Загрузка

Дифференциальные уравнения

Общее решение уравнения $$ydx=e^xln ydy$$ имеет вид:
Разделим переменные:
$$\frac{ydx}{ye^x}=\frac{e^xlnydy}{ye^x}$$, $$e^{-x}dx=\frac{lnydy}{y}$$. 
 Проинтегрируем обе части полученного равенства:
$$\int e^{-x}dx=\int\frac{lnydy}{y}$$,
$$-\int e^{-x}d(-x)=\int lnyd(lny)$$,
$$-e^{-x}+C=0,5ln^2y$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''-6y'+25y=0$$, удовлетворяющее начальным условиям $$y(0)=1$$  и $$y'(0)=-1$$, имеет вид:
Имеем однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим и решим характеристическое уравнение:
$$k^2-6k+25=0$$, откуда $$k_{1,2}=3\pm4i$$, $$a=3$$, $$b=4$$. 
Запишем общее решение уравнения:
$$y=e^{ax}(C_1sinbx+C_2cosbx)$$, 
$$y=e^{3x}(C_1sin4x+C_2cos4x)$$
Найдем частное решение данного уравнения. 
Подставляя значения $$x=0$$ и $$y=1$$ в общее решение уравнения, получим:
$$1=e^0(0+C_2)$$,
$$C_2=1$$.
Найдем производную функции, которая является общим решением уравнения:
$$y'=3e^{3x}(C_1sin4x+C_2cos4x)+4e^{3x}(C_1cos4x-C_2sin4x)$$. 
Подставляя значения $$x=0$$, $$y'=-1$$  и $$C_2=1$$  в это равенство, получим:
$$-1=3(0+1)+(C_1-0)$$, 
$$C_1=-1$$. 
Запишем частное решение уравнения:
$$y=e^{3x}(cos4x-sin4x)$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$\sqrt{3-2x}y''=5$$  имеет вид:

Так как $$y''=\frac{dy'}{dx}$$, то уравнение примет вид:
$$dy'=\frac{5dx}{\sqrt{3-2x}}$$. 
 Проинтегрируем это равенство:
 $$\int dy'=\int \frac{5dx}{\sqrt{3-2x}}$$,
$$y'=-\frac{5}{2}\int \frac{d(3-2x)}{\sqrt{3-2x}}$$,
$$y'=-5\sqrt{3-2x}+C_1$$. 
 Так как $$y'=\frac{dy'}{dx}$$, то
$$dy=(-5\sqrt{3-2x}+C_1)dx$$,
$$y=\frac{5}{2}\int(\sqrt{3-2x}d(3-2x)+C_1x$$,
$$y=\frac{5(3-2x)^{1,5}}{3}+C_1x+C_2$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''-3y'=6e^{3x}$$ имеет вид:
1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y''-3y'=0$$. 
Так как $$k^2-3k=0$$, то $$k_1=3$$, $$k_2=0$$. 
Тогда: $$y_0=C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_2x}$$, $$y_0=C_1e^{3x}+C_2$$. 
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения. 
Так как $$f(x)=6e^{3x}$$  и $$k_1=3$$, то:
$$\widetilde{y}=Axe^{3x}$$;
$$\widetilde{y'}=Ae^{3x}+3Axe^{3x}$$;
$$\widetilde{y''}=3Ae^{3x}+3Ae^{3x}+9Axe^{3x}$$;
$$\widetilde{y''}=6Ae^{3x}+9Axe^{3x}$$;
Подставляя эти выражения в уравнение $$y''-3y'=6e^{3x}$$, получим:
$$6Ae^{3x}+9Axe^{3x}-3Ae^{3x}-9Axe^{3x}=6e^{3x}$$, откуда $$A=2$$. 
Запишем частное решение:
$$\widetilde{y}=2xe^{3x}$$ . 
3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
$$y=y_0+\widetilde{y}$$,
$$y=C_1e^{3x}+C_2+2xe^{3x}$$.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$(2x-3)y''-4y'=0$$  имеет вид:

