Решение систем линейных уравнений ИТ
Если $$(x_{1};x_{2};x_{3})$$ – решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} 2x_1+x_2-2x_3=9,\\ 3x_1-2x_2+x_3=2, \\ x_1+x_2-4x_3=11, \end{array}\right.$$ то значение $$x_{2}$$ равно (метод Крамера):
Чтобы решить систему линейных уравнений, содержащую $$n$$ уравнений и $$n$$ переменных, методом Крамера, необходимо:
1) найти определитель $$\left | A \right |$$ основной матрицы системы;
2) найти определители $$\left | A_{i} \right |$$ $$(i=\overline{1, n})$$, полученные в результате замены $$i$$-го столбца определителя столбцом свободных членов системы;
3) найти значения переменных уравнений системы по формулам:
$$x_{i}=\frac{\left | A_{i} \right |}{\left | A \right |}$$.
1) найти определитель $$\left | A \right |$$ основной матрицы системы;
2) найти определители $$\left | A_{i} \right |$$ $$(i=\overline{1, n})$$, полученные в результате замены $$i$$-го столбца определителя столбцом свободных членов системы;
3) найти значения переменных уравнений системы по формулам:
$$x_{i}=\frac{\left | A_{i} \right |}{\left | A \right |}$$.
1. Вычислим определители:
1) $$\left | A \right | =\begin{vmatrix} 2 & 1 & -2\\ 3&-2 & 1\\ 1&1 &-4 \end{vmatrix}$$, $$\left | A \right |=16+1-6-4+12-2=17$$;
2) $$\left | A_2 \right | =\begin{vmatrix} 2 & 9 & -2\\ 3&2 & 1\\ 1&11 &-4 \end{vmatrix}$$, $$\left | A \right |=-16+9-66+4+108-22=17$$.
2. Найдем значение переменной $$x_{2}$$:
$$x_{2}=\frac{17}{17}=1$$.
1) $$\left | A \right | =\begin{vmatrix} 2 & 1 & -2\\ 3&-2 & 1\\ 1&1 &-4 \end{vmatrix}$$, $$\left | A \right |=16+1-6-4+12-2=17$$;
2) $$\left | A_2 \right | =\begin{vmatrix} 2 & 9 & -2\\ 3&2 & 1\\ 1&11 &-4 \end{vmatrix}$$, $$\left | A \right |=-16+9-66+4+108-22=17$$.
2. Найдем значение переменной $$x_{2}$$:
$$x_{2}=\frac{17}{17}=1$$.
В этом задании значения других переменных находить не обязательно.
Выберите один из вариантов
Система линейных уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} 2x_1-3x_2+x_3=1, \\ x_1+x_2-3x_3=4, \\ 5x_1-x_2+6x_3=-1 \end{array}\right. $$ имеет решение:
Решением системы является упорядоченная совокупность чисел, при подстановке которых в систему каждое из ее уравнений обращается в верное равенство.
Выполним проверку приведенных вариантов возможных решений системы, подставляя значения переменных в каждое из уравнений системы:
1. Если $$x_{1}=-1$$, $$x_{2}=0$$, $$x_{3}=-2$$, то $$\left\{\begin{array}{lr} -2-0-2\neq 1, \\ -1+0+6\neq 4, \\ -5+0-12\neq -1. \end{array}\right.$$
2. Если $$x_{1}=1$$, $$x_{2}=1$$, $$x_{3}=2$$, то $$\left\{\begin{array}{lr} 2-3+2=1, \\ 1+1-6\neq 4, \\ 5-1+12\neq -1. \end{array}\right.$$
3. Если $$x_{1}=1$$, $$x_{2}=0$$, $$x_{3}=-1$$, то $$\left\{\begin{array}{lr} 2-0-1=1, \\ 1+0+3=4, \\ 5-0-6=-1. \end{array}\right.$$
1. Если $$x_{1}=-1$$, $$x_{2}=0$$, $$x_{3}=-2$$, то $$\left\{\begin{array}{lr} -2-0-2\neq 1, \\ -1+0+6\neq 4, \\ -5+0-12\neq -1. \end{array}\right.$$
2. Если $$x_{1}=1$$, $$x_{2}=1$$, $$x_{3}=2$$, то $$\left\{\begin{array}{lr} 2-3+2=1, \\ 1+1-6\neq 4, \\ 5-1+12\neq -1. \end{array}\right.$$
3. Если $$x_{1}=1$$, $$x_{2}=0$$, $$x_{3}=-1$$, то $$\left\{\begin{array}{lr} 2-0-1=1, \\ 1+0+3=4, \\ 5-0-6=-1. \end{array}\right.$$
Решить систему уравнений - значит найти все ее решения или показать, что эта система решений не имеет.
