Загрузка

Приложения производной

Приближенное значение $$\sqrt{3,9}$$ равно:
Приближенное значение функции $$y=f(x)$$ в точке $$x=x_{0} +\Delta x$$ находят по формуле:
$$f(x_{0}+\Delta x) \approx f(x_{0})+f^{'}(x_{0}) \cdot \Delta x$$.
1. Имеем функцию:
$$f(x)=\sqrt{x}$$.
2. Найдем её производную:
$$f^{'}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$.
3. Так как $$x_{0}=4$$, а $$\Delta x=-0,1$$, то:
$$\sqrt{4-0,1} \approx f(4)-f^{'}(4) \cdot 0,1$$;
$$\sqrt{3,9} \approx \sqrt{4}- \frac{0,1}{2\sqrt{4}}$$;
$$\sqrt{3,9} \approx 1,975$$.
Сравните:
$$\sqrt{4,1} \approx f(4) + f^{'}(4) \cdot 0,1$$;
$$\sqrt{4,1} \approx \sqrt{4} + \frac{0,1}{2\sqrt{4}}$$;
$$\sqrt{4,1} \approx 2,025$$.
Выберите один из вариантов
Если касательная к некоторой кривой перпендикулярна прямой $$5x-2y+3=0$$, то угол наклона этой касательной к положительному направлению оси абсцисс равен:
1. Прямые $$y=k_{1}x+b_{1}$$ и $$y=k_{2}x+b_{2}$$ перпендикулярны, если:
$$k_{1}k_{2}=-1$$.
2. Если $$\alpha$$ — угол между касательной и положительным направлением оси $$Ox$$, то угловой коэффициент касательной находят по формуле:
$$k=tg\alpha$$.
1. Запишем прямую $$5x-2y+3=0$$ в виде:
$$y=\frac{5}{2}x + \frac{3}{2}$$.
2. Найдем угловой коэффициент касательной:
$$k=-1 : \frac{5}{2}=-\frac{2}{5}$$.
3. Так как $$k=tg\alpha$$, то $$tg\alpha=-\frac{2}{5}$$, откуда
$$\alpha=-arctg\frac{2}{5}$$.
Если касательная пересекает ось абсцисс под углом $$-\alpha$$, то с положительным направлением этой оси она образует угол $$\pi- \alpha$$.
Выберите один из вариантов
Значение $$\lim_{x \to 0} \frac{1-e^{x}cosx}{5x-4x^{2}}$$ равно:
Правило Лопиталя: если функции $$f(x)$$ и $$g(x)$$ определены, дифференцируемы и являются бесконечно малыми в некоторой окрестности точки $$x_{0}$$, то справедливо равенство:
$$\lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_{0}} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$.
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$. Применим правило Лопиталя:
$$L=\lim_{x \to 0}\frac{(1-e^{x}cosx)'}{(5x-4x^{2})'}$$,
$$L=\lim_{x \to 0}\frac{-(e^{x})'cosx-e^{x}(cosx)'}{5-8x}$$,
$$L=\lim_{x \to 0}\frac{-e^{x}cosx+e^{x}sinx}{5-8x}$$,
$$L=\frac{-1\cdot 1+1\cdot 0}{5}=-0,2$$.
$$(uv)'=u'v+uv'$$, где $$u=f_{1}(x)$$, $$v=f_{2}(x)$$.
Выберите один из вариантов
Приближенное значение $$arcsin0,01$$ равно:
Приближенное значение функции $$y=f(x)$$  в точке $$x=x_{0}+\bigtriangleup x$$  находят по формуле:

$$f(x_{0}+\bigtriangleup x)\approx f(x_{0})+f{}'(x_{0})\cdot \bigtriangleup x$$.
1. Имеем функцию:

 $$f(x)=arcsinx$$

2. Найдем ее производную:

 $$f{}'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

3. Запишем:

 $$f(0+0,01)\approx f(0)+f{}'(0)\cdot 0,01$$

4. Получим:

$$arcsin0,01\approx arcsin0+\frac{0,01}{\sqrt{1-0}}$$,

$$arcsin0,01\approx 0+0,01=0,01$$.

