Загрузка

Системы линейных алгебраических уравнений

Если $$(x_0, y_0)$$ – решение системы линейных уравнений

$$\left\{\begin{array}{lr} 4x+7y-1=0, \\ 5x-3y-13=0, \\ -8x-14y+2=0, \end{array}\right. $$

то значение выражения $$x_{0}^{-2}+y_{0}^{-1}$$ равно:

Решением системы является упорядоченная совокупность чисел, при подстановке которых в систему каждое из ее уравнений обращается в верное равенство.

Решить систему уравнений - значит найти все ее решения или показать, что эта система решений не имеет.

Чтобы решить систему линейных уравнений, содержащую $$n$$ уравнений и $$n$$ переменных, методом Крамера, необходимо:

  1. найти определитель $$\left | A \right |$$ основной матрицы системы;
  2. найти определители $$\left | A_{i} \right |$$ $$(i=\overline{1, n})$$, полученные в результате замены $$i$$-го столбца определителя столбцом свободных членов системы;
  3. найти значения переменных уравнений системы по формулам: $$x_{i}=\frac{\left | A_{i} \right |}{\left | A \right |}$$.
  1. Разделим третье уравнение системы на число $$-2$$:

    $$\left\{\begin{array}{lr} 4x+7y-1=0, \\ 5x-3y-13=0, \\ 4x+7y-1=0. \end{array}\right. $$

  2. Запишем эту систему в виде:

    $$\left\{\begin{array}{lr} 4x+7y=1, \\ 5x-3y=13. \\\end{array}\right. $$

  3. Найдем определитель основной матрицы системы:

    $$\triangle = \begin{vmatrix} 4 & 7\\ 5& -3 \end{vmatrix}=-12-35=-47\neq 0$$.

  4. Решим эту систему методом Крамера:

    $$\triangle_{1} = \begin{vmatrix} 1 & 7\\ 13& -3 \end{vmatrix}=-3-91=-94$$;

    $$\triangle_{2} = \begin{vmatrix} 4 & 1\\ 5& 13 \end{vmatrix}=52-5=47$$.

    $$x_0=\frac{-94}{-47}=2$$;

    $$y_0=\frac{47}{-47}=-1$$.

  5. Получим:

    $$x_{0}^{-2}+y_{0}^{-1}=\frac{1}{4}-1=-0, 75$$.

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$
Выберите один из вариантов

Система линейных уравнений

$$\left\{\begin{array}{lr} 2x_1-3x_2+x_3=1, \\ x_1+x_2-3x_3=4, \\ 5x_1-x_2+6x_3=-1 \end{array}\right. $$

имеет решение:

Решением системы является упорядоченная совокупность чисел, при подстановке которых в систему каждое из ее уравнений обращается в верное равенство.

Выполним проверку приведенных вариантов возможных решений системы, подставляя значения переменных в каждое из уравнений системы:

  1. если $$x_{1}=-1$$, $$x_{2}=0$$, $$x_{3}=-2$$, то $$\left\{\begin{array}{lr} -2-0-2\neq 1, \\ -1+0+6\neq 4, \\ -5+0-12\neq -1; \end{array}\right. $$
  2. если $$x_{1}=1$$, $$x_{2}=1$$, $$x_{3}=2$$, то $$\left\{\begin{array}{lr} 2-3+2=1, \\ 1+1-6\neq 4, \\ 5-1+12\neq -1; \end{array}\right. $$
  3. если $$x_{1}=1$$, $$x_{2}=0$$, $$x_{3}=-1$$, то $$\left\{\begin{array}{lr} 2-0-1=1, \\ 1+0+3=4, \\ 5-0-6=-1. \end{array}\right. $$

Поскольку приведены возможные варианты решений системы, то саму систему мы не решали. 