Выберите один из вариантов
Если $$(x_{0};y_{0};z_{0})$$ – решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} 2x+y-4z=1,\\ x+2y-z=1,\\ 3x-y+z=18, \end{array}\right.$$ то значение выражения $$x_{0} \cdot (y_{0} + z_{0})$$ равно:
Чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, необходимо:
1) составить расширенную матрицу системы;
2) с помощью элементарных преобразований привести ее к трапециевидному виду;
3) на основе полученной матрицы составить и решить систему линейных уравнений.
1) составить расширенную матрицу системы;
2) с помощью элементарных преобразований привести ее к трапециевидному виду;
3) на основе полученной матрицы составить и решить систему линейных уравнений.
Запишем расширенную матрицу системы:
$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &1 \\ 2 & 1 &-4&1 \\ 3 &-1 & 1&18\\ \end{array} \right]$$.
Преобразуем вторую строку матрицы. Умножим все элементы первой строки на число $$–2$$ и сложим их с соответственными элементами второй строки:
$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &1 \\ 0 & 3 &2&1 \\ 3 &-1 & 1&18\\ \end{array} \right]$$.
Преобразуем третью строку матрицы. Умножим все элементы первой строки на число $$–3$$ и сложим их с соответственными элементами третьей строки:
$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &1 \\ 0 & 3 &2&1 \\ 0 &-7 & 4&15\\ \end{array} \right]$$.
Умножим все элементы второй строки на число $$7$$, а элементы третьей строки на число $$3$$:
$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &1 \\ 0 & 21 &14&7 \\ 0 &-21 & 12&45\\ \end{array} \right]$$.
К элементам третьей строки прибавим соответственные элементы второй строки:
$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &1 \\ 0 & 21 &14&7 \\ 0 &0 & 26&52\\ \end{array} \right]$$.
Разделим все элементы второй строки на число $$7$$, а элементы третьей строки разделим на число $$26$$:
$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &1 \\ 0 & 3 &2&1 \\ 0 &0 & 1&2\\ \end{array} \right]$$.
Составим и решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lr} x+2y-z=1,\\ 3y+2z=1 ,\\ z=2; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{lr} x+2y-z=1,\\ y=-1 ,\\ z=2.\end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{lr} x=5,\\ y=-1 ,\\ z=2.\end{array}\right.$$
Найдем значение выражения:
$$x_0\cdot(y_0+z_0)=5\cdot(-1+2)=5$$.
$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &1 \\ 2 & 1 &-4&1 \\ 3 &-1 & 1&18\\ \end{array} \right]$$.
Преобразуем вторую строку матрицы. Умножим все элементы первой строки на число $$–2$$ и сложим их с соответственными элементами второй строки:
$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &1 \\ 0 & 3 &2&1 \\ 3 &-1 & 1&18\\ \end{array} \right]$$.
Преобразуем третью строку матрицы. Умножим все элементы первой строки на число $$–3$$ и сложим их с соответственными элементами третьей строки:
$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &1 \\ 0 & 3 &2&1 \\ 0 &-7 & 4&15\\ \end{array} \right]$$.
Умножим все элементы второй строки на число $$7$$, а элементы третьей строки на число $$3$$:
$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &1 \\ 0 & 21 &14&7 \\ 0 &-21 & 12&45\\ \end{array} \right]$$.
К элементам третьей строки прибавим соответственные элементы второй строки:
$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &1 \\ 0 & 21 &14&7 \\ 0 &0 & 26&52\\ \end{array} \right]$$.
Разделим все элементы второй строки на число $$7$$, а элементы третьей строки разделим на число $$26$$:
$$\left [ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &1 \\ 0 & 3 &2&1 \\ 0 &0 & 1&2\\ \end{array} \right]$$.
Составим и решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lr} x+2y-z=1,\\ 3y+2z=1 ,\\ z=2; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{lr} x+2y-z=1,\\ y=-1 ,\\ z=2.\end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{lr} x=5,\\ y=-1 ,\\ z=2.\end{array}\right.$$
Найдем значение выражения:
$$x_0\cdot(y_0+z_0)=5\cdot(-1+2)=5$$.
