Загрузка

Дифференциальное исчисление

Функция $$y=\frac{-5x}{x+4}$$ выпукла на промежутке:
1. Запишем область определения данной функции:
$$x\in  R/x\neq-4$$.
 2. Найдем первую производную функции:
$$y'=\frac{-5(x+4)+5x}{(x+4)^2}$$, $$y'=\frac{-20}{(x+4)^2}$$
 3. Найдем вторую производную функции:
 $$y''=-\frac{-20\cdot 2(x+4)}{(x+4)^4}$$, $$y''=\frac{40}{(x+4)^3}$$. 
 4. Найдем критические точки второго рода:
 $$\frac{40}{(x+4)^3}=0$$, откуда $$x\neq -4$$. 
 5. Установим знаки второй производной на области определения функции (рис. 2). 

Рис. 2

 6. Функция выпукла на промежутке: $$(-\infty;-4)$$.
Выберите один из вариантов
Значение производной функции $$y=\frac{sin 2x}{1+cos 2x}$$  в точке $$x=0$$ равно:

1. Найдем производную функции:
$$y'=\frac{2cos 2x(1+cos2x)+2sin^2x}{(1+cos2x)^2}$$, $$y'=\frac{2cos2x+2}{(1+cos2x)^2}$$.
2. Найдем значение производной функции в точке $$x=0$$:
$$f'(0)=\frac{2+2}{(1+1)^2}=1$$.
Введите ответ в поле
Произведение наибольшего и наименьшего значений функции $$y=2x^{3}+3x^{2}-36x+1$$  на отрезке $$[-4;3]$$ равно:
1. Найдем производную данной функции:
$$y'=6x^2+6x-36$$ . 
 2. Найдем критические точки функции:
 $$x^2+x-6=0$$, откуда $$x_1=-3$$, $$x_2=2$$. 
 3. Найдем значения функции на концах отрезка и в критических точках:
$$f(-4)=-128+48+144=64$$;
$$f(-3)=-54+27+108=81$$;
$$f(2)=16+12-72=-44$$;
$$f(3)=54+27-108=-27$$.
 4. Наибольшее значение равно $$81$$, наименьшее значение равно $$-44$$, а их сумма равна $$37$$.
Введите ответ в поле
Значение $$\lim_{x\rightarrow \infty }(\sqrt{x^{-1}}ln5x)$$  равно:
Имеем неопределенность вида $$0\cdot \infty $$.
Преобразуем произведение $$\sqrt{x^{-1}}\cdot ln5x^2$$ в частное:
$$\sqrt{x^{-1}}\cdot ln5x^2=\frac{ln5x^2}{\sqrt{x}}$$ . 
 Применим правило Лопиталя:
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{(ln5x^2)'}{(\sqrt{x})'}$$, 
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{10x}{5x^2}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$$, 
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{4}{\sqrt{x}}=0$$.
Выберите один из вариантов
Значение производной второго порядка функции $$y=ln\sqrt[4]{\frac{1-5x}{1+5x}}$$ в точке $$x=0$$  равно:
1. Преобразуем функцию:
 $$y=ln(\frac{1-5x}{1+5x})^{\frac{1}{4}}$$, $$y=\frac{1}{4}ln\frac{1-5x}{1+5x}$$, $$y=\frac{1}{4}(ln-(1-5x)-ln(1+5x))$$. 
 2. Найдем первую производную:
 $$y'=\frac{1}{4}(\frac{(1-5x)'}{1-5x}-\frac{(1+5x)'}{1+5x})$$, $$y'=\frac{1}{4}(\frac{-5}{1-5x}-\frac{5}{1+5x})$$, $$y'=-\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{1-25x^2}$$. 
 3. Найдем вторую производную:
$$y''=\frac{5}{2}\cdot \frac{(1-25x^2)'}{(1-25x^2)^2}$$, $$y''=\frac{5}{2}\cdot\frac{-50x}{(1-25x^2)^2}$$, $$y''= -\frac{125x}{(1-25x^2)^2}$$. 
 4. Тогда,
$$f''(0)=0$$ .
Введите ответ в поле
Функция $$y=3x^4-8x^3+6x^2-10$$  не убывает на промежутке:
1. Запишем область определения данной функции: 
$$x\in R$$ . 
 2. Найдем производную функции: 
$$y'=12x^3-24x^2+12x$$ . 
 3. Найдем критические точки функции: 
$$12x^3-24x^2+12x=0$$,
$$x(x^2-2x+1)=0$$,
$$x(x-1)^2=0$$,
откуда $$x_1=0$$, $$x_{2,3}=1$$. 
 4. Нанесем критические точки на область определения функции и установим знаки производной на полученных промежутках (рис. 1). 

