Загрузка

Функция многих переменных

Значение функции $$z=5y^2-4xy+x^2+3x$$  в точке минимума равно:
1. Найдем частные производные первого порядка:
$$z'_x=-4y+2x+3$$;
$$z'_y=10y-4x$$. 
2. Найдем критические точки функции, решая систему уравнений:
$$\left\{\begin{matrix}-4y+2x=-3,\\5y-2x=0;\end{matrix}\right.$$
$$\begin{cases}y=-3,\\x=-7,5.\end{cases}$$
Критическая точка: $$M_0(-7,5;-3)$$. 
3. Найдем частные производные второго порядка:
$$z''_{x}=2$$; $$z''_{xy}=-4$$; $$z''_{yy}=10$$. 
4. Рассмотрим точку $$M_0(-7,5;-3)$$:
$$z''_{xx}|_{M_{0}}=2=A$$, $$z''_{xy}|_{M_{0}}=-4=B$$, $$z''_{yy}|_{M_{0}}=10=C$$;
$$\Delta =\begin{vmatrix}2 & -4\\ -4 & 10\end{vmatrix}=4$$ . 
Так как $$\Delta >0$$  и $$A>0$$, то точка $$M_0(-7,5;-3)$$  является точкой минимума.
 Найдем значение функции в этой точке:
$$z=45-90+56,25-22,5$$ , 
$$z=-11,25$$.
Выберите один из вариантов
Уравнение нормали к поверхности $$z=tg\sqrt{xy-1}$$  в точке $$M(1;5;2)$$  имеет вид:
Запишем поверхность в виде: $$tg\sqrt{xy-1}-z=0$$ . 
Найдем частные производные функции $$F=tg\sqrt{xy-1}-z$$:
$$F'_x=\frac{y}{2xy\sqrt{xy-1}}$$; $$F'_y=\frac{x}{2xy\sqrt{xy-1}}$$; $$F'_z=-1$$. 
 Найдем значения частных производных в точке $$M(1;5;2)$$:
$$F'_x|_{M}=\frac{5}{20}$$; $$F'_y|_{M}=\frac{1}{20}$$; $$F'_z|_{M}=-1$$. 
 Запишем уравнение нормали:
$$\frac{x-1}{\frac{5}{20}}=\frac{y-5}{\frac{1}{20}}=\frac{z-2}{-1}$$, 
$$\frac{x-1}{5}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-2}{-20}$$.
Выберите один из вариантов
Производная функции $$u=\frac{4x^2z}{y}$$  в точке $$M(1;-1;2)$$  по направлению вектора $$\bar{l}(2;1;-1)$$ равна:
Найдем частные производные данной функции:
$$u'_x=\frac{8xz}{y}$$; $$u'_y=-\frac{4x^2z}{y^2}$$; $$u'_z=\frac{4x^2}{y}$$.
 Найдем значения частных производных в точке $$M(1;-1;2)$$:
$$u'_x|_M=-16$$; $$u'_y|_M=8$$; $$u'_z|_M=-4$$.
Так как $$\Delta x=2$$, $$\Delta y=1$$, $$\Delta z=-1$$, $$\Delta l=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$$, то
$$cos\alpha =\frac{2}{\sqrt{6}}$$, $$cos\beta =\frac{1}{\sqrt{6}}$$, $$cos\gamma =-\frac{1}{\sqrt{6}}$$.
 Найдем значение производной по направлению в точке $$M(1;-1;2)$$:
$$u'_l|_M=-\frac{32}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}}$$, $$u'_l|_M=-5\sqrt{6}$$.
Выберите один из вариантов
Произведение координат критических точек функции $$z=x^2-y^2+5x+5y$$  равно:
Найдем частные производные данной функции:
 $$z'_x=2x+5$$; $$z'_y=-2y+5$$. 
 Решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{matrix}2x+5=0,\\-2y+5=0;\end{matrix}\right.$$
$$\begin{cases}x=-2,5,\\y=2,5.\end{cases}$$
 Запишем критическую точку:
 $$M(-2,5;2,5)$$. 
 Найдем произведение координат критической точки:
 $$-2,5\cdot2,5=-6,25$$.
Введите ответ в поле
Если функция задана формулой $$ctg2yz=4x^2$$, то частная производная $$z'_y$$  в точке $$N(\frac{\pi }{8};\frac{\pi }{6};-\frac{\pi }{3})$$ равна:
Имеем неявную функцию $$F=ctg2yz-4x^2$$. 
 Найдем ее частные производные:
$$F'_y=-\frac{2z}{sin^22yz}$$; $$F'_z=-\frac{2y}{sin^22yz}$$. 
 Тогда: $$z'_y=-\frac{F'_y}{F'_z}$$, $$z'_y=-\frac{z}{y}$$, $$z'_y|_N=2$$.
Введите ответ в поле
Наибольшее значение функции $$z=x^2-y^2-x$$  в круге $$x^2+y^2\leq6$$  равно:
1. Исследуем функцию во внутренних точках заданной области. 
 Найдем частные производные функции $$z=x^2-y^2-x$$:
$$z'_x=2x-1$$; $$z'_y=-2y$$. 
Найдем критические точки функции, решая систему уравнений:
$$2x-1=0$$ и $$-2y=0$$. 
Получим точку $$M(0,5;0)$$, которая принадлежит заданной области. 
Тогда, $$z|_{M_{0}}=-0,25$$. 
 2. Найдем наибольшее и наименьшее значения данной функции на границе круга $$x^2+y^2=6$$. 
Подставляя значение $$y^2=6-x^2$$  в уравнение $$z=x^2-y^2-x$$, получим функцию одной переменной:
$$f(x)=2x^2-x-6$$ , где $$x\in |-\sqrt{6};\sqrt{6}|$$. 
 Найдем ее производную: 
$$f'(x)=4x-1$$. 
 Найдем ее критическую точку:
$$x=0,25$$. 
 Найдем значения функции в этой точке и на концах отрезка $$[-\sqrt{6};\sqrt{6}]$$.
$$f(0,25)=-6,125$$; $$f(-\sqrt{6})=6+\sqrt{6}$$; $$f(\sqrt{6})=6-\sqrt{6}$$
3. Сравнивая полученные значения и значение $$z|M_0=-0,25$$, найдем наибольшее значение функции в заданной области:
 $$f(\sqrt{-6})=6+\sqrt{6}$$.
Выберите один из вариантов
Произведение координат точки условного максимума функции $$z=4x-2y$$  при $$x^2+y^2=1$$  равно:

