Загрузка

Приложения производной КТ 1

Свободный член уравнения нормали к графику функции $$y=\frac{1-5x}{1+5x}$$ в точке $$x_0=0$$ равен:
1. Найдем значение функции в точке $$x_0=0$$:
 $$f(0)=\frac{1-0}{1+0}$$. 
 2. Найдем производную функции:
 $$y'=\frac{-5(1+5x)-5(1-5x)}{(1+5x)^2}$$; $$y'=-\frac{10}{(1+5x)^2}$$. 
 3. Найдем значение производной в точке $$x_0=0$$:
$$f'(0)=-\frac{10}{1}=-10$$.
 4. Найдем уравнение нормали в точке $$x_0=0$$:
$$y=f(x_0)-\frac{1}{f'(x_0)}\cdot (x-x_0)$$; 
$$y=1+0,1(x-0)$$; 
$$y=0,1x+1$$.
Введите ответ в поле
Если закон движения тела задан функцией $$f(t)=(2+t^2)^3$$, то скорость тела в момент времени $$t=2$$ равна:
1. Найдем производную функции: 
$$f'(t)=3(2+t^2)^2(2+t^2)'$$; 
$$f'(t)=6t(2+t^2)^2$$. 
2. Найдем значение производной в точке $$t=2$$: 
$$f'(2)=12\cdot{(2+4)^2}=432$$.
Выберите один из вариантов
Предел функции $$y=\frac{sin 2x}{1+cos 2x}$$ в точке $$x=0$$ равен:

Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$. 
Применим дважды правило Лопиталя-Бернулли: 
$$L=\lim_{x\to 0}\frac {(sin2x)'}{(1-cos2x)'}$$; $$L=\lim_{x\to 0}\frac {2cos2x}{2sin2x}$$; 
$$L=\lim_{x\to 0}\frac {(cos2x)'}{(sin2x)'}$$; $$L=\lim_{x\to 0}\frac {-2sin2x}{2cos2x}$$; $$L=\frac{0}{1}$$.
Введите ответ в поле
Если касательная к графику функции $$f(x)=4cos0,5x$$ наклонена к положительному направлению оси абсцисс под углом $$120^{\circ}$$, то ордината точки касания равна:
1. Найдем производную функции:
$$f'(x)=-2sin0,5x$$ . 
 2. Найдем абсциссу точки касания:
  $$f'(x_0)=tg120^{\circ}$$; $$-2sin0,5x_0=-\sqrt{3}$$;
 $$sin0,5x_0=\frac{\sqrt{3}}{2}$$; $$0,5x_0=\frac{\pi }{3}$$;
 $$x_0=\frac{2\pi }{3}$$. 
 3. Найдем ординату точки касания:
$$f(\frac{2\pi }{3})=4cos\frac{\pi }{3}=2$$.
Выберите один из вариантов
Функция $$y=3x^4-8x^3+6x^2-10$$  не убывает на промежутке:
1. Запишем область определения данной функции: 
$$x\in R$$ . 
 2. Найдем производную функции: 
$$y'=12x^3-24x^2+12x$$ . 
 3. Найдем критические точки функции: 
$$12x^3-24x^2+12x=0$$,
$$x(x^2-2x+1)=0$$,
$$x(x-1)^2=0$$,
откуда $$x_1=0$$, $$x_{2,3}=1$$. 
 4. Нанесем критические точки на область определения функции и установим знаки производной на полученных промежутках (рис. 1). 

Рис. 1

 5. Функция не убывает на промежутке: $$[0;+\infty)$$.
Выберите один из вариантов
Значение $$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{sinx})$$  равно:
Имеем неопределенность вида $$\infty -\infty $$. 
 Выполним преобразования:
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{sinx}=\frac{sin x-x}{xsinx}$$ . 
 Дважды применим правило Лопиталя: 
 1) $$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(sinx-x)'}{(xsinx)'}$$, $$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-1}{sinx+xcosx}$$; 
 2) $$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(cosx-1)'}{(sinx+xcosx)'}$$, $$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-sinx}{2cosx-xsinx}$$, $$L=\frac{0}{2-0}=0$$.
Выберите один из вариантов
Функция $$y=\frac{-5x}{x+4}$$ выпукла на промежутке:
1. Запишем область определения данной функции:
$$x\in  R/x\neq-4$$.
 2. Найдем первую производную функции:
$$y'=\frac{-5(x+4)+5x}{(x+4)^2}$$, $$y'=\frac{-20}{(x+4)^2}$$
 3. Найдем вторую производную функции:
 $$y''=-\frac{-20\cdot 2(x+4)}{(x+4)^4}$$, $$y''=\frac{40}{(x+4)^3}$$. 
 4. Найдем критические точки второго рода:
 $$\frac{40}{(x+4)^3}=0$$, откуда $$x\neq -4$$. 
 5. Установим знаки второй производной на области определения функции (рис. 2). 

Рис. 2

 6. Функция выпукла на промежутке: $$(-\infty;-4)$$.
Выберите один из вариантов
Значение $$\lim_{x\rightarrow \infty }(\sqrt{x^{-1}}ln5x)$$  равно:
Имеем неопределенность вида $$0\cdot \infty $$.
Преобразуем произведение $$\sqrt{x^{-1}}\cdot ln5x^2$$ в частное:
$$\sqrt{x^{-1}}\cdot ln5x^2=\frac{ln5x^2}{\sqrt{x}}$$ . 
 Применим правило Лопиталя:
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{(ln5x^2)'}{(\sqrt{x})'}$$, 
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{10x}{5x^2}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$$, 
$$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{4}{\sqrt{x}}=0$$.
Выберите один из вариантов
Сумма наибольшего и наименьшего значений функции $$y=2x^{3}+3x^{2}-36x+1$$  на отрезке $$[-4;3]$$ равна:

1. Найдем производную данной функции:
$$y'=6x^2+6x-36$$ . 
 2. Найдем критические точки функции:
 $$x^2+x-6=0$$, откуда $$x_1=-3$$, $$x_2=2$$. 
 3. Найдем значения функции на концах отрезка и в критических точках:
$$f(-4)=-128+48+144=64$$;
$$f(-3)=-54+27+108=81$$;
$$f(2)=16+12-72=-44$$;
$$f(3)=54+27-108=-27$$.
 4. Наибольшее значение равно $$81$$, наименьшее значение равно $$-44$$, а их сумма равна $$37$$.
Введите ответ в поле
Приближенное значение $$arctg(-0,03)$$  равно:
1. Имеем:
$$f(x)=arctgx$$; $$x_0=0$$; $$\Delta x=-0,03$$.
 Тогда: 
$$f(0)=arctg0=0$$; $$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$$; $$f'(0)=\frac{1}{1+0}=-1$$.
 2. Найдем приближенное значение $$arctg(-0,03)$$:
$$f(0-0,03)\approx f(0)-f'(0)\cdot 0,03$$;
$$f(0-0,03)\approx 0-1\cdot 0,03$$;
$$arctg(-0,03)\approx -0,03$$.
 
Выберите один из вариантов