Элементарные преобразования матрицы:
$$1$$) умножение или деление всех элементов строки на отличное от нуля число;
$$2$$) перестановка строк;
$$3$$) сложение или вычитание соответственных элементов двух строк;
$$4$$) удаление строк, все элементы в которых нули.
$$1$$) умножение или деление всех элементов строки на отличное от нуля число;
$$2$$) перестановка строк;
$$3$$) сложение или вычитание соответственных элементов двух строк;
$$4$$) удаление строк, все элементы в которых нули.
Введите ответ в поле
Если $$(x_{0};y_{0};z_{0})$$ – решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} x+3y+3z=4,\\ 5x-3y=-4 ,\\ y+3z=-3, \end{array}\right.$$ то значение выражения $$x_{0}+y_{0}-z_{0}$$ равно (матричный метод):
1. Решение СЛАУ матричным методом:
$$X=A^{-1}\cdot B$$,
где $$X$$ – матрица переменных, $$A^{-1}$$ – матрица обратная к основной матрице системы, $$B$$ – матрица свободных членов.
2. Матрицу, обратную к матрице $$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} &a_{33}\end{bmatrix}$$, находят по формуле:
$$A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}\begin{bmatrix} A_{11} &A_{21} &A_{31} \\ A_{12} &A_{22} &A_{32} \\ A_{13} &A_{23} &A_{33} \end{bmatrix}$$,
где $$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$ – алгебраическое дополнение элемента $$a_{ij}$$ матрицы $$A$$,
$$\left | A \right |$$ – определитель матрицы $$A$$.
$$X=A^{-1}\cdot B$$,
где $$X$$ – матрица переменных, $$A^{-1}$$ – матрица обратная к основной матрице системы, $$B$$ – матрица свободных членов.
2. Матрицу, обратную к матрице $$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} &a_{33}\end{bmatrix}$$, находят по формуле:
$$A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}\begin{bmatrix} A_{11} &A_{21} &A_{31} \\ A_{12} &A_{22} &A_{32} \\ A_{13} &A_{23} &A_{33} \end{bmatrix}$$,
где $$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$ – алгебраическое дополнение элемента $$a_{ij}$$ матрицы $$A$$,
$$\left | A \right |$$ – определитель матрицы $$A$$.
1. Найдем определитель основной матрицы системы:
$$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 3\\5 & -3 & 0\\0 & 1 &3\end{vmatrix}=-9+0+15-0-45-0=-39$$.
2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы $$A$$:
$$A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1\cdot\begin{vmatrix} -3& 0\\1 & 3\end{vmatrix}=-9$$; $$A_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot\begin{vmatrix} 5& 0\\0 & 3\end{vmatrix}=-15$$;
$$A_{13}=(-1)^{4}M_{13}=1\cdot\begin{vmatrix} 5& -3\\0 & 1\end{vmatrix}=5$$; $$A_{21}=(-1)^{3}M_{21}=-1\cdot\begin{vmatrix} 3& 3\\1 & 3\end{vmatrix}=-6$$;
$$A_{22}=(-1)^{4}M_{22}=1\cdot\begin{vmatrix} 1& 3\\0 & 3\end{vmatrix}=3$$; $$A_{23}=(-1)^{5}M_{23}=-1\cdot\begin{vmatrix} 1& 3\\0 & 1\end{vmatrix}=-1$$;
$$A_{31}=(-1)^{4}M_{31}=1\cdot\begin{vmatrix} 3& 3\\-3 & 0\end{vmatrix}=9$$; $$A_{32}=(-1)^{5}M_{32}=-1\cdot\begin{vmatrix} 1& 3\\5 & 0\end{vmatrix}=15$$;
$$A_{33}=(-1)^{6}M_{33}=1\cdot\begin{vmatrix} 1& 3\\5 & -3\end{vmatrix}=-18$$.
3. Найдем матрицу, обратную к матрице $$A$$:
$$A^{-1}=\frac{1}{39}\begin{bmatrix} 9& 6 & -9\\15 & -3 & -15\\-5 & 1&18\end{bmatrix}$$.
4. Запишем искомую матрицу:
$$X=\frac{1}{-39}\begin{bmatrix} -9& -6 & 9\\-15 & 3 & 15\\5 & -1&-18\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 4&\\ -4 &\\-3\end{bmatrix}$$; $$X=\frac{1}{39}\begin{bmatrix} -9& -6 & 9\\-15 & 3 & 15\\5 & -1&-18\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} -4&\\ 4 &\\3\end{bmatrix}$$.