Выберите один из вариантов

Сумма всех значений переменных, которые образуют решение системы уравнений

$$\left\{\begin{array}{lr} x_1+5x_2+x_3=0, \\ 2x_1-x_2+3x_3=1, \\ x_1+x_2-x_3=3, \end{array}\right. $$
равна:

Чтобы решить систему линейных уравнений, содержащую $$n$$ уравнений и $$n$$ переменных, методом Крамера, необходимо:

  1. найти определитель $$\left | A \right |$$ основной матрицы системы;
  2. найти определители $$\left | A_{i} \right |$$ $$(i=\overline{1, n})$$, полученные в результате замены $$i$$-го столбца определителя столбцом свободных членов системы;
  3. найти значения переменных уравнений системы по формулам: $$x_{i}=\frac{\left | A_{i} \right |}{\left | A \right |}$$.
  1. Вычислим определители:
    $$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 1 & 5&1 \\ 2& -1 & 3\\ 1&1 & -1 \end{vmatrix}=1+15+2+1+10-3=26\neq 0$$;
    $$\left | A_{1} \right |=\begin{vmatrix} 0 & 5&1 \\ 1& -1 & 3\\ 3&1 & -1 \end{vmatrix}=0+45+1+3+0+5=54$$;
    $$\left | A_{2} \right |=\begin{vmatrix} 1 & 0&1 \\ 2& 1 & 3\\ 1&3 & -1 \end{vmatrix}=-1+0+6-1-0-9=-5$$;
    $$\left | A_{3} \right |=\begin{vmatrix} 1 & 5&0 \\ 2& -1 & 1\\ 1&1 & 3 \end{vmatrix}=-3+5+0-0-30-1=-29$$.
  2. Найдем значения переменных: $$x_{1}=\frac{54}{26}$$$$x_{2}=-\frac{5}{26}$$$$x_{3}=-\frac{29}{26}$$.
  3. Тогда, $$\frac{54}{26}-\frac{5}{26}-\frac{29}{26}=\frac{10}{13}$$.
  1. Если определитель основной матрицы системы равен нулю, то такую систему уравнений нельзя решить методом Крамера.
  2. Не забудьте выполнить проверку полученного решения.
Выберите один из вариантов

Если $$(x_{0};y_{0};z_{0})$$ – решение системы уравнений

$$\left\{\begin{array}{lr} x-2y+3z+1=0,\\ 2x+y-z=2, \\ x+y-4z=-7, \end{array}\right.$$

то значение $$x_{0}$$ равно:

Чтобы решить систему линейных уравнений, содержащую $$n$$ уравнений и $$n$$ переменных, методом Крамера, необходимо:

  1. найти определитель $$\left | A \right |$$ основной матрицы системы;
  2. найти определители $$\left | A_{i} \right | (i=\overline{1, n})$$, полученные в результате замены $$i$$-го столбца определителя $$\left | A \right |$$ столбцом свободных членов системы;
  3. найти значения переменных уравнений системы по формулам: $$x_{i}=\frac{\left | A_{i} \right |}{\left | A \right |}$$.
  1. Вычислим определители:
    $$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 1 & -2 &3 \\ 2 & 1&-1 \\ 1& 1& -4 \end{vmatrix}=-4+2+6-3-16+1=-14$$;
    $$\left | A_{1} \right |=\begin{vmatrix} -1 & -2 &3 \\ 2 & 1&-1 \\ -7& 1& -4 \end{vmatrix}=4-14+6+21-16-1=0$$.

  2. Тогда, $$x=\frac{0}{-14}=0$$.

Значения других переменных находить не обязательно. 

Выберите один из вариантов

Если$$(x_{1};x_{2};x_{3})$$ – решение системы уравнений

$$\left\{\begin{array}{lr} 2x_1+x_2-2x_3=9,\\ 3x_1-2x_2+x_3=2, \\ x_1+x_2-4x_3=11, \end{array}\right.$$

то значение $$x_{2}$$ равно:


Чтобы решить систему линейных уравнений, содержащую $$n$$ уравнений и $$n$$ переменных, методом Крамера, необходимо:

  1. найти определитель $$\left | A \right |$$ основной матрицы системы;
  2. найти определители $$\left | A_{i} \right | (i=\overline{1, n})$$, полученные в результате замены $$i$$-го столбца определителя $$\left | A \right |$$ столбцом свободных членов системы;
  3. найти значения переменных уравнений системы по формулам: $$x_{i}=\frac{\left | A_{i} \right |}{\left | A \right |}$$.
  1. Вычислим определители:
    $$\left | A \right | =\begin{vmatrix} 2 & 1 & -2\\ 3&-2 & 1\\ 1&1 &-4 \end{vmatrix}=16+1-6-4+12-2=17$$;
    $$\left | A_2 \right | =\begin{vmatrix} 2 & 9 & -2\\ 3&2 & 1\\ 1&11 &-4 \end{vmatrix}=-16+9-66+4+108-22=17$$.
  2. Тогда, $$x_{2}=1$$.

