Загрузка

Дифференциальное исчисление

Значение $$\lim_{x\rightarrow 1}\left ( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{lnx} \right )$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\infty -\infty $$.
Выполним преобразования:
$$ \frac{1}{x-1}-\frac{1}{lnx}=\frac{lnx-x+1}{(x-1)lnx}$$.
Дважды применим правило Лопиталя:
1) $$L=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(lnx-x+1)'}{((x-1)lnx)'}$$, $$L=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac{1}{x}-1}{lnx+\frac{x-1}{x}}$$, $$L=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x}{xlnx+ x-1}$$;
2) $$L=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(1-x)'}{(xlnx+ x-1)'}$$, $$L=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-1}{lnx+1+1}=-\frac{1}{2}$$.
Выберите один из вариантов
Значение дифференциала функции $$y=arcsin cos x$$ в точке $$x=\frac{4\pi }{3}$$ равно:
1. Найдем производную функции:
$$y'=\frac{(cosx)'}{\sqrt{1-cos^{2}x}}$$, $$y'=\frac{-sinx}{\sqrt{sin^{2}x}}$$, $$y'=-\frac{sin x}{|sinx|}$$.
2. Запишем дифференциал функции:
 $$dy=-\frac{sin x}{|sinx|}dx$$.
3. Так как $$sin\frac{4\pi }{3}< 0$$, то  $$dy=-\frac{sin x}{-sinx}dx$$$$dy=dx$$.
Выберите один из вариантов
Значение (или среднее арифметическое значений) функции $$f(x)=\frac{x^{2}}{8+4x}$$ в точке (в точках) максимума равно:
1. Запишем область определения данной функции:
$$x\in R / x\neq -2  $$.
2. Найдем производную функции:
$$y'=\frac{2x(8+4x)-4x^{2}}{(8+4x)^{2}}$$, $$y'=\frac{4x^{2}+16x}{(8+4x)^{2}}$$.
3. Найдем критические функции точки:
$$\frac{4x^{2}+16x}{(8+4x)^{2}}=0$$, $$\frac{x(x+4)}{(8+4x)^{2}}=0$$, откуда $$x=0$$, $$x=-4$$, $$x\neq -2$$.
4. Нанесем критические точки на область определения функции и установим знаки производной на полученных промежутках (рис. 1).

Рис. 1

5. Точка максимума: $$x=-4$$.
Тогда, $$f(-4)=\frac{16}{8-16}=-2$$.
Выберите один из вариантов
Значение $$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{7x^{2}+lnx}{7x^{2}+x}$$ равно:
Имеем неопределенность вида $$\frac{\infty }{\infty }$$.
Дважды применим правило Лопиталя:
1) $$L=\lim_{x\rightarrow \infty }=\frac{(7x^{2}+lnx)'}{(7x^{2}+x)'}$$, $$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{14x+\frac{1}{x}}{14x+1}$$, $$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{14x^{2}+1}{14x^{2}+x}$$;
2) $$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{(14x^{2}+1)'}{(14x^{2}+x)'}$$, $$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{28x}{28x+1}=1$$.
Выберите один из вариантов
Сумма значений функции $$y=\frac{x^{5}}{5}-\frac{2x^{3}}{3}+x-2$$ в точках перегиба равна:
1. Найдем первую производную функции:
$$y'=x^{4}-2x^{2}+1$$, $$y'=(x^{2}-1)^{2}$$.
2. Найдем вторую производную функции:
$$y''=2(x^{2}-1)(x^{2}-1)'$$, $$y''=4x(x^{2}-1)$$.
3. Найдем критические точки второго рода:
$$4x(x^{2}-1)=0$$, откуда $$x_{1}=0$$, $$x_{2}=1$$, $$x_{3}=-1$$.
4. Нанесем критические точки на область определения функции и установим знаки второй производной на полученных промежутках (рис. 2).