5. Найдем значения переменных:
$$x=\frac{1}{39}(9\cdot4-6\cdot 4+9\cdot 3)=1$$;
$$y=\frac{1}{39}(15\cdot4+3\cdot 4+15\cdot 3)=3$$;
$$y=\frac{1}{39}(-5\cdot4-1\cdot 4-18\cdot 3)=-2$$.
6. Найдем значения выражения:
$$x_0+y_0-z_0=1+3+2=6$$.
$$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 3\\5 & -3 & 0\\0 & 1 &3\end{vmatrix}=-9+0+15-0-45-0=-39$$.
2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы $$A$$:
$$A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1\cdot\begin{vmatrix} -3& 0\\1 & 3\end{vmatrix}=-9$$; $$A_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot\begin{vmatrix} 5& 0\\0 & 3\end{vmatrix}=-15$$;
$$A_{13}=(-1)^{4}M_{13}=1\cdot\begin{vmatrix} 5& -3\\0 & 1\end{vmatrix}=5$$; $$A_{21}=(-1)^{3}M_{21}=-1\cdot\begin{vmatrix} 3& 3\\1 & 3\end{vmatrix}=-6$$;
$$A_{22}=(-1)^{4}M_{22}=1\cdot\begin{vmatrix} 1& 3\\0 & 3\end{vmatrix}=3$$; $$A_{23}=(-1)^{5}M_{23}=-1\cdot\begin{vmatrix} 1& 3\\0 & 1\end{vmatrix}=-1$$;
$$A_{31}=(-1)^{4}M_{31}=1\cdot\begin{vmatrix} 3& 3\\-3 & 0\end{vmatrix}=9$$; $$A_{32}=(-1)^{5}M_{32}=-1\cdot\begin{vmatrix} 1& 3\\5 & 0\end{vmatrix}=15$$;
$$A_{33}=(-1)^{6}M_{33}=1\cdot\begin{vmatrix} 1& 3\\5 & -3\end{vmatrix}=-18$$.
3. Найдем матрицу, обратную к матрице $$A$$:
$$A^{-1}=\frac{1}{39}\begin{bmatrix} 9& 6 & -9\\15 & -3 & -15\\-5 & 1&18\end{bmatrix}$$.
4. Запишем искомую матрицу:
$$X=\frac{1}{-39}\begin{bmatrix} -9& -6 & 9\\-15 & 3 & 15\\5 & -1&-18\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 4&\\ -4 &\\-3\end{bmatrix}$$; $$X=\frac{1}{39}\begin{bmatrix} -9& -6 & 9\\-15 & 3 & 15\\5 & -1&-18\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} -4&\\ 4 &\\3\end{bmatrix}$$.
5. Найдем значения переменных:
$$x=\frac{1}{39}(9\cdot4-6\cdot 4+9\cdot 3)=1$$;
$$y=\frac{1}{39}(15\cdot4+3\cdot 4+15\cdot 3)=3$$;
$$y=\frac{1}{39}(-5\cdot4-1\cdot 4-18\cdot 3)=-2$$.
6. Найдем значения выражения:
$$x_0+y_0-z_0=1+3+2=6$$.
Если определитель основной матрицы системы равен нулю, то такую систему нельзя решить матричным методом.
Введите ответ в поле
Сумма модулей всех значений переменных, которые образуют решение системы линейных уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} 2x_1-2x_2+3x_3+x_4=7, \\ x_1-3x_2+5x_3-2x_4=4 , \\ x_1+5x_2-x_3+2x_4=-2, \\ 5x_1+x_2+4x_3-5x_4=-7, \end{array}\right.$$ равна (метод Гаусса):
1. Чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, необходимо:
1) cоставить расширенную матрицу системы;
2) с помощью элементарных преобразований привести матрицу к трапециевидному виду;
3) на основе полученной матрицы составить и решить систему уравнений;
1) cоставить расширенную матрицу системы;
2) с помощью элементарных преобразований привести матрицу к трапециевидному виду;
3) на основе полученной матрицы составить и решить систему уравнений;
2. Элементарные преобразования матрицы:
1) умножение или деление всех элементов строки на отличное от нуля число;
2) перестановка строк;
3) сложение или вычитание всех соответственных элементов двух строк;
4) удаление строк, все элементы в которых нули.
1) умножение или деление всех элементов строки на отличное от нуля число;
2) перестановка строк;
3) сложение или вычитание всех соответственных элементов двух строк;
4) удаление строк, все элементы в которых нули.
Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к трапециевидному виду:
$$\tilde{A}=\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 1 & -3 &5 &-2 &4 \\ 2 &-2 & 3 & 1 &7 \\ 5& 1 &4 &-5 &-7 \end{array}\right]$$ $$\sim$$ $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 0 & 8 &-6 &4 &-6 \\ 0 &-12 & 5 & -3 &11 \\ 0& -24 &9 &-15 &3 \end{array}\right]$$ $$\sim$$
$$\sim$$ $$ \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 0 & 8 &-6 &4 &-6 \\ 0 &-12 & 5 & -3 &11 \\ 0& -8 &3 &-5 &1 \end{array}\right]$$ $$\sim$$ $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 0 & 4 &-3 &2 &-3 \\ 0 &-12 & 5 & -3 &11 \\ 0& 0 &3 &1 &5 \end{array}\right]$$ $$\sim$$
$$\sim$$ $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 0 & 4 &-3 &2 &-3 \\ 0 &0 &-4 & 3 &2 \\ 0& 0 &3 &1 &5 \end{array}\right]$$ $$\sim$$ $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 0 & 4 &-3 &2 &-3 \\ 0 &0 &4 & -3 &-2 \\ 0& 0 &0 &1 &2 \end{array}\right]$$.
Запишем систему уравнений, соответствующую трапециевидной матрице:
$$\tilde{A}=\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 1 & -3 &5 &-2 &4 \\ 2 &-2 & 3 & 1 &7 \\ 5& 1 &4 &-5 &-7 \end{array}\right]$$ $$\sim$$ $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 0 & 8 &-6 &4 &-6 \\ 0 &-12 & 5 & -3 &11 \\ 0& -24 &9 &-15 &3 \end{array}\right]$$ $$\sim$$
$$\sim$$ $$ \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 0 & 8 &-6 &4 &-6 \\ 0 &-12 & 5 & -3 &11 \\ 0& -8 &3 &-5 &1 \end{array}\right]$$ $$\sim$$ $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 0 & 4 &-3 &2 &-3 \\ 0 &-12 & 5 & -3 &11 \\ 0& 0 &3 &1 &5 \end{array}\right]$$ $$\sim$$
$$\sim$$ $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 0 & 4 &-3 &2 &-3 \\ 0 &0 &-4 & 3 &2 \\ 0& 0 &3 &1 &5 \end{array}\right]$$ $$\sim$$ $$\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 5 &-1 &2 &-2 \\ 0 & 4 &-3 &2 &-3 \\ 0 &0 &4 & -3 &-2 \\ 0& 0 &0 &1 &2 \end{array}\right]$$.
Запишем систему уравнений, соответствующую трапециевидной матрице:
$$\left\{\begin{array}{lr} x_{1}+5x_{2}-x_{3}+2x_{4}=-2, \\ 4x_2-3x_3+2x_4=-3 , \\ 4x_3-3x_4=-2, \\ x_4=2. \end{array}\right.$$
Зная $$x_{4}=2$$, найдем значения всех других переменных:
$$x_{3}=1$$; $$x_{2}=-1$$; $$x_{1}=0$$.
Найдем сумму модулей всех значений переменных:
$$0+1+1+2=4$$.
Зная $$x_{4}=2$$, найдем значения всех других переменных:
$$x_{3}=1$$; $$x_{2}=-1$$; $$x_{1}=0$$.
Найдем сумму модулей всех значений переменных:
$$0+1+1+2=4$$.
Любую систему линейных уравнений можно решить методом Гаусса.
Введите ответ в поле
Если $$(x_{0};y_{0};z_{0})$$ – решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} x-2y+3z+1=0,\\ 2x+y-z=2, \\ x+y-4z=-7, \end{array}\right.$$ то значение $$x_{0}$$ равно (метод Крамера):
Чтобы решить систему линейных уравнений, содержащую $$n$$ уравнений и $$n$$ переменных, методом Крамера, необходимо:
1) найти определитель $$\left | A \right |$$ основной матрицы системы;
2) найти определители $$\left | A_{i} \right |$$ $$(i=\overline{1, n})$$, полученные в результате замены $$i$$-го столбца определителя столбцом свободных членов системы;
3) найти значения переменных уравнений системы по формулам:
1) найти определитель $$\left | A \right |$$ основной матрицы системы;
2) найти определители $$\left | A_{i} \right |$$ $$(i=\overline{1, n})$$, полученные в результате замены $$i$$-го столбца определителя столбцом свободных членов системы;
3) найти значения переменных уравнений системы по формулам:
$$x_{i}=\frac{\left | A_{i} \right |}{\left | A \right |}$$.