1. Запишем уравнение связи в виде:
$$\varphi =x^2+y^2-1$$ . 
оставим функцию Лагранжа:
$$F=4x-2y+\lambda (x^2+y^2-1)$$. 
2. Найдем частные производные функции Лагранжа:
$$F'_x=4+2\lambda x$$; $$F'_y=-2+2\lambda y$$ ; $$F'_\lambda =x^2+y^2-1$$
3. Решим систему уравнений:
 $$\left\{\begin{matrix}2+\lambda x=0,\\ -1+\lambda y=0,\\ x^2+y^2=1.\end{matrix}\right.$$
Выразим из первых двух уравнений системы переменные $$x$$ и $$y$$:
 $$x=-\frac{2}{\lambda }$$; $$y=\frac{1}{\lambda }$$. 
 Подставим эти значения в третье уравнение системы:
$$\frac{4}{\lambda ^2}+\frac{1}{\lambda ^2}=1$$ , откуда $$\lambda =\pm \sqrt{5}$$. 
Тогда: 
1) если $$\lambda_1 = \sqrt{5}$$, то $$x_1=-\frac{2}{\sqrt{5}}$$, $$y_1=\frac{1}{\sqrt{5}}$$; 
2) если $$\lambda_2 =-\sqrt{5}$$, то  $$x_2=\frac{2}{\sqrt{5}}$$, $$y_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}$$. 
4. Найдем частные производные второго порядка функции Лагранжа:
 $$F''_{xx}=2\lambda $$; $$F''_{xy}=0$$; $$F''_{yy}=2\lambda $$.
Запишем дифференциал второго порядка функции Лагранжа:
 $$d^2F=2\lambda dx^2+2\lambda dy^2$$, $$d^2F=2\lambda (dx^2+dy^2)$$. 
5. Так как $$d^2F<0$$ при $$\lambda _2=-\sqrt{5}$$, то в точке $$M_2(\frac{2}{\sqrt{5}};-\frac{1}{\sqrt{5}})$$  функция имеет условный максимум. 
Тогда, $$\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot -\frac{1}{\sqrt{5}}=-0,4$$.
Введите ответ в поле
Если $$u=5xyz-2x+3y+5z$$, то значение полного дифференциала в точке $$P(-4;0;7)$$  равно:
Найдем частные производные:
$$u'_x=5yz-2$$; $$u'_y=5xz+3$$; $$u'_z=5xy+5$$. 
 Найдем значения частных производных в точке $$P(-4;0;7)$$:
$$u'_x|_P=0$$; $$u'_y|_P=-137$$; $$u'_z|_P=5$$. 
 Запишем полный дифференциал:
 $$du=-137dy+5dz$$.
Выберите один из вариантов
Уравнение касательной плоскости к поверхности $$z=x^2+y^2-xy$$  в точке $$M(-4;2;10)$$  имеет вид:
Найдем частные производные функции :
$$z'_x=2x-y$$; $$z'_y=2y-x$$. 
 Найдем значения частных производных в точке $$M(-4;2;10)$$:
 $$z'_x|_M=-10$$; $$z'_y|_M=8$$
 Запишем уравнение касательной плоскости:
$$z=10-10(x+4)+8(y-2)$$,
$$z=-10x+8y-46$$.
Выберите один из вариантов
Модуль градиента функции $$z=xln(y-2x)$$  в точке $$M(-2;-3)$$  равен:
Найдем частные производные данной функции:
$$z'_x=ln(y-2x)-\frac{2x}{y-2x}$$; $$z'_y=\frac{x}{y-2x}$$.
 Найдем значения частных производных в точке $$M(-2;-3)$$ :
$$z'_x|_M=ln1+\frac{4}{1}=4$$; $$z'_y|_M=\frac{-2}{1}=-2$$.
Найдем значение градиента в точке $$M(-2;-3)$$ :
$$grad z|_M=4\bar{i}-2\bar{j}$$. 
 Тогда, $$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$$.
Выберите один из вариантов