1}^{3}x^{2}dx=-\frac{{3x^{3}}}{2}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{3}=-39$$.
Введите ответ в поле
Если $$f(x;y)=siny$$, $$-5\leq x\leqslant 3$$, $$0\leq y\leq 0,5 \pi $$, то значение повторного интеграла равно:
Если область  интегрирования $$S$$ задана неравенствами $$a\leq x\leq b$$ и $$c\leq y\leq  d$$,то:
$$\int \int _{S}f(x;y)dxdy=\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d} f(x;y)dy$$.
или $$\int \int _{S}f(x;y)dxdy=\int_{c}^{d}dy\int_{a}^{b} f(x;y)dx$$.
Составим повторный интеграл:
$$\int_{-5}^{3}dx\int_{0}^{0,5\pi }sin ydy$$.
Найдем "внутренний" интеграл:
$$I_{1}=\int_{0}^{0,5\pi }sin ydy$$, $$I_{1}=-cosy|_{0}^{0,5\pi }$$, $$I_{1}=0+1=1$$.
Найдем "внешний" интеграл:
$$I_{2}=\int_{-5}^{3 }dx=x|_{-5}^{3}=8$$.
$$\int_{-5}^{3}dx\int_{0}^{0,5\pi }sin ydy=\int_{0}^{0,5\pi }dy \int_{-5}^{3}sin ydx$$.
Выберите один из вариантов
Значение интеграла $$\int_{1}^{4}dy\int_{-1}^{2}dx$$ равно:
Чтобы вычислить повторный интеграл $$I=\int_{a}^{b}dy\int_{c}^{d}f(x;y)dx$$, необходимо:
1) Найти "внутренний " интеграл $$\int_{c}^{d}f(x;y)dx=g(y)$$, считая $$y$$ константой;
2) Найти "внешний" интеграл $$\int_{a}^{b}g(y)dy$$.
Найдем "внутренний" интеграл:
$$\int_{-1}^{2}dx=x | _{-1}^{2}=2+1=3$$.
Найдем "внешний " интеграл:
$$\int_{1}^{4}3dy=y | _{1}^{4}=12-3=9$$.

Тот же результат получим, если запишем интеграл так: $$I=\int_{-1}^{2}dx\int_{1}^{4}dy$$.
Тогда:
1) $$\int_{1}^{4}dy=y |_{1}^{4}=4-1=3$$;
2) $$\int_{-1}^{2}3dx=3x |_{-1}^{2}=6+3=9$$.

Введите ответ в поле
Если $$f(x;y)=\frac{x}{2y}$$, $$-1\leq x\leq 1$$, $$x_{1}=y$$, $$x_{2}=y+2$$, то значение повторного интеграла равно:
Если область интегрирования $$S$$ задана неравенствами $$f_{1}(y)\leq x\leq f_{2}(y)$$ и $$c\leq y\leq d$$, то:
 $$\int \int _{S}f(x;y) dxdy=\int_{c}^{d}dy\int_{f_{1}(y)}^{f_{2}(y)}f(x;y)dx$$.
Составим повторный интеграл:
$$\int_{-1}^{1}dy\int_{y}^{y+2}\frac{x}{2y}dx$$ или $$\int_{-1}^{1}\frac{dy}{2y}\int_{y} ^{y+2}xdx$$.
Найдем "внутренний" интеграл:
$$I_{1}=\int_{y}^{y+2}xdx$$, $$I_{1}=0,5x^{2}|_{y}^{y+2}$$, $$I_{1}=0,5(y+2)^{2}-0,5y^{2}$$, $$I_{1}=2y+2$$.
Найдем "внешний" интеграл:
$$I_{2}=\int_{-1}^{1}\frac{2y+2}{2y}$$, $$I_{2}=\int_{-1}^{1}\left ( 1+\frac{1}{y} \right )dy$$, $$I_{2}=y+ln|y||_{-1}^{1}=2$$.