1. Вычислим определители:
1) $$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 1 & -2 &3 \\ 2 & 1&-1 \\ 1& 1& -4 \end{vmatrix}$$, $$\left | A \right |=-4+2+6-3-16+1=-14$$;
2) $$\left | A_{1} \right |=\begin{vmatrix} -1 & -2 &3 \\ 2 & 1&-1 \\ -7& 1& -4 \end{vmatrix}$$, $$\left | A_{1} \right |=4-14+6+21-16-1=0$$.
2. Найдем значение переменной $$x$$:
1) $$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 1 & -2 &3 \\ 2 & 1&-1 \\ 1& 1& -4 \end{vmatrix}$$, $$\left | A \right |=-4+2+6-3-16+1=-14$$;
2) $$\left | A_{1} \right |=\begin{vmatrix} -1 & -2 &3 \\ 2 & 1&-1 \\ -7& 1& -4 \end{vmatrix}$$, $$\left | A_{1} \right |=4-14+6+21-16-1=0$$.
2. Найдем значение переменной $$x$$:
$$x=\frac{0}{-14}=0$$.
В этом задании значения других переменных находить не обязательно.
Введите ответ в поле
Если $$(x_0, y_0)$$ – решение системы линейных уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} 4x+7y-1=0, \\ 5x-3y-13=0, \\ -8x-14y+2=0, \end{array}\right.$$ то значение выражения $$x_{0}^{-2}+y_{0}^{-1}$$ равно (метод Крамера):
Чтобы решить систему линейных уравнений, содержащую $$n$$ уравнений и $$n$$ переменных, методом Крамера, необходимо:
1) найти определитель $$\left | A \right |$$ основной матрицы системы;
2) найти определители $$\left | A_{i} \right |$$ $$(i=\overline{1, n})$$, полученные в результате замены $$i$$-го столбца определителя столбцом свободных членов системы;
3) найти значения переменных уравнений системы по формулам:
1) найти определитель $$\left | A \right |$$ основной матрицы системы;
2) найти определители $$\left | A_{i} \right |$$ $$(i=\overline{1, n})$$, полученные в результате замены $$i$$-го столбца определителя столбцом свободных членов системы;
3) найти значения переменных уравнений системы по формулам:
$$x_{i}=\frac{\left | A_{i} \right |}{\left | A \right |}$$.
Разделим третье уравнение системы на число $$-2$$:
$$\left\{\begin{array}{lr} 4x+7y-1=0, \\ 5x-3y-13=0, \\ 4x+7y-1=0. \end{array}\right.$$
Запишем систему в виде:
$$\left\{\begin{array}{lr} 4x+7y=1, \\ 5x-3y=13. \\\end{array}\right.$$
Найдем определитель основной матрицы системы:
$$\triangle = \begin{vmatrix} 4 & 7\\ 5& -3 \end{vmatrix}=-12-35=-47\neq 0$$.
Решим систему методом Крамера.
Найдем определители:
$$\triangle_{1} = \begin{vmatrix} 1 & 7\\ 13& -3 \end{vmatrix}=-3-91=-94$$;
$$\triangle_{2} = \begin{vmatrix} 4 & 1\\ 5& 13 \end{vmatrix}=52-5=47$$.
Найдем значения переменных:
$$x_0=\frac{-94}{-47}=2$$;
$$y_0=\frac{47}{-47}=-1$$.
Найдем значение выражения:
Запишем систему в виде:
$$\left\{\begin{array}{lr} 4x+7y=1, \\ 5x-3y=13. \\\end{array}\right.$$
Найдем определитель основной матрицы системы:
$$\triangle = \begin{vmatrix} 4 & 7\\ 5& -3 \end{vmatrix}=-12-35=-47\neq 0$$.
Решим систему методом Крамера.
Найдем определители:
$$\triangle_{1} = \begin{vmatrix} 1 & 7\\ 13& -3 \end{vmatrix}=-3-91=-94$$;
$$\triangle_{2} = \begin{vmatrix} 4 & 1\\ 5& 13 \end{vmatrix}=52-5=47$$.
Найдем значения переменных:
$$x_0=\frac{-94}{-47}=2$$;
$$y_0=\frac{47}{-47}=-1$$.
Найдем значение выражения:
$$x_{0}^{-2}+y_{0}^{-1}=\frac{1}{4}-1=-0, 75$$.
