Загрузка

Теория вероятностей

Три стрелка в одинаковых и независимых условиях производят по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком (событие $$A_1$$) равна $$0,9$$, вторым (событие $$A_2$$) – $$0,8$$, третьим (событие $$A_3$$) – $$0,7$$. Вероятность того, что только два стрелка попадут в цель, равна:
Согласно условию задачи:
$$p_1=0,9$$; $$p_2=0,8$$; $$p_3=0,7$$. 
Тогда:
$$q_1=0,1$$; $$q_2=0,2$$; $$q_3=0,3$$. 
Найдем вероятность того, что только что только два стрелка попадут в цель (событие B):
$$P(B)=p_1p_2q_3+p_1q_2p_3+q_1p_2p_3$$,
$$P(B)=0,9\cdot 0,8\cdot 0,3+0,9\cdot 0,2\cdot 0,7+0,1\cdot 0,8\cdot 0,7$$,
$$P(B)=0,398$$.
Введите ответ в поле
Случайная величина X задана функцией распределения:
$$F(x)=\begin{cases}0,x\leq 2,5, \\ (2x-5)^2, 2,5<x\leq 3,\\ 1,x>3.\end{cases}$$
Вероятность того, что CBX примет значение из промежутка $$[1;2,6)$$, равна:

При $$x=1$$   функция распределения имеет вид $$F(x)=0$$. 
При $$x=2,6$$   функция распределения имеет вид $$F(x)=(2x-5)^2$$. 
Тогда:
$$p=F(2,6)-F(1)$$,
$$p=0,04-0=0,04$$.


Введите ответ в поле
Стрелок производит $$4$$ выстрела по мишени. Вероятность непопадания в мишень в каждом случае равна $$0,4$$. Вероятность того, что он попадет в мишень менее четырех раз, равна:
Согласно условию задачи: 
$$n=4$$, $$p=0,6$$, $$q=0,4$$.
Найдем вероятность того, что стрелок попадет в мишень $$4$$ раза:
$$P_{4}(4)=C_{4}^4p^4q^0$$, 
$$P_{4}(4)=\frac{4!}{4!\cdot 0!}\cdot \left (\frac{3}{5}  \right )^4\left (\frac{2}{5} \right )^0$$, 
$$P_{4}(4)=\frac{81}{625}$$.
Найдем вероятность того, что стрелок попадет в мишень менее четырех раз:
$$p=1-P_{4}(4)=\frac{544}{625}$$.
Выберите один из вариантов
Распределение дискретной случайной величины X задано таблицей:
                                                                          
Математическое ожидание CBX равно:
$$M(x)=x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3+x_4p_4$$,
$$M(x)=0,1\cdot 0,2+0,2\cdot 0,4+0,3\cdot 0,3+0,4\cdot 0,1$$,
$$M(x)=0,02+0,08+0,09+0,04=0,23$$.
Введите ответ в поле
На карточках записаны натуральные числа, не превосходящие число $$15$$. Вероятность того, что извлекая наудачу карточку, получим число, которое является делителем числа $$10$$, равна:

Имеем числа: 
$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$, $$7$$, $$8$$, $$9$$, $$10$$, $$11$$, $$12$$, $$13$$, $$14$$, $$15$$. 
Следовательно, $$n=15$$. 
Делители числа $$10$$: 
$$1$$, $$2$$, $$5$$, $$10$$. 
Следовательно, $$m=4$$. 
Тогда, $$P(A)=\frac{4}{15}$$ .
Выберите один из вариантов
Количество способов, которыми можно выбрать трех студентов из десяти для участия в конференции, равно:
Найдем число сочетаний по три элемента из десяти:
$$C_{10}^3=\frac{10!}{3!(10-3)!}$$, 
$$C_{10}^3=\frac{7!\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{7!\cdot 1\cdot 2\cdot 3}=120$$.
Введите ответ в поле
Подбрасывают два игральных кубика. Вероятность получить на верней грани нечетное число (событие A) равна:
Так как события совместные и $$p_1=p_2=0,5$$, то
$$P(A)=p_1+p_2-p_1p_2$$,
 $$P(A)=0,5+0,5-0,5\cdot 0,5=0,75$$.

Выберите один из вариантов
На заводе три станка производят продукцию, причем, первый станок выпускает $$50$$%, а второй – $$20$$% всей продукции. Брак в их продукции составляет соответственно $$4$$%, $$2$$% и $$1$$%. Случайно выбранное изделие оказалось не бракованным. Вероятность того, что это изделие произведено на третьем станке, равна:
Пусть A – событие, состоящее в том, что случайно выбранное изделие оказалось не бракованным, $$H_1$$, $$H_2$$ и $$H_3$$ – события, состоящие в том, что это изделие произведено первым, вторым и третьим станком соответственно. 
 Согласно условию задачи:
 $$P(H_1)=0,5$$, $$P(H_2)=0,2$$, $$P(H_3)=0,3$$;
$$P(A/H_1)=0,96$$, $$P(A/H_2)=0,92$$, $$P(A/H_3)=0,99$$.
По формуле полной вероятности: 
 $$P(A)=0,5\cdot 0,96+0,2\cdot 0,92+0,3\cdot 0,99=0,961$$.
По формуле Байеса:
$$P(H_3/A)=\frac{P(H_3)P(A/H_3)}{P(A)}$$, 
$$P(H_3/A)=\frac{0,3\cdot 0,99}{0,961}\approx 0,309$$.
Выберите один из вариантов
Случайная величина X задана функцией распределения:
$$F(x)=\begin{cases}0,x\leq -1; \\ (x+1)^2, -1<x\leq 0;\\ 1,x>0.\end{cases}$$
Математическое ожидание CBX равно:
1. Найдем плотность распределения:
$$p(x)=\begin{cases} 0,x\leq -1 ,\\ 2(x+1),-1<x\leq 0,\\ 0,x>0. \end{cases}$$
$$M(X)=2\int _{-1}^0(x^2+x)dx$$,
$$M(X)=\frac{2x^3}{3}+x^2|_{-1}^0=-\frac{1}{3}$$.

Выберите один из вариантов
Из урны, содержащей $$8$$ шаров, среди которых $$2$$ белых, а остальные черные, выбирают $$2$$ шара. Вероятность того, что в выборке окажутся черные шары (событие A), равна:
Применим урновую схему: 
                                                          
Вероятность события $$А$$: 
$$P(A)=\frac{C_{2}^0\cdot C_{6}^2}{C_{8}^2}$$.
 Найдем число сочетаний:
 1) $$C_{8}^2=\frac{8!}{2!(8-2)!}$$, $$C_{8}^2=\frac{6!\cdot 7\cdot 8}{6!\cdot 2}$$;
 2) $$C_{2}^0=\frac{2!}{0!\cdot 2!}=1$$;
 3) $$C_{6}^2=\frac{6!}{2!(6-2)!}$$, $$C_{6}^2=\frac{4!\cdot 5\cdot 6}{4!\cdot 2}=15$$.
Тогда, $$P(A)=\frac{15}{28}$$.
Выберите один из вариантов