Функция многих переменных КТ 1
Среднее арифметическое абсцисс критических точек функции $$z=x^{2}+2xy-4y^{3}$$ равно:
Найдем частные производные данной функции:
$$z'_{x}=2x+2y$$, $$z'_{y}=2x-12y^{2}$$.
Решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lr} x+y=0, \\ x-6y^{2}=0. \end{array}\right. $$
Подставляя значение $$x=6y^{2}$$ в первое уравнение системы получим:
$$6y^{2}+y=0$$, откуда $$y_{1}=0$$, $$y_{2}=-\frac{1}{6}$$.
Тогда, $$x_{1}=0$$, $$x_{2}=\frac{1}{6}$$.
Запишем критические точки:
$$M_{1}(0; 0)$$, $$M_{2}\left ( \frac{1}{6}; -\frac{1}{6} \right )$$.
Найдем среднее арифметическое абсцисс критических точек:
$$\left ( 0+\frac{1}{6} \right) :2=\frac{1}{12}$$.
Выберите один из вариантов
Если $$x^{2}-cos^{2}y=0$$, то значение $$y'_{x}$$ при $$x=-1$$ и $$y=-0,25\pi $$ равно:
Имеем неявную функцию:
$$F(x;y)=x^{2}-cos^{2}y$$.
Найдем ее частные производные:
$$F'_{x}=2x$$;
$$F'_{y}=2cos y sin y$$, $$F'_{y}= sin 2y$$.
По формуле $$y'_{x}=-\frac{F'_{x}}{F'_{y}}$$ получим:
$$y'_{x}=-\frac{2x}{sin 2y}$$.
Найдем значение $$y'_{x}$$ в точке $$(-1; -0,25\pi )$$:
$$y'_{x}=\frac{2}{-1}=-2$$.
Введите ответ в поле
Уравнение нормали к поверхности $$zx+zy-2xy=0$$ в точке $$A(4; -5; 2)$$ имеет вид:
Найдем частные производные функции $$F=zx+zy-2xy$$:
$$F'_{x}=z-2y$$; $$F'_{y}=z-2x$$; $$F'_{z}=x+y$$.
Найдем значения частных производных в точке $$A(4; -5; 2)$$:
$$F'_{x}|_{A}=12$$; $$F'_{y}|_{A}=-6$$; $$F'_{z}|_{A}=-1$$.
Запишем уравнение нормали:
$$\frac{x-4}{12}=\frac{y+5}{-6}=\frac{z-2}{-1}$$.
Выберите один из вариантов
Уравнение касательной плоскости к поверхности $$z=sin 2xy$$ в точке $$M\left ( \frac{\pi }{2}; 1; 0 \right )$$ имеет вид:
Найдем частные производные функции $$z=sin 2xy$$:
$$z'_{x}=2y cos 2xy$$; $$z'_{y}=2x cos 2xy$$.
Найдем значение частных производных в точке $$M\left ( \frac{\pi }{2}; 1; 0 \right )$$:
$$z'_{x}|_{M}=2 cos \pi=-2$$; $$z'_{y}|_{M}=\pi cos \pi =-\pi $$.
Запишем уравнение касательной к плоскости:
$$z=-2\left ( x-\frac{\pi }{2} \right )-\pi \left ( y-1 \right )$$,
$$z=-2x-\pi y+2\pi $$.
Выберите один из вариантов
Сумма модулей координат градиента функции $$u=\frac{\sqrt{z}}{2x+5y}$$ в точке $$M(1; -2; 4)$$ равна:
Найдем частные производные данной функции:
$$u'_{x}=-\frac{2\sqrt{z}}{(2x+5y)^{2}}$$; $$u'_{y}=-\frac{5\sqrt{z}}{(2x+5y)^{2}}$$; $$u'_{z}=-\frac{1}{2\sqrt{z}(2x+5y)}$$.
Найдем значения частных производных в точке $$M(1; -2; 4)$$:
$$u'_{x}|_{M}=-\frac{4}{64}=-\frac{1}{16}$$; $$u'_{y}|_{M}=-\frac{10}{64}=-\frac{5}{32}$$; $$u'_{z}|_{M}=\frac{1}{32}$$.
Найдем значение градиента в точке $$M(1; -2; 4)$$:
$$grad u|_{M}=-\frac{1}{16}\bar{i}-\frac{5}{32}\bar{j}+\frac{1}{32}\bar{k}$$.
Тогда, $$\frac{1}{16}+\frac{5}{32}+\frac{1}{32}=\frac{1}{4}$$.
Введите ответ в поле
Значение функции $$z=xy+5x^{2}-4y$$ в точке минимума при условии что $$y=4x-2$$, равно:
1. Запишем уравнение связи в виде:
$$\phi (x; y)= 4x-y-2$$.
