Приложения частных производных ИТ
1) запишем функцию Лагранжа:
2) найдем частные производные функции Лагранжа:
$$F'_{x}$$ , $$F'_{y}$$ и $$F'_{\lambda }$$;
3) решая систему уравнений $$F'_{x}=0$$ , $$F'_{y }=0$$ и $$F'_{\lambda }=0$$, найдем значения $$\lambda$$, $$x$$ и $$y$$;
4) найдем дифференциал второго порядка $$d^{2}F$$ функции Лагранжа;
5) определим знак $$d^{2}F$$ для системы значений $$\lambda$$, $$x$$ и $$y$$ при условии, что $$\phi '_{x}dx+\phi '_{y}dy=0$$;
6) если $$d^{2}F< 0$$, то функция имеет условный максимум, а если $$d^{2}F> 0$$, то функция имеет условный минимум.
$$F=3+4x+2y+\lambda (x^{2}+y^{2}-5)$$.
2. Найдем частные производные функции Лагранжа:
$$F'_{x}=4+2\lambda x$$;
$$F'_{y}=2+2\lambda y$$;
$$F'_{\lambda }=x^{2}+y^{2}-5$$.
3. Решим систему уравнений:
$$\begin{cases} 4+2\lambda x=0, \\ 2+2\lambda y=0, \\ x^{2}+y^{2}=5. \end{cases}$$
Выразим из первых двух уравнений системы переменные $$x$$ и $$y$$:
Подставим эти значения в третье уравнение системы:
Тогда:
4. Найдем частные производные второго порядка:
Запишем дифференциал второго порядка функции Лагранжа:
6. Найдем значения функции в точке условного максимума:
1) найти частные производные первого порядка функции $$z=f(x;y)$$;
2) найти критические точки функции, решая систему уравнений: $$z'_{x}=0$$ и $$z'_{y}=0$$;
3) найти частные производные второго порядка функции $$z=f(x;y)$$;
4) найти значения вторых производных в критической точке $$M_{0}(x_{0};y_{0})$$:
Если $$\Delta > 0$$, то экстремум в точке $$M_{0}(x_{0};y_{0})$$ есть, а если $$\Delta < 0$$, то экстремума в этой точке нет.
2. Найдем критические точки функции, решая систему уравнений:
Получили: $$M_{0}(2;-2)$$ .
3. Найдем частные производные второго порядка:
$$z''_{xx}=(2x-4)'_{x}=2$$;
$$z''_{xy}=(2x-4)'_{y}=0$$;
$${z}''_{yy}={(2y+4)}'_{y}=2$$.
$$z''_{xx} | _{M_{0}}=2=A$$;
$$z''_{xy} | _{M_{0}}=0=B$$;
$$z''_{yy} | _{M_{0}}=2=C$$.
5. Найдем определитель:
$$\Delta =\begin{vmatrix} 2& 0\\ 0 &2 \end{vmatrix}=4$$.
6. Так как $$\Delta > 0$$ и $$A > 0$$, то $$M_{0}(2;-2)$$ – точка минимума данной функции.
Найдем значение функции в этой точке:
$$f(2;-2)=4+4-8-8+4=-4$$ .
1) найти частные производные первого порядка функции $$z=f(x;y)$$;
2) решить систему уравнений $$z'_{x}=0$$ и $$z'_{y}=0$$.
2. Найдем критические точки функции, решая систему уравнений:
$$\begin{cases}2x+y=2, \\ x+2y=1;\end{cases}$$, $$\begin{cases} 2x+y=2,\\ 2x+4y=2; \end{cases}$$$$\begin{cases} y=0,\\ x=1. \end{cases}$$
Получим: $$M_{0}(1;0)$$ .Тогда, $$1+0=1$$.