Сравните:
$$arcsin0,49=arcsin(0,5-0,01)$$,
$$arcsin0,49 \approx arcsin0,5+\frac{-0,01}{\sqrt{1-0,25}}$$,
$$arcsin0,49 \approx \frac{\pi }{6}-\frac{1}{50\sqrt{3}}$$.
Выберите один из вариантов
Если нормаль к кривой $$f(x)=x^{2}+0,25x-3$$ параллельна прямой $$y=4x+5$$, то сумма координат точки пересечения нормали и кривой равна:
1. Прямые $$y=k_{1}x+b_{1}$$ и $$y=k_{2}x+b_{2}$$ параллельны, если:
$$k_{1}=k_{2}$$ и $$b_{1} \neq b_{2}$$.
2. Угловой коэффициент нормали $$y=kx+b$$ к графику функции $$y=f(x)$$ в точке $$x_{0}$$ находят по формуле:
$$k=-\frac{1}{f^{'}(x_{0})}$$.
1. Найдем производную функции $$f(x)=x^{2}+0,25x-3$$:
$$f^{'}(x)=2x+0,25$$.
2. Так как нормаль параллельна прямой $$y=4x+5$$, то запишем угловой коэффициент нормали:
$$k=4$$.
3. Найдем абсциссу точки пересечения нормали и кривой:
$$k=-\frac{1}{f^{'}(x_{0})}$$,
$$4=-\frac{1}{2x_{0}+0,25}$$, откуда
$$x_{0}=-\frac{1}{4}$$.
4. Найдем ординату точки пересечения нормали и кривой:
$$f(-\frac{1}{4})=\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-3=-3$$.
5. Найдем сумму координат точки пересечения нормали и кривой:
$$-\frac{1}{4}-3=-3\frac{1}{4}$$.

Задачу можно решить иначе.
1. Найдем угловой коэффициент касательной, учитывая, что она перпендикулярна прямой $$y=4x+5$$:
$$k=-1 : 4=-\frac{1}{4}$$.
2. Найдем абсциссу точки касания:
$$k=f^{'}(x_{0})$$,
$$-\frac{1}{4}=2x_{0}+0,25$$, откуда
$$x_{0}=-\frac{1}{4}$$.
Выберите один из вариантов
Значение $$\lim_{x \to 0}(2x^{-1})^{2x}$$ равно:
$$(f(x))^{g(x)}=e^{g(x)lnf(x)}$$;
$$\lim_{x \to a}e^{f(x)}=e^{\lim_{x \to a}f(x)}$$.
Поскольку имеем неопределенность вида $$\infty^{0}$$, то преобразуем функцию:
$$(2x^{-1})^{2x}=e^{2xln2x^{-1}}=e^{2x(ln2-lnx)}$$.
Преобразуем произведение в частное:
$$2x(ln2-lnx)=\frac{ln2-lnx}{\frac{1}{2x}}$$.
Так как при $$ x \to 0$$ имеем неопределенность $$\frac{\infty}{\infty}$$, то применим правило Лопиталя:
$$L=\lim_{x \to 0}\frac{ln2-lnx}{\frac{1}{2x}}$$,
$$L=\lim_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{x}}{-\frac{1}{2x^{2}}}$$,
$$L=\lim_{x \to 0}2x=0$$.
Учитывая, что $$\lim_{x \to a}e^{f(x)}=e^{\lim_{x \to a}f(x)}$$, получим:
$$\lim_{x \to 0}(2x^{-1})^{2x}=e^{0}=1$$.
Свойства логарифмов:
$$log_{a}x^{n}=nlog_{a}x$$;
$$log_{a}\frac{x}{y}=log_{a}x-log_{a}y$$.
Выберите один из вариантов
Значение $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{tg3x}{tgx}$$ равно:
1. Область определения функции $$y=tgx$$:
$$x \in R / x \neq \frac{\pi}{2} +\pi n$$, где $$n \in Z$$.
2. Формула двойного аргумента:
$$sin2x=2sinxcosx$$.
3. Производные функций:
$$(tgkx)'=\frac{k}{cos^{2}kx}$$;
$$(coskx)'=-ksinkx$$;
$$(sinkx)'=kcoskx$$.
Так как число $$\frac{\pi}{2}$$ не входит в область определения функции $$y=tgx$$, то применим правило Лопиталя:
$$L=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{(tgx)'}{(tg3x)'}$$,
$$L=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\frac{1}{cos^{2}x}}{\frac{3}{cos^{2}3x}}$$,
$$L=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{cos^{2}3x}{3cos^{2}x}$$.
Получили неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$. Применим правило Лопиталя:
$$L=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{(cos^{2}3x)'}{3(cos^{2}x)'}$$,
$$L=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{2\cdot 3cos3xsin3x}{2\cdot 3cosxsinx}$$,
$$L=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{sin6x}{sin2x}$$.
Еще раз применим правило Лопиталя:
$$L=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{(sin6x)'}{(sin2x)'}$$,
$$L=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{6cos6x}{2cos2x}$$,
$$L=\frac{3cos3\pi}{cos\pi}=\frac{-3}{-1}=3$$.
Если частное $$\frac{f'(x)}{g'(x)}$$ дает неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$ или $$\frac{\infty}{\infty}$$, то можно несколько раз применять правило Лопиталя (при условии, что все пределы существуют).
Выберите один из вариантов
Уравнение касательной к графику функции $$y=\frac{2x^2}{x-1}$$ в точке с абсциссой $$x_{0}=-1$$ имеет вид:

Уравнение касательной, проведенной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке $$(x_{0};f(x_{0}))$$, находят по формуле: 

$$y=f(x_0)+{f}'(x_0)(x-x_0)$$.

1. Найдем значение функции в точке $$x_{0}=-1$$:
$$f(-1)=\frac{2}{-2}=-1$$.
2. Найдем производную функции:
 $$y{}'=\frac{(2x^2){}'(x-1)-2x^2(x-1){}'}{(x-1)^2}$$,
$$y{}'=\frac{4x(x-1)-2x^2\cdot 1}{(x-1)^2}$$,
$$y{}'=\frac{2x^2-4x}{(x-1)^2}$$.

3. Найдем значение производной в точке $$x_0=-1$$:
$$f{}'(-1)=\frac{2+4}{(-2)^2}=1,5$$.
4. Запишем искомое уравнение касательной:
$$y=-1+1,5(x+1)$$
$$y=1,5x+0,5$$
.
Угловой коэффициент касательной $$y=kx+b$$ к графику функции $$y=f(x)$$ в точке $$x_{0}$$ находят по формуле:
$$k=f{}'(x_{0})$$.
Выберите один из вариантов
Нормаль к графику функции  $$y=e^{2x}$$ в точке $$x_{0}=2$$  имеет вид:
Уравнение нормали, проведенной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке $$(x_{0};f(x_{0}))$$, находят по формуле:
$$y=f(x_{0})-\frac{1}{f{}'(x_{0})}(x-x_{0})$$.
1. Найдем значение функции в точке  $$x_{0}=2$$:

 $$f(2)=e^4$$.

2. Найдем производную функции:

 $$y{}'=e^{2x}(2x){}'=2e^{2x}$$.

3. Найдем значение производной функции в точке $$x_{0}=2$$:

 $$f{}'(2)=2e^4$$.

4. Запишем уравнение нормали:

 $$y=e^{4}-\frac{1}{2e^{4}}(x-2)$$,

 $$y=-0,5e^{-4}x+e^{4}+e^{-4}$$.

Угловой коэффициент нормали $$y=kx+b$$ к графику функции $$y=f(x)$$ в точке $$x_{0}$$ находят по формуле:
$$k=-\frac{1}{f{}'(x_{0})}.$$
Выберите один из вариантов
Значение выражения $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1-x)}{2x}$$ равно:
Правило Лопиталя-Бернулли:

если функции $$f(x)$$ и $$g(x)$$ определены, дифференцируемы и являются бесконечно малыми в некоторой окрестности точки $$x_{0}$$, то справедливо равенство:

$$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}$$.
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$
Применим правило Лопиталя: 
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(ln(1-x)){}'}{(2x){}'}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-1}{2(1-x)}=-0,5$$.

$$(ln(1-x)){}'=\frac{(1-x)^{'}}{1-x}=\frac{-1}{1-x}$$.
Выберите один из вариантов