Составим функцию Лагранжа:
$$F=xy+5x^{2}-4y+\lambda (4x-y-2)$$.
2. Найдем частные производные функции Лагранжа:
$$F'_{x}=y+10x+4\lambda $$, $$F'_{y}=x-4-\lambda $$, $$F'_{\lambda }= 4x-y-2$$.
3. Решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lr} y+10x=-4\lambda , \\ x-4=\lambda , \\ 4x-y=2; \end{array}\right. $$, $$\left\{\begin{array}{lr} y+10x=-4\lambda , \\ 4x-16=4\lambda , \\ 4x-y=2; \end{array}\right. $$
Сложим первых два уравнения системы:
$$14x+y=16$$
Сложим полученные уравнения с третьим уравнение системы:
$$18x=18$$, откуда $$x=1$$.
Тогда: $$y=2$$, $$\lambda =-3$$.
Запишем критическую точку: $$M_{0}(1; 2)$$.
4. Найдем частные производные второго порядка функции Лагранжа:
$$F''_{xx}=10$$; $$F''_{yy}=0$$; $$F''_{xy}=1$$.
5. Запишем дифференциал второго порядка функции Лагранжа:
$$d^{2}F=10dx^{2}+2dxdy$$.
6. Найдем дифференциал уравнения связи $$\phi (x; y)= 4x-y-2$$:
$$d\phi =4dx-dy$$.
Учитывая, что $$4dx-dy=0$$, $$dy=4dx$$, получим :
$$d^{2}F=10dx^{2}+8dx^{2}$$, $$d^{2}F=18dx^{2}> 0$$.
Следовательно, в точке $$M_{0}(1; 2)$$ функция имеет условный минимум.
Найдем значение функции $$z=xy+5x^{2}-4y$$ в точке условного максимума:
$$z|_{M_{0}}=2+5-8=-1$$.
Выберите один из вариантов
Производная функции $$z=x-3xy^3$$ в точке $$M(-1;-2)$$ по направлению от этой точки к точке $$N(5;6)$$ равна:
Найдем частные производные данной функции:
1)$$z'_{x}=(x)'_{x}-(3xy^{3})'_{x}$$, $$z'_{x}=1-3y^{3}$$;
2)$$z'_{y}=(x)'_{y}-(3xy^{3})'_{y}$$, $$z'_{y}=-9xy^{2}$$.
Найдем координаты вектора $$\bar{l}$$:
$$\Delta x=5+1=6$$, $$\Delta y=6+2=8$$.
Тогда:
$$\Delta l=\sqrt{36+64}=10$$; $$cos\alpha =0,6$$, $$cos\beta =0,8$$.
Найдем производную по направлению:
$$z'_{l}=0,6(1-3y^{3})-7,2xy^{2}$$.
Найдем значение производной по направлению в точке $$M(-1; -2)$$:
$$z'_{l}|_{M}=0,6(1+24)+28,8=43,8$$.
Введите ответ в поле
Наименьшее значение функции $$z=x^{2}+y^{2}-2y$$ в области, ограниченной линиями $$x=0$$, $$y=0$$ и $$y=x+2$$ равно:
1. Исследуем функцию во внутренних точках заданной области.
Найдем частные производные данной функции:
$$z'_{x}=2x$$; $$z'_{y}=2y-2$$.
Найдем критические точки функции:
$$\left\{\begin{array}{lr} 2x=0 , \\ 2y-2=0; \end{array}\right. $$, $$\left\{\begin{array}{lr} x=0 , \\ y=1. \end{array}\right. $$
Точка $$M(0; 1)$$ принадлежит заданной области (рис. 1) и $$z|_{M}=-1$$.
Рис. 1
2. Исследуем функцию $$z=x^{2}+y^{2}-2y$$ на границе заданной области.
Найдем значение функции в точках $$O(0; 0)$$, $$A(-2; 0)$$ и $$B(0; 2)$$:
$$z|_{O}=0$$, $$z|_{A}=4$$, $$z|_{B}=0$$.
3. Исследуем функцию на отрезке $$OA$$:
$$y=0$$, $$x\in [-2; 0]$$; $$z=f(x)=x^{2}$$; $$f'(x)=2x$$.
Критическая точка: $$x=0\in [-2; 0]$$.
Значение функции: $$z=f(0)=0$$.
4. Исследуем функцию на отрезке $$BO$$:
$$x=0$$, $$y\in [0; 2]$$; $$z=f(y)=y^{2}-2y$$; $$f'(y)=2y-2$$.
Критическая точка: $$y=1\in [0; 2]$$.
Значение функции: $$z=f(1)=-1$$.