Значения других переменных находить не обязательно.

Выберите один из вариантов

Если $$(x_{0};y_{0};z_{0})$$ – решение системы уравнений

$$\left\{\begin{array}{lr} 2x+y-3z=11,\\ x-3y+5z=-11, \\ x+y-4z=11, \end{array}\right.$$

то значение $$z_{0}$$ равно:

Чтобы решить систему линейных уравнений, содержащую $$n$$ уравнений и $$n$$ переменных, методом Крамера, необходимо:

  1. найти определитель $$\left | A \right |$$ основной матрицы системы;
  2. найти определители $$\left | A_{i} \right | (i=\overline{1, n})$$, полученные в результате замены $$i$$-го столбца определителя $$\left | A \right |$$ столбцом свободных членов системы;
  3. найти значения переменных уравнений системы по формулам: $$x_{i}=\frac{\left | A_{i} \right |}{\left | A \right |}$$.
  1. Вычислим определители:
    $$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 2 & 1 &-3 \\ 1 & -3&5 \\ 1& 1& -4 \end{vmatrix}=24+5-3-9+4-10=11$$;$$\left | A_3 \right | =\begin{vmatrix} 2 & 1 &11 \\ 1& -3 & -11\\ 1& 1 & 11 \end{vmatrix} =-66-11+11+33-11+22=-22$$.
  2. Тогда, $$z_{0}=-2$$.

Значения других переменных находить не обязательно.

Выберите один из вариантов

Если $$(x_{0};y_{0};z_{0})$$ – решение системы уравнений 

$$\left\{\begin{array}{lr} x+3y+3z=2,\\ 2x+6y+6z=4 ,\\ -x+y+3z=0, \end{array}\right.$$

то значение выражения $$x_{0}+y_{0}$$ равно:

  1. Если ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, то система совместная. 
  2. Если ранг системы равен числу переменных, то система имеет единственное решение, а если ранг меньше числа переменных, то множество решений системы бесконечно.

Разделим второе уравнение системы на число $$2$$ и запишем ее в виде:

$$\left\{\begin{array}{lr} x+3y+3z=2, \\ x+3y+3z=2 , \\ -x+y+3z=0 \end{array}\right. $$ или $$\left\{\begin{array}{lr} x+3y+3z=2 , \\ -x+y+3z=0. \\ \end{array}\right. $$

Так как $$r_{A}=r_{\tilde{A}}=2$$, то система совместная.

Вычитая из первого уравнения системы второе, получим $$2x+2y=2$$, откуда $$x+y=1$$.

Значения переменных $$x$$ и $$y$$ находить не обязательно. 

Данная система совместная неопределенная, так как ранг системы меньше числа переменных.

Выберите один из вариантов

Если $$\left | A \right |$$ – определитель основной матрицы системы уравнений
$$\left\{\begin{array}{lr} 2x+y-3z=0,\\ x+2y-z=0 ,\\ 3x-y+4z=0, \end{array}\right.$$
а $$(x_{0};y_{0};z_{0})$$ – ее решение, то значение выражения $$\left | A \right |\cdot(x_{0} \cdot y_{0} \cdot z_{0})$$ равно:

Если все свободные члены уравнений системы равны нулю, то такая система уравнений называется однородной. Однородная система линейных уравнений всегда имеет решение:

  1. единственное (все значения переменных равны нулю), когда она определенная;
  2. бесконечное множество решений, когда она неопределенная.
  1. Найдем определитель основной матрицы системы: $$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 2& -1 \\ 3& -1& 4 \end{vmatrix}=16-3+3+18-4-2=28\neq 0$$.

    Следовательно, система совместная определенная и она имеет единственное решение: $$(0; 0; 0)$$.

  2. Тогда, $$\left | A \right |\cdot(x_{0} \cdot y_{0} \cdot z_{0})=0$$.

Однородная система линейных уравнений всегда совместна, но она может быть как определенной, так и неопределенной.

