Загрузка

Дифференциальное исчисление

Приближенное значение $$e^{-0,025}$$  равно:
1. Имеем: 
$$f(x)=e^x$$; $$x_0=0$$; $$\Delta x=-0,025$$. 
Тогда: $$f(0)=1$$; $$f'(x)=e^x$$; $$f'(0)=1$$. 
 2. Найдем приближенное значение $$e^{-0,025}$$:
 $$e^{-0,025}\approx f(0)-f'(0)\cdot 0,025$$;
 $$e^{-0,025}\approx 1-1\cdot 0,025$$;
 $$e^{-0,025}\approx 0,975$$.
Введите ответ в поле
Значение производной функции $$e^{xy}=x^2+4x$$  в точке $$(-1;0)$$  равно:
Найдем производную левой и правой части данного равенства, учитывая, что $$y=f(x)$$:
 $$(e^{xy})'=(x^2+4x)'$$, $$e^{xy}(xy)'=2x+4$$, $$e^{xy}(1\cdot y+x\cdot y')=2x+4$$. 
 Выразим явно $$y'$$:
 $$y+xy'=\frac{2x+4}{e^{xy}}$$, $$xy'=\frac{2x+4}{e^{xy}}-y$$, $$y'=\frac{2x+4}{xe^{xy}}-\frac{y}{x}$$. 
 При $$x=-1$$, $$y=0$$, получим:
$$y'=\frac{-2+4}{-e^0}+\frac{0}{1}=-2$$.
Введите ответ в поле
Уравнение нормали к графику функции $$f(x)=\frac{2+5x}{3-x}$$  в точке $$x_0=2$$  имеет вид:
1. Найдем значение функции в точке $$x_0=2$$:
$$f(x)=\frac{2+10}{3-2}=12$$. 
2. Найдем производную функции:
$$f'(x)=\frac{(2+5x)'(3-x)-(2+5x)(3-x)'}{(3-x)^2}$$,
$$f'(x)=\frac{5(3-x)+(2+5x)}{(3-x)^2}$$,
$$f'(x)=\frac{17}{(3-x)^2}$$. 
3. Найдем значение производной в точке $$x_0=2$$:
 $$f'(2)=\frac{17}{(3-2)^2}=17$$. 
4. Найдем уравнение нормали:
$$y=12-\frac{1}{17}(x-2)$$, 
$$y=-\frac{1}{17}x+12\frac{2}{17}$$.
Выберите один из вариантов
Значение $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln 8x}{ctg2x}$$  равно:
Применим правило Лопиталя:
$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(ln 8x)'}{(ctg2x)'}$$,
$$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{2}{sin^22x}}$$,
$$L=-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^22x}{2x}$$.
 Применим первый замечательный предел:
$$L=-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^22x}{2x}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}sin2x$$, $$L=-1\cdot 0=0$$.
Выберите один из вариантов
Значение производной функции $$y=(5-2x)ln(2x-5)$$  в точке $$x=3$$  равно:
1. Найдем производную функции:
$$y'=-2ln(2x-5)+\frac{2(5-2x)}{2x-5}$$, $$y'=-2ln(2x-5)-2$$ . 
 2. Найдем значение производной функции в точке $$x=3$$:
 $$f'(3)=-2ln1-2=-2$$.
Введите ответ в поле
Наименьшее значение функции $$y=\frac{3x+1}{1-2x}$$  на отрезке $$[-2;0]$$ равно:
1. Найдем производную данной функции:
$$y'=\frac{3(1-2x)+2(3x+1)}{(1-2x)^2}$$,
$$y'=\frac{5}{(1-2x)^2}$$.
 2. Найдем критические точки функции:
$$\frac{5}{(1-2x)^2}=0$$, откуда $$x\neq 0,5$$. 
 3. Найдем значения функции на концах отрезка $$[-2;0]$$:
$$f(-2)=-1$$;
$$f(0)=1$$ .
 4. Наибольшее значение равно $$–1$$.
Введите ответ в поле
Функция $$y=x^5-5x^4+7x-7$$  вогнута на промежутке:
1. Найдем первую производную функции: 
$$y'=5x^4-20x^3+7$$ . 
2. Найдем вторую производную функции:
$$y''=20x^3-60x^2$$ . 
3. Найдем критические точки второго рода:
$$20x^3-60x^2=0$$, $$x^2(x-3)=0$$, откуда $$x_{1,2}=0$$, $$x_{3}=3$$. 
 4. Нанесем критические точки на область определения функции и установим знаки второй производной на полученных промежутках (рис. 2).

Рис. 2

 
 5. Функция вогнута на промежутке: $$(3;+\infty)$$.
Выберите один из вариантов
Производная функции $$y=sin^2t^2$$, $$x=2cost^2$$ имеет вид:
Найдем производные:
 1) $$y'_{t}=2sint^2\cdot (sint^2)'$$, $$y'_{t}=2sint^2\cdot cost^2(t^2)'$$, $$y'_{t}=4tsint^2cost^2$$; 
 2) $$x'_{t}=-2sint^2\cdot (t^2)'$$, $$x'_{t}=-4tsint^2$$. 
 Тогда: $$y'_x=\frac{y'_t}{x'_t}$$, $$y'_x=\frac{4tsint^2cost^2}{-4tsint^2}$$, $$y'_x=-cost^2$$.
Выберите один из вариантов
Значение $$\lim_{x\rightarrow 1}(1-x)ctg\pi x$$ равно:
Так как имеем неопределенность вида $$0\cdot \infty $$, то преобразуем произведение в частное:
$$(1-x)ctg\pi x=-\frac{ctg\pi x}{\frac{1}{x-1}}$$
Трижды применим правило Лопиталя:
1) $$L=-\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-\frac{\pi }{sin^2\pi x}}{-\frac{1}{(x-1)^2}}$$, $$L=-\pi \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)^2}{sin^2\pi x}$$;
2) $$L=-\pi \lim_{x\rightarrow 1}\frac{((x-1)^2)'}{(sin^2\pi x)'}$$, $$L=-\pi \lim_{x\rightarrow 1}\frac{2(x-1)}{2\pi sin\pi xcosx}$$;
3) $$L=-2\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)'}{(sin2\pi x)'}$$, $$L=-2\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{2\pi cos2\pi x}$$, $$L=-\frac{1}{\pi cos2\pi }=-\frac{1}{\pi }$$.

Выберите один из вариантов
Функция $$y=\frac{\sqrt{x+2}}{2x}$$  не возрастает на промежутке:
1. Запишем область определения данной функции:
$$x\in[-2;0)\cup(0;+\infty)$$.
2. Найдем производную функции:
$$y'=\frac{\frac{2x}{2\sqrt{x+2}}-2\sqrt{x+2}}{4x^2}$$,
$$y'=-\frac{x+4}{4x^2\sqrt{x+2}}$$.
3. Найдем критические точки функции:
$$y'=-\frac{x+4}{4x^2\sqrt{x+2}}=0$$ , откуда $$x=-4$$, $$x\neq0$$, $$x\neq-2$$. 
4. Нанесем критические точки на область определения функции и установим знаки производной на полученных промежутках (рис. 1). 

Рис. 1

5. Функция не возрастает на промежутках:
$$(-2;0)$$ и $$(0;+\infty)$$ .
Выберите один из вариантов