5. Исследуем функцию на отрезке $$AB$$:
$$y=x+2$$, $$x\in [-2; 0]$$, $$y\in [0; 2]$$; $$z=f(y)=2x^{2}+2x$$; $$f'(y)=4x+2$$.
Критическая точка: $$x=-0,5\in [-2; 0]$$.
Значение функции: $$z=f(-0,5)=-0,5$$.
6. Наименьшее значение функции равно $$-1$$.
Введите ответ в поле
Значение функции $$z=4x^{2}y-8xy+2x$$ в точке максимума равно:
1. Найдем частные производные первого порядка:
$$z'_{x}=8xy-8y+2$$;
$$z'_{y}=4x^{2}-8x$$.
2. Найдем критические точки функции, решая систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lr} 4xy-4y^{2}=-1, \\ x^{2}-2x=0. \end{array}\right. $$.
Если $$x=2$$, то $$8y-4y^{2}=-1$$, откуда $$y=1 \pm 0,5\sqrt{5}$$.
Критические точки:
$$M_{1}(0; -0,5)$$, $$M_{2}(0; 0,5)$$, $$M_{3}(2; 1 - 0,5\sqrt{5})$$, $$M_{4}(2; 1 + 0,5\sqrt{5})$$.
3. Найдем частные производные второго порядка:
$$z''_{xx}=8y$$; $$z''_{xy}=8x-8$$; $$z''_{yy}=0$$.
4. Рассмотрим точку $$M_{1}(0; -0,5)$$:
$$z''_{xx}|_{M_{1}}=-4=A$$, $$z''_{xy}|_{M_{1}}=-8=B$$, $$z''_{yy}|_{M_{1}}=0=C$$.
$$\Delta =\begin{vmatrix}-4 & -8 \\ -8 & 0 \end{vmatrix}=-64$$.
Так как $$\Delta < 0$$, то в точке $$M_{1}(0; -0,5)$$ экстремума нет.
5. Рассмотрим точку $$M_{2}(0; 0,5)$$:
$$z''_{xx}|_{M_{2}}=4=A$$, $$z''_{yy}|_{M_{2}}=-8=B$$, $$z''_{xy}|_{M_{2}}=0=C$$.
$$\Delta =\begin{vmatrix}4 & -8 \\ -8 & 0 \end{vmatrix}=-64$$.
Так как $$\Delta < 0$$, то в точке $$M_{2}(0; 0,5)$$ экстремума нет.
6. Рассмотрим точку $$M_{3}(2; 1 - 0,5\sqrt{5})$$:
$$z''_{xx}|_{M_{3}}=8-4\sqrt{5}=A$$, $$z''_{xy}|_{M_{3}}=8=B$$, $$z''_{yy}|_{M_{3}}=0=C$$.
$$\Delta =\begin{vmatrix}8-4\sqrt{5} & 8 \\ 8 & 0 \end{vmatrix}=-64$$.
Так как $$\Delta < 0$$, то в точке $$M_{3}(2; 1 - 0,5\sqrt{5})$$ экстремума нет.
7. Рассмотрим точку $$M_{4}(2; 1 + 0,5\sqrt{5})$$:
$$z''_{xx}|_{M_{4}}=8+4\sqrt{5}=A$$, $$z''_{xy}|_{M_{4}}=8=B$$, $$z''_{yy}|_{M_{4}}=0=C$$.
$$\Delta =\begin{vmatrix}8+4\sqrt{5} & 8 \\ 8 & 0 \end{vmatrix}=-64$$.
Так как $$\Delta < 0$$, то в точке $$M_{4}(2; 1 + 0,5\sqrt{5})$$ экстремума нет.
Выберите один из вариантов
Дифференциал второго порядка функции $$z=xe^{2y}+ye^{-2x}$$ в точке $$K(-1; 1)$$ равен:
1. Найдем частные производные первого порядка:
$$z'_{x}=e^{2y}-2ye^{-2x}$$;
$$z'_{y}=2xe^{2y}+e^{-2x}$$.
2. Найдем частные производные второго порядка:
$$z''_{xx}=4ye^{-2x}$$;
$$z''_{yy}=4xe^{2y}$$;
$$z''_{xy}=2e^{2y}-2e^{-2x}$$.
3. Найдем значение частных производных второго порядка в точке $$K(-1; 1)$$ :
$$z''_{xx}|_{K}=4e^{2}$$;
$$z''_{yy}|_{K}=-4e^{2}$$;
$$z''_{xy}|_{K}=2e^{2}-2e^{2}=0$$.
4. Запишем полный дифференциал второго порядка:
$$d^{2}z=4e^{2}dx^{2}-4e^{2}dy^{2}$$.
Выберите один из вариантов