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$
Введите ответ в поле
Сумма всех значений переменных, которые образуют решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} x_1+5x_2+x_3=0, \\ 2x_1-x_2+3x_3=1, \\ x_1+x_2-x_3=3, \end{array}\right. $$ равна (метод Крамера):
Чтобы решить систему линейных уравнений, содержащую $$n$$ уравнений и $$n$$ переменных, методом Крамера, необходимо:
1) найти определитель $$\left | A \right |$$ основной матрицы системы;
2) найти определители $$\left | A_{i} \right |$$ $$(i=\overline{1, n})$$, полученные в результате замены $$i$$-го столбца определителя столбцом свободных членов системы;
3) найти значения переменных уравнений системы по формулам:
1) найти определитель $$\left | A \right |$$ основной матрицы системы;
2) найти определители $$\left | A_{i} \right |$$ $$(i=\overline{1, n})$$, полученные в результате замены $$i$$-го столбца определителя столбцом свободных членов системы;
3) найти значения переменных уравнений системы по формулам:
$$x_{i}=\frac{\left | A_{i} \right |}{\left | A \right |}$$.
Вычислим определители:
1) $$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 1 & 5&1 \\ 2& -1 & 3\\ 1&1 & -1 \end{vmatrix}$$, $$\left|A\right|=1+15+2+1+10-3=26$$;
2) $$\left | A_{1} \right |=\begin{vmatrix} 0 & 5&1 \\ 1& -1 & 3\\ 3&1 & -1 \end{vmatrix}$$, $$\left | A_{1} \right |=0+45+1+3+0+5=54$$;
3) $$\left | A_{2} \right |=\begin{vmatrix} 1 & 0&1 \\ 2& 1 & 3\\ 1&3 & -1 \end{vmatrix}$$, $$\left|A_{2}\right|=-1+0+6-1-0-9=-5$$;
4) $$\left | A_{3} \right |=\begin{vmatrix} 1 & 5&0 \\ 2& -1 & 1\\ 1&1 & 3 \end{vmatrix}$$, $$\left | A_{3} \right |=-3+5+0-0-30-1=-29$$.
Найдем значения переменных:
$$x_{1}=\frac{54}{26}$$; $$x_{2}=-\frac{5}{26}$$; $$x_{3}=-\frac{29}{26}$$.
Найдем сумму всех значений переменных:
$$\frac{54}{26}-\frac{5}{26}-\frac{29}{26}=\frac{10}{13}$$.
1) $$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 1 & 5&1 \\ 2& -1 & 3\\ 1&1 & -1 \end{vmatrix}$$, $$\left|A\right|=1+15+2+1+10-3=26$$;
2) $$\left | A_{1} \right |=\begin{vmatrix} 0 & 5&1 \\ 1& -1 & 3\\ 3&1 & -1 \end{vmatrix}$$, $$\left | A_{1} \right |=0+45+1+3+0+5=54$$;
3) $$\left | A_{2} \right |=\begin{vmatrix} 1 & 0&1 \\ 2& 1 & 3\\ 1&3 & -1 \end{vmatrix}$$, $$\left|A_{2}\right|=-1+0+6-1-0-9=-5$$;
4) $$\left | A_{3} \right |=\begin{vmatrix} 1 & 5&0 \\ 2& -1 & 1\\ 1&1 & 3 \end{vmatrix}$$, $$\left | A_{3} \right |=-3+5+0-0-30-1=-29$$.
Найдем значения переменных:
$$x_{1}=\frac{54}{26}$$; $$x_{2}=-\frac{5}{26}$$; $$x_{3}=-\frac{29}{26}$$.
Найдем сумму всех значений переменных:
$$\frac{54}{26}-\frac{5}{26}-\frac{29}{26}=\frac{10}{13}$$.
1. Данная система имеет единственное решение, следовательно, она совместная определенная.
2. Если определитель основной матрицы системы равен нулю, то такую систему уравнений нельзя решить методом Крамера.
2. Если определитель основной матрицы системы равен нулю, то такую систему уравнений нельзя решить методом Крамера.
Выберите один из вариантов
Если $$(x_{0};y_{0};z_{0})$$ – решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} 2x+y-3z=11,\\ x-3y+5z=-11, \\ x+y-4z=11, \end{array}\right.$$ то значение $$z_{0}$$ равно (метод Крамера):
Чтобы решить систему линейных уравнений, содержащую $$n$$ уравнений и $$n$$ переменных, методом Крамера, необходимо:
1) найти определитель $$\left | A \right |$$ основной матрицы системы;
2) найти определители $$\left | A_{i} \right |$$ $$(i=\overline{1, n})$$, полученные в результате замены $$i$$-го столбца определителя столбцом свободных членов системы;
3) найти значения переменных уравнений системы по формулам: $$x_{i}=\frac{\left | A_{i} \right |}{\left | A \right |}$$.