Рис. 1

 5. Функция не убывает на промежутке: $$[0;+\infty)$$.
Выберите один из вариантов
Значение $$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{sinx})$$  равно:
Имеем неопределенность вида $$\infty -\infty $$. 
 Выполним преобразования:
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{sinx}=\frac{sin x-x}{xsinx}$$ . 
 Дважды применим правило Лопиталя: 
 1) $$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(sinx-x)'}{(xsinx)'}$$, $$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-1}{sinx+xcosx}$$;
 2) $$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(cosx-1)'}{(sinx+xcosx)'}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-sinx}{2cosx-xsinx}$$, 
$$L=\frac{0}{2-0}=0$$.
Выберите один из вариантов
Если касательная к графику функции $$f(x)=4cos0,5x$$ наклонена к положительному направлению оси абсцисс под углом $$120^{\circ}$$, то ордината точки касания равна:
1. Найдем производную функции:
$$f'(x)=-2sin0,5x$$ . 
 2. Найдем абсциссу точки касания:
  $$f'(x_0)=tg120^{\circ}$$, $$-2sin0,5x_0=-\sqrt{3}$$, $$sin0,5x_0=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$0,5x_0=\frac{\pi }{3}$$, $$x_0=\frac{2\pi }{3}$$. 
 3. Найдем ординату точки касания:
$$f(\frac{2\pi }{3})=4cos\frac{\pi }{3}=2$$.
Выберите один из вариантов
Приближенное значение $$arctg(-0,03)$$  равно:
1. Имеем:
$$f(x)=arctgx$$; $$x_0=0$$; $$\Delta x=-0,03$$.
 Тогда: $$f(0)=arctg0=0$$; $$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$$; $$f'(0)=\frac{1}{1+0}=-1$$.
 2. Найдем приближенное значение $$arctg(-0,03)$$:
$$f(0-0,03)\approx f(0)-f'(0)\cdot 0,03$$;
$$f(0-0,03)\approx 0-1\cdot 0,03$$;
$$arctg(-0,03)\approx -0,03$$.
 
Выберите один из вариантов
Значение производной функции $$y=(2+x^2)^{arctgx}$$  в точке $$x=0$$  равно:
1. Прологарифмируем обе части равенства $$y=(2+x^2)^{arctgx}$$:
 $$ln y=ln(2+x^2)^{arctgx}$$, $$ln y=arctgx\cdot ln(2+x^2)$$. 
 2. Найдем производные левой и правой части полученного уравнения:
 $$\frac{y'}{y}=\frac{ln(2+x^2)}{1+x^2}+\frac{2x\cdot arctgx}{2+x^2}$$. 
 3. Выразим явно $$y'$$:
 $$y'=y(\frac{ln(2+x^2)}{1+x^2}+\frac{2xarctgx}{2+x^2})$$
 4. Найдем значение производной функции в точке $$x=0$$:
 $$y'(0)=2^0(\frac{ln2}{1}+\frac{0}{2})$$, $$y'(0)=ln2$$.
Выберите один из вариантов