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$;
$$log_{a}1=1$$, $$ln1=0$$.
Выберите один из вариантов
Значение интеграла $$\int_{0}^{4}3dx\int_{0}^{1}\frac{dy}{2\sqrt{x+y}}$$ равно:
Чтобы вычислить  интеграл $$I=\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f(x;y)dy$$, необходимо:
1) Найти "внутренний " интеграл $$\int_{c}^{d}f(x;y)dy=g(x)$$, считая $$x$$ константой;
2) Найти "внешний" интеграл $$I=\int_{a}^{b}g(x)dx$$.
Найдем "внутренний" интеграл:
$$I_{1}=\int_{0}^{1}\frac{d(x+y)}{2\sqrt{x+y}}$$, $$I_{1}=\sqrt{x+y}|_{0}^{1}$$, $$I_{1}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$$.
Найдем "внешний" интеграл:
$$I_{2}=3\int_{0}^{4}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})dx$$, $$I_{2}=2(x+1)^{\frac{3}{2}}-2x^{\frac{3}{2}}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{1}$$, $$I_{2}=4\sqrt{2}-2-2+0=4\sqrt{2}-4$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C$$, $$\int \sqrt{x}dx=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$$.
Выберите один из вариантов
Значение интеграла $$\int \int _{S}e^{y^{2}}dxdy$$, где область $$S$$ - четырехугольник с вершинами в точках $$A(1; 1)$$, $$B(0; 2)$$, $$C(6; 2)$$,  $$D(4;1)$$, равно:
Если область  интегрирования $$S$$ задана неравенствами $$f_{1}(y)\leq x\leq f_{2}(y) $$ и $$c\leq y\leq d$$, то:
$$\int \int _{S}f(x;y)dxdy=\int_{c}^{d}dy\int_{f_{1}(y)}^{f_{2}(y)}f(x;y)dx$$.
Найдем уравнение прямой $$AB$$:
$$\frac{x-1}{0-1}=\frac{y-1}{2-1}$$, откуда $$x=-y+2$$.
Найдем уравнение прямой $$CD$$:
$$\frac{x-6}{4-6}=\frac{y-2}{1-2}$$, откуда $$x=2y+2$$.
Так как $$1\leq y\leq 2$$, $$x_{1}=-y+2$$, $$x_{2}=2y+2$$, то повторный интеграл имеет вид:
$$\int_{1}^{2}dy\int_{-y+2}^{2y+2}dx$$.
Найдем "внутренний" интеграл:
$$I_{1}=\int_{-y+2}^{2y+2}dx$$, $$I_{1}=x|_{-y+2}^{2y+2}$$, $$I_{1}=2y+2+y-2=3y$$.
Найдем "внешний" интеграл:
$$I_{2}=\int_{1}^{2}3ye^{y^{2}}dy$$, $$I_{2}=1,5\int_{1}^{2}e^{y^{2}}dy^{2}$$, $$I_{2}=1,5e^{y^{2}}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{2}$$, $$I_{2}=1,5e^{4}-1,5e$$.
Если прямая проходит через точки $$M_{1}(x_{1};y_{1})$$ и $$M_{2}(x_{2};y_{2})$$, то ее уравнение находят по формуле:
$$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}$$.
Выберите один из вариантов
Значение интеграла $$\int_{0}^{3}dx\int_{0}^{2}(x^{2}+y)dy$$ равно:
Чтобы вычислить повторный интеграл $$I=\int_{a}^{b}dy\int_{c}^{d}f(x;y)dx$$, необходимо:
1) Найти "внутренний " интеграл $$\int_{c}^{d}f(x;y)dx=g(y)$$, считая $$y$$ константой;
2) Найти "внешний" интеграл $$\int_{a}^{b}g(y)dy$$.
Найдем "внутренний" интеграл:
$$I_{1}=\int_{0}^{2}(x^{2}+y)dy$$, $$I_{1}=x^{2}y+\frac{y^{2}}{2} \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2}$$, $$I_{1}=2x^{2}+2$$.
Найдем "внешний" интеграл:
$$I_{2}=\int_{0}^{1}(2x^{2}+2)dx$$, $$I_{2}=\frac{2x^{3}}{3}+2x \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{3}=24$$.
Тот же результат можно получить, если записать интеграл так $$\int_{0}^{2}dy\int_{0}^{3}(x^{2}+y)dx$$ и выполнить аналогичные действия.
Выберите один из вариантов
Значение интеграла $$\int \int _{S}e^{x+y}$$, где область $$S$$ ограничена линиями $$y=2$$, $$x=0$$, $$y=x$$, равно: 
Если область интегрирования $$S$$ задана неравенствами $$a\leq x\leq b$$ и $$f_{1}(x)\leq y \leq f_{2}(x)$$, то $$\int \int _{S}f(x;y)dxdy =\int_{a}^{b}dx\int_{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}f(x;y)dy$$.
Так как $$0\leq x\leq 2$$, $$y_{1}=x$$, $$y_{2}=2$$, то повторный интеграл имеет вид:
$$\int_{-1}^{2}dx\int_{x}^{2}e^{x+y}dy$$ или $$\int_{-1}^{2}e^{x}dx\int_{x}^{2}e^{y}dy$$.
Найдем "внутренний" интеграл:
$$I_{1}=\int_{x}^{2}e^{y}dy$$, $$I_{1}=e^{y}|_{x}^{2}$$, $$I_{1}=e^{2}-e^{x}$$.
Найдем "внешний" интеграл:
$$I_{2}=\int_{0}^{2}(e^{x+2}+e^{2x})dx$$, $$I_{2}=e^{x+2}+0,5e^{2x}|_{0}^{2}$$, $$I_{2}=e^{4}+0,5e^{4}-e^{2}-0,5$$, $$I_{2}=1,5e^{4}-e^{2}-0,5$$.
$$\int e^{x+2}dx=\int e^{x+2}d(x+2)=e^{x+2}+C $$,
$$\int e^{2x}dx=\int \frac{e^{2x}d(2x)}{2}=\frac{e^{2x}}{2}+C$$.
Выберите один из вариантов
Если $$f(x;y)=x+2y$$, $$-1\leq x\leq 1$$, $$y_{1}=x$$, $$y_{2}=x+2$$, то значение повторного интеграла равно:
Если область интегрирования $$S$$ задана неравенствами $$a\leq x\leq b$$ и $$f_{1}(x)\leq y\leq f_{2}(x)$$, то:
 $$\int \int _{S}f(x;y) dxdy=\int_{a}^{b}dx\int_{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}f(x;y)dy$$.
Составим повторный интеграл:
$$\int_{-1}^{1}dx\int_{x}^{x+2}(x+2y)dy$$.
Найдем "внутренний" интеграл:
$$I_{1}=\int_{x}^{x+2}(x+2y)dy$$, $$I_{1}=xy+y^{2}|_{x}^{x+2}$$, $$I_{1}=x(x+2)+(x+2)^{2}-x^{2}-x^{2}$$, $$I_{1}=6x+4$$.
Найдем "внешний" интеграл:
$$I_{2}=\int_{-1}^{1}(6x+4)dx$$, $$I_{2}=3x^{2}+4x|_{-1}^{1}$$, $$I_{2}=3+4-3+4=8$$.
$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$,
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$.
Выберите один из вариантов