Загрузка

Теория вероятностей

Распределение случайной величины $$X$$ задано таблицей:
Дисперсия $$CBX$$ равна:

1. Найдем математическое ожидание $$CBX$$:
$$M(X)=-1\cdot 0,3 +2\cdot 0,2+3 \cdot 0,1 +4\cdot 0,3+ 5\cdot 0,1$$,
$$M(X)=-0,3+0,4+0,3 +1,2+0,5=2,1$$.
2. Найдем математическое ожидание квадрата $$CBX$$:
$$M(X^{2})=1\cdot 0,3 +4\cdot 0,2+9 \cdot 0,1 +16\cdot 0,3+ 25\cdot 0,1$$,
$$M(X)=0,3+0,8+0,9 +4,8+2,5=9,3$$.
3. Найдем дисперсию $$CBX$$:
$$D(X)=9,3-2,1^{2}=4,89$$.


Введите ответ в поле
На опытном участке проращивают три вида семян. Вероятность, что семена первого вида дадут всходы (событие $$A_{1}$$) составляет $$0,8$$, второго вида (событие $$A_{2}$$) $$0,6$$, а третьего вида (событие $$A_{3}$$) составляет $$0,45$$. Вероятность того, что только один вид семян даст всходы, равна:
Согласно условию задачи:
$$p_{1}=0,8$$; $$p_{2}=0,6$$; $$p_{3}=0,45$$.
Тогда:
$$q_{1}=0,2$$; $$q_{2}=0,4$$; $$q_{3}=0,55$$.
Найдем вероятность того, что только один вид семян даст всходы (событие $$D$$):
$$P(D)=p_{1}q_{2}q_{3}+q_{1}p_{2}q_{3}+q_{1}q_{2}p_{3}$$,
$$P(D)= 0,8\cdot 0,4 \cdot 0,55+ 0,2 \cdot 0,6 \cdot 0,55+ 0,2 \cdot 0,4 \cdot 0,45 $$,
$$P(D)=0,278$$.
Введите ответ в поле
Количество четырехзначных чисел, составленных из чисел $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$, равно:

Найдем число размещений по четыре элемента из шести:
$$A_{6}^{4}=\frac{6!}{(6-4)!}$$, $$A_{6}^{4}=\frac{2! \cdot 3\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{2!}=360$$.
Введите ответ в поле
Стрелок производит $$4$$ выстрела по мишени. Вероятность непопадания в мишень в каждом случае равна $$0,4$$. Вероятность того, что он попадет в мишень $$3$$ раза равна:  
Так как $$n=4$$, $$p=0,6$$, $$q=0,4$$ то:
$$p_{4}(3)=C_{4}^{3}q^{1}$$,
$$p_{4}(3)=\frac{4!}{3! \cdot 1!}\cdot\left ( \frac{3}{5} \right )^{3}\cdot\left ( \frac{2}{5} \right )^{1}$$,
$$p_{4}(3)=\frac{54}{625}$$.
Выберите один из вариантов
Известна функция плотности вероятностей $$CBX$$:
$$p(x)=\begin{cases} 0, x\leq -1, \\  2x+2, -1< x \leq 0, \\ 0, x> 0. \end{cases}$$
Вероятность того, что $$CBX$$ примет значение из промежутка $$[-0,5; 1]$$, равна:
Так как при $$-0,5\leq x \leq 0$$ функция плотности вероятностей имеет вид $$p(x)=2x+2$$, то:
$$p=\int_{-0,5}^{0}(2x+2)dx$$, 
$$p=x^{2}+2x|_{-0,5}^{0}$$, 
$$p=-0,25+1=0,75$$.
Введите ответ в поле
Два спортсмена производят по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятности их непопадания в мишень соответственно равны $$0,25$$ и $$0,4$$. Вероятность того, что мишень будет поражена (событие $$A$$), равна:
 Так как события совместные и 
$$p_{1}=0,75$$, $$p_{2}=0,6$$, то
$$P(A)=p_{1}+p_{2}-p_{1}p_{2}$$, 
$$P(A)=0,75+0,6-0,75 \cdot 0,6=0,9$$.
Введите ответ в поле
Однотипные детали обрабатываются на двух станках. Вероятность брака на первом станке равна $$0,03$$, а на втором – $$0,01$$. Производительность второго станка в два раза меньше, чем производительность первого. Взятая наудачу деталь оказалась бракованной. Вероятность того, что она была произведена на первом станке, равна: 

