Загрузка

Определенный интеграл

Если $$f(x;y)=e^x$$, $$3\leq y\leq 5$$, $$x_1=1$$, $$x_2=lny$$, то значение повторного интеграла равно:
Составим повторный интеграл:
$$\int_{3}^{5} dy\int_{1}^{ln y} e^xdx$$.
Найдем «внутренний» интеграл:
$$I_1=\int_{1}^{ln y}e^xdx=e^x\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{ln y}=y-e$$.
Найдем «внешний» интеграл:
$$I_2=\int_{3}^{5}(y-e)dy$$,
$$I_2=0,5y^2-ey\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{3}^{5}=8-2e$$.
Выберите один из вариантов
Значение интеграла $$\int_{0}^{0,5\pi }dx\int_{1}^{2}y cos xydy$$   равно:
Преобразуем интеграл:
$$\int_{1}^{2}ydy\int_{0}^{0,5\pi }cosxydx$$.
Найдем «внутренний» интеграл:
$$I_1=\int_{0}^{0,5\pi }\frac{cosxyd(xy)}{y}$$,
$$I_1=\frac{sin xy}{y}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{0,5\pi }$$,
$$I_1=\frac{sin0,5\pi y}{y}$$.
Найдем «внешний» интеграл:
$$I_2=\int_{1}^{2}sin0,5\pi y$$,
$$I_2=\int_{1}^{2}\frac{sin0,5\pi yd(0,5\pi y)}{0,5\pi }$$,
$$I_2=-\frac{2}{\pi }cos0,5\pi y\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{2}=\frac{2}{\pi }$$.
Выберите один из вариантов
 Площадь фигуры, ограниченной линями $$y=ln x$$ , $$y=-\frac{x}{e}+2$$ , $$y=0$$ , равна:
Представим функции $$y=lnx$$ и $$y=-\frac{x}{e}+2$$ в виде:
$$x=e^y$$ и $$x=-ey+2e$$.
Найдем площадь фигуры (рис. 2):
$$S=\int_{0}^{1}(-ey+2e-e^y)dy$$,
$$S=-\frac{ey}{2}+2ey-e^y\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{1}$$,
$$S=0,5e+1$$.

Рис. 2



Выберите один из вариантов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{0}^{0,5\pi} \frac{dx}{cos^2x}$$  или установите его расходимость:
Поскольку подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки $$x=0,5\pi$$, то:
 $$I=\int_{0}^{0,5\pi}\frac{dx}{cos^2x}=tg x\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{0,5\pi }$$,
$$I=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}tgx\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{0,5\pi -\varepsilon }$$,
$$I=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}tg(0,5\pi -\varepsilon )=\infty $$.
Выберите один из вариантов
Объем тела, полученного вращение вокруг оси $$Ox$$ криволинейной трапеции, ограниченной линями $$y=sinx$$, $$x=0$$ и $$x=\frac{\pi }{4}$$, равен:
$$V=\pi \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}sin^2dx$$,
$$V=\frac{\pi }{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}(1-cos2x)dx$$,
$$V=\frac{\pi }{2}(x-\frac{sin2x}{2})\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}$$,
$$V=\frac{\pi }{2}(\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2})$$.
Выберите один из вариантов
Длина дуги кривой $$y=3x-5$$, ограниченной линями $$x=-1$$ и $$x=2$$, равна:
Составим подынтегральную функцию: 
 $$\sqrt{1+(y')^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$$.
Найдем длину дуги:
$$\int_{-1}^{2}\sqrt{10}dx=\sqrt{10}x\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-1}^{2}=3\sqrt{10}$$.
Выберите один из вариантов
Площадь фигуры, ограниченной линями $$y=tg x$$, $$y=0$$, $$x=\pm \frac{\pi }{4}$$, равна:
Фигура схематически изображена на рисунке 1.

Рис. 1

Найдем площадь фигуры:
$$S=2\int_{0}^{0,25\pi }tg xdx$$,
$$S=2\int_{0}^{0,25\pi }\frac{sin xdx}{cosx}$$,
$$S=-2\int_{0}^{0,25\pi }\frac{sin xd (cos x)}{cos x sin x}$$,
$$S=-2ln|cos x|\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{0,25\pi }$$,
$$S=-2ln\frac{1}{\sqrt{2}}=ln 2$$.

Выберите один из вариантов
Вычислите несобственный интеграл $$\int_{-\infty }^{0}\frac{dx}{0,5x^2+2}$$ или установите его расходимость:
$$I=\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{0}\frac{dx}{0,25x^2+1}$$,
$$I=\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{0}\frac{2d(0,5x)}{(0,5x)^2+1}$$
$$I=\lim_{a\rightarrow -\infty }arctg0,5x\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{0}$$,
$$I=0-\lim_{a\rightarrow -\infty }arctg0,5a=-\frac{\pi }{2}$$.
Выберите один из вариантов
Значение интеграла $$\int_{-1}^{0}\frac{6dx}{5\sqrt[3]{x}-3x}$$  равно:
Полагая $$\sqrt[3]{x}=t$$, получим: $$x=t^3$$ , $$dx=3t^2dt$$ .
Так как $$x_1=-1$$, $$x_2=0$$, то $$t_1=\sqrt[3]{-1}=-1$$, $$t_2=\sqrt[3]{0}=0$$.
Вычислим интеграл:
$$I=\int_{-1}^{0}\frac{6t^2dt}{5t-3t^3}$$,
$$I=\int_{-1}^{0}\frac{6tdt}{5-3t^2}$$,
$$I=\int_{-1}^{0}\frac{6td(5-3t^2)}{-6t(5-3t^2)}$$,
$$I=-ln|5-3t^2|\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-1}^{0}$$,
$$I=-ln5 + ln2=ln 0,4$$.

Выберите один из вариантов
Значение интеграла $$\int \int_{S}\frac{xdxdy}{y^2}$$, где область S ограничена линиями $$y=1+x^2$$, $$y=x$$, $$x=0$$ и $$x=2$$, равно:
Составим повторный интеграл:
 $$\int_{0}^{2} xdx\int_{x}^{1+x^2}\frac{dy}{y^2}$$.
Найдем «внутренний интеграл:
$$I_1=\int_{x}^{1+x^2}\frac{dy}{y^2}=-\frac{1}{y}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{x}^{1+x^2}$$,
$$I_1=-\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{x}$$.
Найдем «внешний интеграл:
$$I_2=\int_{0}^{2}(1-\frac{x}{1+x^2})dx$$,
$$I_2=x\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2}-\int_{0}^{2}\frac{xd(1+x^2)}{2x(1+x^2)}$$,
$$I_2=2-\frac{1}{2}ln(1+x^2)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2}$$,
$$I_2=2-ln\sqrt{5}$$.
Выберите один из вариантов