1) найти определитель $$\left | A \right |$$ основной матрицы системы;
2) найти определители $$\left | A_{i} \right |$$ $$(i=\overline{1, n})$$, полученные в результате замены $$i$$-го столбца определителя столбцом свободных членов системы;
3) найти значения переменных уравнений системы по формулам: $$x_{i}=\frac{\left | A_{i} \right |}{\left | A \right |}$$.
Вычислим определители:
1) $$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 2 & 1 &-3 \\ 1 & -3&5 \\ 1& 1& -4 \end{vmatrix}$$, $$\left|A\right|=24+5-3+9+4-10=11$$;
1) $$\left | A \right |=\begin{vmatrix} 2 & 1 &-3 \\ 1 & -3&5 \\ 1& 1& -4 \end{vmatrix}$$, $$\left|A\right|=24+5-3+9+4-10=11$$;
2) $$\left | A_3 \right | =\begin{vmatrix} 2 & 1 &11 \\ 1& -3 & -11\\ 1& 1 & 11 \end{vmatrix}$$, $$\left|A_3\right|=-66-11+11+33-11+22=-22$$.
Найдем значение переменной $$z_{0}$$:
Найдем значение переменной $$z_{0}$$:
$$z_{0}=\frac{-22}{11}=-2$$.
В этом задании значения других переменных находить не обязательно.
Введите ответ в поле
Среднее арифметическое всех значений переменных, которые образуют решение системы линейных уравнений
$$\begin{cases} 5x-3y=1, \\ 3x+2y=12,\end{cases}$$ равно:
Чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, необходимо:
1) составить расширенную матрицу системы;
2) с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу к трапециевидному виду;
3) на основе полученной матрицы составить и решить систему линейных уравнений.
1) составить расширенную матрицу системы;
2) с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу к трапециевидному виду;
3) на основе полученной матрицы составить и решить систему линейных уравнений.
Запишем расширенную матрицу системы:
$$\left[\begin{array}{rr|r} 5& -3 &1 \\ 3 & 2 &12\end{array}\right]$$.
Умножим все элементы первой строки матрицы на число $$–3$$, а элементы второй строки умножим на число $$5$$:
$$\left[\begin{array}{rr|r} -15& 9 &-3 \\ 15 & 10 &60\end{array}\right]$$.
Заменим втору строку матрицы суммой соответственных элементов этих строк:
$$\left[\begin{array}{rr|r} -15& 9 &-3 \\ 0 & 19 &57\end{array}\right]$$.
Разделим все элементы первой строки матрицы на число $$–3$$, а элементы второй строки разделим на число $$19$$:
$$\left[\begin{array}{rr|r} 5& -3 &1 \\ 0 & 1 &3\end{array}\right]$$.
Составим и решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lr} 5x-3y=1,\\ y=3; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{lr} x=2,\\ y=3. \end{array}\right.$$
Найдем среднее арифметическое значений переменных:
$$(2+3):{2}=2,5$$.
$$\left[\begin{array}{rr|r} 5& -3 &1 \\ 3 & 2 &12\end{array}\right]$$.
Умножим все элементы первой строки матрицы на число $$–3$$, а элементы второй строки умножим на число $$5$$:
$$\left[\begin{array}{rr|r} -15& 9 &-3 \\ 15 & 10 &60\end{array}\right]$$.
Заменим втору строку матрицы суммой соответственных элементов этих строк:
$$\left[\begin{array}{rr|r} -15& 9 &-3 \\ 0 & 19 &57\end{array}\right]$$.
Разделим все элементы первой строки матрицы на число $$–3$$, а элементы второй строки разделим на число $$19$$:
$$\left[\begin{array}{rr|r} 5& -3 &1 \\ 0 & 1 &3\end{array}\right]$$.
Составим и решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lr} 5x-3y=1,\\ y=3; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{lr} x=2,\\ y=3. \end{array}\right.$$
Найдем среднее арифметическое значений переменных:
$$(2+3):{2}=2,5$$.
Элементарные преобразования матрицы:
1) умножение или деление всех элементов строки на отличное от нуля число;
2) перестановка строк;
3) сложение или вычитание соответственных элементов двух строк;
4) удаление строк, все элементы в которых нули.
1) умножение или деление всех элементов строки на отличное от нуля число;
2) перестановка строк;
3) сложение или вычитание соответственных элементов двух строк;
4) удаление строк, все элементы в которых нули.
Введите ответ в поле