Загрузка

Теория вероятностей

На карточках записаны буквы: Л, Л, И, И, Я. Вероятность получить слово ЛИЛИЯ, перекладывая карточки, равна:

Определим, сколько различных слов можно получить:
$$P_{5}(2,2)=\frac{5!}{2! \cdot 2!}$$,
$$P_{5}=\frac{2! \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{2!  \cdot  1 \cdot 2}=30$$.
Определим вероятность получить слово ЛИЛИЯ (событие $$A$$):
$$P(A)=\frac{1}{30}$$.
Выберите один из вариантов
Стрелок производит $$4$$ выстрела по мишени. Вероятность непопадания в мишень в каждом случае равна $$0,4$$. Вероятность того, что он попадет в мишень не более одного раза, равна:
Согласно условию задачи:
$$n=4$$, $$p=0,6$$, $$q=0,4$$.
Найдем вероятность того, что стрелок попадет  в мишень $$0$$ раз:
$$P_{4}(0)=C_{4}^{0}p^{0}q^{4}$$,
$$P_{4}(0)=\frac{4!}{0!\cdot 4!} \cdot \left (\frac{3}{5}\right )^{0}\left (\frac{2}{5}\right )^{4}$$,
$$P_{4}(0)=\frac{16}{625}$$.
Найдем вероятность того, что стрелок попадет в мишень $$1$$ раз:
$$P_{4}(1)=C_{4}^{1}p^{1}q^{3}$$,
$$P_{4}(1)=\frac{4!}{1!\cdot 3!} \cdot\left (\frac{3}{5}\right )^{1}\left (\frac{2}{5}\right )^{3}$$,
$$P_{4}(1)=\frac{96}{625}$$.
Найдем вероятность того, что стрелок попадет в мишень не более одного раза:
$$P_{4}(0)+P_{4}(1)=\frac{112}{625}$$.
Выберите один из вариантов
Распределение случайной величины $$X$$ задано таблицей: 
                                                                  
Вероятность того, что $$CBX$$ примет значение из промежутка $$[11;12,5)$$, равна:

Промежутку $$[11;12,5)$$ принадлежат три значения $$CBX$$:
$$x_{3}=11$$, $$x_{4}=11,5$$, $$x_{5}=12$$.
Следовательно, 
$$p=p_{3}+p_{4}+p_{5}$$,
$$p=0,1+0,2+0,1=0,4$$.

Введите ответ в поле
Подбрасывают три игральных кубика и подсчитывают сумму очков, выпавших на верхних гранях. Вероятность того, что получим число $$4$$, равна:
Варианты получения числа $$4$$:
$$1+1+2=4$$, $$1+2+1=4$$, $$2+1+1=4$$.
Так как $$n=6^{3}=216$$, а $$m=3$$, то
$$P(A)=\frac{3}{216}=\frac{1}{72}$$.
Выберите один из вариантов
В трех лабораториях разрабатывают вакцину против гриппа. Вероятность получения положительного результата в намеченный срок (событие $$A$$) соответственно равны: $$0,5$$; $$0,8$$; $$0,6$$. 
Вероятность того, что вакцина не будет разработана в намеченный срок, равна:

Так как $$q_{1}=0,5$$, $$q_{2}=0,2$$, $$q_{3}=0,4$$, то
$$P(\bar{A})=q_{1}q_{2}q_{3}$$,
$$P(\bar{A})=0,5 \cdot 0,2 \cdot 0,4=0,04$$.
Введите ответ в поле
Если брак при производстве продукции составляет $$3$$%, то наивероятнейшее чисто бракованных изделий в партии из $$80$$ изделий равно:
Так как $$n=80$$, $$p=0,03$$, а $$q=0,97$$, то:
$$np-q<k<np+p$$,
$$\begin{cases} k> 80\cdot 0,03-0,97,\\ k< 80 \cdot 0,03+0,03; \end{cases}$$ $$\begin{cases} k> 1,43,\\ k< 2,43.\end{cases}$$
Следовательно, $$k=2$$.

Введите ответ в поле
Для составление букетов сорвали $$5$$ ромашек и $$10$$ васильков. Вероятность того, что в букете из пяти цветков окажется $$3$$ василька (событие $$A$$), равна:

Применим урновую схему: 
                                                                     
Вероятность события $$A$$:
$$P(A)=\frac{C_{5}^{2} \cdot C_{10}^{3}}{C_{15}^{5}}$$.
Найдем число сочетаний:
1) $$C_{15}^{5}=\frac{15!}{5!\cdot 10!}$$, $$C_{10}^{5}=\frac{11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}$$, $$C_{10}^{5}=3003$$;
2) $$C_{5}^{2}=\frac{5!}{2! \cdot 3!}$$,  $$C_{5}^{2}=\frac{3! \cdot 4 \cdot 5}{3!\cdot 2}=10$$;
3) $$C_{10}^{3}=\frac{10!}{3!\cdot 7!}$$, $$C_{10}^{3}=\frac{7! \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{7! \cdot 2 \cdot 3}=120$$.
Тогда, $$P(A)=\frac{1200}{3003}=\frac{400}{1001}$$.
Выберите один из вариантов
Три стрелка в одинаковых и независимых условиях производят по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком (событие $$A_{1}$$) равна $$0,65$$, вторым (событие $$A_{2}$$) - $$0,8$$, третьим (событие $$A_{3}$$) - $$0,75$$. Вероятность того, что хотя бы один стрелок попал в цель, равна:
Согласно условию задачи:
$$p_{1}=0,65$$; $$p_{2}=0,8$$; $$p_{3}=0,75$$.
Тогда:
$$q_{1}=0,35$$; $$q_{2}=0,2$$; $$q_{3}=0,25$$.
Найдем вероятность того, что хотя бы один стрелок попал в цель (событие $$A$$):
$$P(A)=1-q_{1}q_{2}q_{3}$$,
$$P(A)=1-0,35 \cdot 0,2 \cdot 0,25 =0,9825$$.
Введите ответ в поле
Случайная величина $$X$$ задана функцией распределения:
$$F(x)=\begin{cases} 0, x  \leq  1,\\ lnx, 1 <  x \leq  e, \\ 1, x > e. \end{cases}$$
Дисперсия $$CBX$$ равна:

1. Найдем плотность распределения:
$$p(x)=\begin{cases} 0, x  \leq  1, \\  \frac{1}{x},  1 <  x \leq  e, \\ 0,  x > e. \end{cases}$$
2. Найдем математическое ожидание:
$$M(X)=\int_{1}^{e}dx=x \left |_{1}^{e}\right. =e-1$$. 
3. Найдем дисперсию:
$$D(X)=\int_{1}^{e}xdx-(e-1)^{2}$$,
$$D(X)=\frac{x^{2}}{2}\left |_{1}^{e}\right. -(e-1)^{2}$$,
$$D(X)=-0,5e^{2}+2e-1,5$$.


Выберите один из вариантов
Покупатель с одинаковой вероятностью может посетить один из двух магазинов. Вероятность получить скидку на покупку в первом магазине составляет $$70$$%, а во втором - $$40$$%. Вероятность того, что скидка не будет получена, равна:
Согласно условию задачи:
1) $$P(H_{1})=P(H_{2})=0,5$$;
2) $$P(A/H_{1})=0,3$$, $$P(A/H_{1})=0,6$$.
Тогда, $$P(A)=0,5 \cdot 0,3 + 0,5 \cdot 0,6=0,45$$.
Введите ответ в поле