Рис. 2

Запишем точки перегиба: $$-1; 0; 1$$.
5. Найдем значения функции в точках перегиба:
$$f(-1)=-\frac{1}{5}+\frac{2}{3}-1-2=-\frac{38}{15}$$;
 $$f(1)=\frac{1}{5}-\frac{2}{3}+1-2=-\frac{22}{15}$$;
 $$f(0)=-2$$;
Тогда, $$-\frac{38}{15}-\frac{22}{15}-2=-6$$.
Введите ответ в поле
Уравнение касательной к графику функции $$y=2x^{3}-x^{2}+4x+4$$  в точке $$x_{0}=-1$$ имеет вид: 
1. Найдем значение функции в точке $$x_{0}=-1$$:
$$f(-1)=-2-1-4+4=-3$$.
2. Найдем производную функции:
$$f'(x)=6x^{2}-2x+4$$.
3. Найдем значение производной в точке $$x_{0}=-1$$:
$$f'(-1)=6+2+4=12$$.
4. Найдем уравнение касательной:
$$y=-3+12(x+1)$$, $$y=12x+9$$.
Выберите один из вариантов
Производная функции $$y=2x^{e^{2x}}$$ имеет вид:
1. Прологарифмируем обе части равенства $$y=2x^{e^{2x}}$$:
$$lny=ln 2x^{e^{2x}}$$, $$lny=ln2+lnx^{e^{2x}}$$, $$lny=ln2+e^{2x}lnx$$.
2. Найдем производные левой и правой части полученного равенства:
$$\frac{y'}{y}=0+2e^{2x}lnx+\frac{e^{2x}}{x}$$ , $$\frac{y'}{y}=e^{2x}\left ( lnx^{2}+\frac{1}{x} \right )$$.
3. Выразим явно $$y'$$:
$$y'=ye^{2x}\left( lnx^{2}+\frac{1}{x} \right )$$, $$y'=ye^{2x}\frac{lnx^{2x}+1}{x}$$.
Выберите один из вариантов
Приближенное значение $$4,001^{3}$$ равно:
1. Имеем:
$$f(x)=x^{3}$$; $$x_{0}=4$$; $$\Delta x=0,001$$. 
Тогда: $$f(4)=64$$; $$f'(x)=3x^{2}$$; $$f'(4)=48$$.
2. Найдем приближенное значение $$4,001^{3}$$: 
$$4,001^{3}\approx  f(4)+f'(4) \cdot 0,001$$;
 $$4,001^{3}\approx  64+48 \cdot 0,001$$; 
$$4,001^{3}\approx  64,048$$.
Введите ответ в поле
Функция $$y=arctg5x$$ вогнута вверх на промежутке:
1. Запишем область определения данной функции:
$$x\in R$$.
2. Найдем первую производную функции:
$$y'=\frac{5}{1+25x^{2}}$$.
3. Найдем вторую производную функции:
$$y''=-\frac{5(1+25x^{2})'}{(1+25x^{2})^{2}}$$, $$y''=-\frac{250x}{(1+25x^{2})^{2}}$$.
4. Решим неравенство:
$$-250x> 0$$, откуда $$x< 0$$.
Выберите один из вариантов
Сумма значений $$x$$, в которых функция $$y=\sqrt{x^{2}-4x+6}$$ достигает своего наибольшего значения на отрезке $$[0; 4]$$ равна:
1. Найдем производную данной функции:
$$y'=\frac{(x^{2}-4x+6)'}{2\sqrt{x^{2}-4x+6}}$$, $$y'=\frac{x-2}{\sqrt{x^{2}-4x+6}}$$.
2. Найдем критические точки функции:
$$\frac{x-2}{\sqrt{x^{2}-4x+6}}=0$$, откуда  $$x=2$$.
3. Найдем значения функции на концах отрезка $$[0; 4]$$ и в критической точке:
$$f(1)=\sqrt{1-4+6}=\sqrt{3}$$; 
 $$f(2)=\sqrt{4-4+6}=\sqrt{6}$$;
$$f(4)=\sqrt{16-16+6}=\sqrt{6}$$.
4. Наибольшее значение функция принимает в точках $$x=2$$ и $$x=4$$, а наименьшее значение принимает в точке $$x=1$$. 
Тогда, $$2+4+1=7$$.
Введите ответ в поле