Приложения производной КТ 1
Свободный член уравнения нормали к графику функции $$y=\frac{1-5x}{1+5x}$$ в точке $$x_0=0$$ равен:
1. Найдем значение функции в точке $$x_0=0$$:
$$f(0)=\frac{1-0}{1+0}$$.
2. Найдем производную функции:
$$y'=\frac{-5(1+5x)-5(1-5x)}{(1+5x)^2}$$; $$y'=-\frac{10}{(1+5x)^2}$$.
3. Найдем значение производной в точке $$x_0=0$$:
$$f'(0)=-\frac{10}{1}=-10$$.
4. Найдем уравнение нормали в точке $$x_0=0$$:
$$y=f(x_0)-\frac{1}{f'(x_0)}\cdot (x-x_0)$$;
$$y=1+0,1(x-0)$$;
$$y=0,1x+1$$.
Введите ответ в поле
Если закон движения тела задан функцией $$f(t)=(2+t^2)^3$$, то скорость тела в момент времени $$t=2$$ равна:
1. Найдем производную функции:
$$f'(t)=3(2+t^2)^2(2+t^2)'$$;
$$f'(t)=6t(2+t^2)^2$$.
2. Найдем значение производной в точке $$t=2$$:
$$f'(2)=12\cdot{(2+4)^2}=432$$.
Выберите один из вариантов
Предел функции $$y=\frac{sin 2x}{1+cos 2x}$$ в точке $$x=0$$ равен:
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$.
Применим дважды правило Лопиталя-Бернулли:
$$L=\lim_{x\to 0}\frac {(sin2x)'}{(1-cos2x)'}$$; $$L=\lim_{x\to 0}\frac {2cos2x}{2sin2x}$$;
$$L=\lim_{x\to 0}\frac {(cos2x)'}{(sin2x)'}$$; $$L=\lim_{x\to 0}\frac {-2sin2x}{2cos2x}$$; $$L=\frac{0}{1}$$.
Введите ответ в поле
Если касательная к графику функции $$f(x)=4cos0,5x$$ наклонена к положительному направлению оси абсцисс под углом $$120^{\circ}$$, то ордината точки касания равна:
1. Найдем производную функции:
$$f'(x)=-2sin0,5x$$ .
2. Найдем абсциссу точки касания:
$$f'(x_0)=tg120^{\circ}$$; $$-2sin0,5x_0=-\sqrt{3}$$;
$$sin0,5x_0=\frac{\sqrt{3}}{2}$$; $$0,5x_0=\frac{\pi }{3}$$;
$$x_0=\frac{2\pi }{3}$$.
3. Найдем ординату точки касания:
$$f(\frac{2\pi }{3})=4cos\frac{\pi }{3}=2$$.
Выберите один из вариантов
Функция $$y=3x^4-8x^3+6x^2-10$$ не убывает на промежутке:
1. Запишем область определения данной функции:
$$x\in R$$ .
2. Найдем производную функции:
$$y'=12x^3-24x^2+12x$$ .
3. Найдем критические точки функции:
$$12x^3-24x^2+12x=0$$,
$$x(x^2-2x+1)=0$$,
$$x(x-1)^2=0$$,
откуда $$x_1=0$$, $$x_{2,3}=1$$.
4. Нанесем критические точки на область определения функции и установим знаки производной на полученных промежутках (рис. 1).
Рис. 1
5. Функция не убывает на промежутке: $$[0;+\infty)$$.
Выберите один из вариантов
Значение $$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{sinx})$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\infty -\infty $$.
Выполним преобразования:
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{sinx}=\frac{sin x-x}{xsinx}$$ .
Дважды применим правило Лопиталя:
1) $$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(sinx-x)'}{(xsinx)'}$$, $$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-1}{sinx+xcosx}$$;
2) $$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(cosx-1)'}{(sinx+xcosx)'}$$, $$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-sinx}{2cosx-xsinx}$$, $$L=\frac{0}{2-0}=0$$.
Выберите один из вариантов
Функция $$y=\frac{-5x}{x+4}$$ выпукла на промежутке:
1. Запишем область определения данной функции:
$$x\in R/x\neq-4$$.
2. Найдем первую производную функции:
$$y'=\frac{-5(x+4)+5x}{(x+4)^2}$$, $$y'=\frac{-20}{(x+4)^2}$$.
3. Найдем вторую производную функции:
$$y''=-\frac{-20\cdot 2(x+4)}{(x+4)^4}$$, $$y''=\frac{40}{(x+4)^3}$$.
4. Найдем критические точки второго рода:
$$\frac{40}{(x+4)^3}=0$$, откуда $$x\neq -4$$.
5. Установим знаки второй производной на области определения функции (рис. 2).
Рис. 2
6. Функция выпукла на промежутке: $$(-\infty;-4)$$.
Выберите один из вариантов
Значение $$\lim_{x\rightarrow \infty }(\sqrt{x^{-1}}ln5x)$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$0\cdot \infty $$.
Преобразуем произведение $$\sqrt{x^{-1}}\cdot ln5x^2$$ в частное:
$$\sqrt{x^{-1}}\cdot ln5x^2=\frac{ln5x^2}{\sqrt{x}}$$ .
Применим правило Лопиталя:
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{(ln5x^2)'}{(\sqrt{x})'}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{10x}{5x^2}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{4}{\sqrt{x}}=0$$.
Выберите один из вариантов
Сумма наибольшего и наименьшего значений функции $$y=2x^{3}+3x^{2}-36x+1$$ на отрезке $$[-4;3]$$ равна:
1. Найдем производную данной функции:
$$y'=6x^2+6x-36$$ .
2. Найдем критические точки функции:
$$x^2+x-6=0$$, откуда $$x_1=-3$$, $$x_2=2$$.
3. Найдем значения функции на концах отрезка и в критических точках:
$$f(-4)=-128+48+144=64$$;
$$f(-3)=-54+27+108=81$$;
$$f(2)=16+12-72=-44$$;
$$f(3)=54+27-108=-27$$.
4. Наибольшее значение равно $$81$$, наименьшее значение равно $$-44$$, а их сумма равна $$37$$.
Введите ответ в поле
Приближенное значение $$arctg(-0,03)$$ равно:
1. Имеем:
$$f(x)=arctgx$$; $$x_0=0$$; $$\Delta x=-0,03$$.
Тогда:
$$f(0)=arctg0=0$$; $$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$$; $$f'(0)=\frac{1}{1+0}=-1$$.
2. Найдем приближенное значение $$arctg(-0,03)$$:
$$f(0-0,03)\approx f(0)-f'(0)\cdot 0,03$$;
$$f(0-0,03)\approx 0-1\cdot 0,03$$;
$$arctg(-0,03)\approx -0,03$$.
Выберите один из вариантов