Выберите один из вариантов

Система уравнений

$$\begin{cases} x_{1}-x_{2}-13x_{3}-13x_{4}=0, \\ 2x_{1}+3x_{2}-x_{3}+4x_{4}=0, \\ x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+5x_{4}=0, \\ 2x_{1}+x_{2}-11x_{3}-8x_{4}=0 \end{cases}$$
является:

  1. Система, которая имеет хотя бы одно решение, называется совместной. Если система имеет только одно решение, то она называется определенной, а если имеет бесконечно много решений - неопределенной. Система, которая не имеет ни одного решения, называется несовместной.
  2. Если ранг основной матрицы системы не равен рангу ее расширенной матрицы, то система не совместная. Если ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, то система совместная. Причем, если ранг равен числу переменных системы, то система имеет единственное решение, а если ранг меньше числа неизвестных, то множество решений системы бесконечно.

Преобразуем основную матрицу системы:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -13 &-13 \\ 2& 3& -1 &4 \\ 1&2 & 2 & 5\\ 2 & 1&-11 &8 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & -13 &-13 \\ 0& 5& 25&30 \\ 0&3 & 15 & 18\\ 0 & 3&15 &18 \end{pmatrix}\sim$$

$$\sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & -13 &-13 \\ 0 & 1&5 &6 \end{pmatrix}$$.
Так как ранг основной матрицы равен $$2$$, а число переменных системы равно $$4$$, то система совместная и неопределенная.

Мы выполнили следующие преобразования матрицы:

  1. вторая строка: все элементы первой строки исходной матрицы умножили на число –2 и сложили их с соответствующими элементами второй строки;
  2. третья строка: из элементов третьей строки исходной матрицы вычли соответствующие элементы первой строки;
  3. четвертая строка: все элементы первой строки исходной матрицы умножили на число –2 и сложили их с соответствующими элементами четвертой строки.
Выберите несколько вариантов ответов

Сумма модулей всех значений переменных, которые образуют решение системы линейных уравнений

$$\left\{\begin{array}{lr} 2x_1-2x_2+3x_3+x_4=7, \\ x_1-3x_2+5x_3-2x_4=4 , \\ x_1+5x_2-x_3+2x_4=-2, \\ 5x_1+x_2+4x_3-5x_4=-7, \end{array}\right. $$

равна:

Чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, необходимо:

  1. составить расширенную матрицу системы;
  2. с помощью элементарных преобразований привести ее к трапециевидному виду;
  3. на основе полученной матрицы составить и решить систему линейных уравнений.

Чтобы привести матрицу к треугольному (трапециевидному) виду, можно выполнять следующие элементарные преобразования этой матрицы:

  1. умножать и делить ее любою строку на отличное от нуля число;
  2. менять местами строки;
  3. складывать и вычитать строки;
  4. вычеркивать строки, все элементы в которых нули.
  1. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к трапециевидному виду:
    $$\tilde{A}=\begin{bmatrix} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 1 & -3 &5 &-2 &4 \\ 2 &-2 & 3 & 1 &7 \\ 5& 1 &4 &-5 &-7 \end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 0 & 8 &-6 &4 &-6 \\ 0 &-12 & 5 & -3 &11 \\ 0& -24 &9 &-15 &3 \end{bmatrix}\sim$$

    $$\sim \begin{bmatrix} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 0 & 8 &-6 &4 &-6 \\ 0 &-12 & 5 & -3 &11 \\ 0& -8 &3 &-5 &1 \end{bmatrix}$$ $$\sim$$ $$ \begin{bmatrix} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 0 & 4 &-3 &2 &-3 \\ 0 &-12 & 5 & -3 &11 \\ 0& 0 &3 &1 &5 \end{bmatrix}\sim$$

    $$\sim \begin{bmatrix} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 0 & 4 &-3 &2 &-3 \\ 0 &0 &-4 & 3 &2 \\ 0& 0 &3 &1 &5 \end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 0 & 4 &-3 &2 &-3 \\ 0 &0 &4 & -3 &-2 \\ 0& 0 &0 &1 &2 \end{bmatrix}$$.

  2. Запишем систему уравнений, соответствующую трапециевидной матрице:
    $$\left\{\begin{array}{lr} x_1+5x_2-x_3+2x_4=-2, \\ 4x_2-3x_3+2x_4=-3 , \\ 4x_3-3x_4=-2, \\ x_4=2. \end{array}\right.$$
    Зная $$x_{4}=2$$, найдем значения всех других переменных:

    $$x_{3}=1$$, $$x_{2}=-1$$, $$x_{1}=0$$.
  3. Тогда, $$0+1+1+2=4$$.

Любую систему линейных уравнений можно решить методом Гаусса.

Выберите один из вариантов