Пусть $$y'=t$$, тогда $$y''=\frac{dt}{dx}$$. 
 Уравнение примет вид:
$$\frac{(2x-3)dt}{dx}=4t$$,
$$\frac{dt}{t}=\frac{4dx}{2x-3}$$.
 Проинтегрируем полученное равенство:
$$lnt=\int \frac{2d(2x-3)}{2x-3}$$,
$$lnt=2ln(2x-3)+lnC_1$$,
$$lnt=lnC_1(2x-3)^2$$,
$$t=C_1(2x-3)^2$$.
 Учитывая подстановку $$y'=t$$, получим:
$$dy=C_1(2x-3)^2dx$$,
$$y=\frac{C_1}{2}\int (2x-3)^2d(2x-3)$$,
$$y=\frac{C_1}{6}(2x-3)^3+C_2$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''-5y'=2sinx-3cosx$$ имеет вид:
1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y''-5y'=0$$. 
Так как $$k^2-5k=0$$, то $$k_1=0$$, $$k_2=5$$
Тогда:
$$y_0=C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_2x}$$,
$$y_0=C_1+C_2e^{5x}$$.
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения. 
Так как $$f(x)=2sinx-3cosx$$  и $$p\neq 0$$, то:
$$\widetilde{y}=Asinx+Bcosx$$;
$$\widetilde{y'}=Acosx-Bsinx$$;
$$\widetilde{y'}=-Asinx-Bcosx$$.
Подставляя эти выражения в уравнение $$y''-5y'-=2sinx-3cosx$$, получим:
$$sinx(5B-A)-cosx(B+5A)=2sinx-3cosx$$.
Решим систему уравнений: 
$$\left\{\begin{matrix}5B-A=2,\\ B+5A=3;\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}A=4,5,\\ B=0,5.\end{matrix}\right.$$
Запишем частное решение:
 $$\widetilde{y}=4,5sinx+0,5cosx$$. 
3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
$$y=y_0+\widetilde{y}$$,
$$y=C_1+C_2e^{5x}+4,5sinx+0,5cosx$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$xy'-y-5x^2=0$$ имеет вид:
Полагая $$y=uv$$, $$y'=u'v+uv'$$, получим:
$$xu'v+xuv'-uv-5x^2=0$$. 
Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель $$u$$, и вынесем его из скобок:
$$u(xv'-v)+xu'v-5x^2=0$$. 
Если положим $$xv'-v=0$$, то получим $$u'v=5x^2$$. 
Запишем систему уравнений:
$$\left\{\begin{matrix}xv'-v=0,\\xu'v=5x^2.\end{matrix}\right.$$
Решим первое уравнение системы:
$$\frac{xdv}{dx}=v$$, $$\frac{dv}{v}=\frac{dx}{x}$$, $$\int \frac{dv}{v}=\int \frac{dx}{x}$$, $$lnv=lnx$$, $$v=x$$. 
Подставим полученное значение $$v=x$$  во второе уравнение системы и решим его:
$$u'x=5x$$, $$\frac{du}{dx}=5$$, $$du=5dx$$, $$\int du=5\int dx$$, $$u=5x+C$$. 
Учитывая, что $$y=uv$$, получим:
$$y=5x^2+Cx$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y'ctgx=1$$  при условии, что $$x_0=y_0=\pi $$, имеет вид:
Запишем уравнение в виде:
$$\frac{dy}{dx} ctgx=1$$, $$dy=tgxdx$$. 
Проинтегрируем обе части полученного равенства:
$$\int dy=\int \frac{sinx}{cosx}dx$$,
$$y=-\int \frac{sinxd(cosx)}{cosxsinx}$$,
$$y=-\int\frac{d(cosx)}{cosx} $$,
$$y=-ln|cosx|+C$$. 
Найдем произвольную постоянную:
$$\pi =-ln1+C$$, $$C=\pi $$. 
Запишем частное решение:
$$y=-ln|cosx|+\pi $$
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''+4y'=8x+2$$ имеет вид:
1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y''+4y'=0$$. 
Так как $$k^2+4k=0$$, то $$k_1=0$$, $$k_2=-4$$. 
Тогда: $$y_0=C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_1x}$$, 
$$y_0=C_1+C_2e^{-4x}$$. 
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.
Так как $$f(x)=8x+2$$  и $$q=0$$, то:
$$\widetilde{y}=x(Ax+B)$$,
$$\widetilde{y}=Ax^2+Bx$$,
$$\widetilde{y'}=2Ax+B$$;
$$\widetilde{y''}=2A$$.
 Подставляя эти выражения в уравнение $$y''+4y'=8x+2$$, получим:
$$2A+8Ax+4B=8x+2$$. 
Решим систему уравнений: 
$$\left\{\begin{matrix}8A=8,\\2A+4B=2;\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}A=1,\\B=0.\end{matrix}\right.$$
Запишем частное решение:
 $$\widetilde{y}=x^2$$. 
3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
 $$y=y_0=\widetilde{y}$$,
$$y=C_1+C_2e^{-4x}+x^2$$.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$ydx=(x-2y)dy$$ имеет вид:
Полагая $$y=u$$, $$dy=udx+xdu$$, получим:
$$uxdx=(x-2ux)dy$$,
$$udx=(1+2u)(udx+xdu)$$,
$$udx=udx+xdu-2u^2dx-2uxdu$$,
$$2u^2dx=x(1-2u)du$$. 
 Разделим переменные:
$$\frac{dx}{x}=\frac{(1-2u)du}{2u^2}$$ . 
 Проинтегрируем полученное равенство:
$$\int \frac{dx}{x}=\int (\frac{1}{2u^2}-\frac{1}{u})du$$,
$$lnx+lnC =-\frac{1}{2u}-lnu$$,
$$lnCxu=-\frac{1}{2u}$$.
 Учитывая, что $$u=\frac{y}{x}$$, получим:
$$lnCy=-\frac{x}{2y}$$.
Выберите один из вариантов