Пусть $$A$$– событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь оказалась бракованной, $$H_{1}$$,$$H_{2}$$– события, состоящие в том, что эта деталь произведена первым и вторым станком соответственно. 
Пусть $$x$$– производительность второго станка, $$2x$$– производительность первого станка.
Тогда:
$$P(H_{1})=\frac{2x}{x+2x}=\frac{2}{3}$$; $$P(H_{2})=\frac{x}{x+2x}=\frac{1}{3}$$.
Согласно условию задачи:
$$P(A/H_{1})=0,03$$; $$P(A/H_{2})=0,01$$.
По формуле полной вероятности:
$$P(A)=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{100}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{100}=\frac{7}{300}$$.
По формуле Байеса:
$$P(H_{1}/A)=\frac{P(H_{1})P(A/H_{1})}{P(A)}$$, 
$$P(H_{1}/A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{100} \cdot \frac{300}{7}=\frac{1}{7}$$.

Выберите один из вариантов
В урне имеется $$5$$ зеленых, $$3$$ белых и $$4$$ черных шара.  Наудачу берут шар и не возвращают обратно. Вероятность того, что первым вынут  белый шар (событие $$A$$), вторым – белый (событие $$B$$) и третьим–  белый  шар (событие $$C$$), равна: 
В урне всего $$12$$ шаров, следовательно,
$$P(A)=\frac{5}{12}$$, $$P(B/A)=\frac{3}{12-1}=\frac{3}{11}$$, $$P(C/AB)=\frac{2}{11-1}=\frac{1}{5}$$. 
Тогда, $$P(ABC)=\frac{5}{12}\cdot \frac{3}{11}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{44}$$.
Выберите один из вариантов
Случайна величина $$X$$ задана функцией плотности распределения вероятностей:
$$p(x)=\begin{cases} 0, x\leq 0,5, \\  x^{-2}, 0,5<x\leq   1, \\ 0, x> 1. \end{cases}$$
Среднее квадратическое отклонение $$CBX$$ равно:
1. Найдем математическое ожидание:
$$M(X)=\int_{0,5}^{1}\frac{dx}{x}$$, $$M(X)=ln x|_{0,5}^{1}=ln2$$.
2. Найдем дисперсию:
$$D(X)=\int _{\alpha }^ {\beta}x^{x}p(x)dx-(M(X))^{2}$$,
$$D(X)=\int_{0,5}^{1}dx-(ln 2)^{2}$$,
$$D(X)=x|^{1}_{0,5}-ln^{2} 2=0,5-ln^{2} 2$$.
3.  Найдем среднее квадратическое отклонение:
$$\sigma (X)=\sqrt{0,5- ln^{2}2}$$.
Выберите один из вариантов
Подбрасывают два игральных кубика и подсчитывают сумму очков, выпавших на верхних гранях. Вероятность того, что получим число больше числа $$3$$, равна:
Найдем вероятность того, что на верхних гранях в сумме получим число не больше числа $$3$$ (событие $$A$$).
Варианты:
$$1+1=2$$, $$1+2=3$$, $$2+1=3$$.
Так как $$n=6 \cdot 6=36$$, а $$m=3$$, то
$$P(A)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$$. 
Найдем вероятность противоположного события:
$$P(\bar{A})=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$$ .
Выберите один из вариантов