Загрузка

Дифференциальные уравнения второго порядка


Общее решение уравнения у"=12х-10 имеет вид:
1. Дифференциальным уравнением второго порядка называют уравнение вида:$$f(x;y;y';y")=0$$.
2. Уравнения вида $$y"=f(x)$$ можно решить, дважды его интегрируя.
Так как $$y"=\frac{dy'}{dx}$$ ,то уравнение примет вид:
 $$\frac{dy'}{dx}=12x-10$$; dy'=(12x-10)dx.
 Проинтегрируем его: 
$$\int dy'= \int (12x-10)dx$$ 
$$y'=6x^2-10x+C_1$$
 Так как $$y'=\frac{dy}{dx}$$, то запишем полученное уравнение в виде:
  $$dy=(6x^2-10x+c1)dx$$ и проинтегрируем его:
 $$\int dy = \int (6x^2-10x+C_1)dx$$
 $$y=2x^3-5x^2+C_1x+C_2)$$
Обратите внимание! $$\int kdx=k \int dx=kx+C_2$$
 $$\int x^ndx=\frac{x^n+1}{n+1}+C$$
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$y"-5y'+4y=3e^x$$ имеет вид:
Выберите один из вариантов
Решение задачи Коши для уравнения y"+6y'=0 при y(0)=1, y'(0)=6 имеет вид:
Составим характеристическое уравнение:
 $$k^2+6k=0$$, откуда$$ k_1=0, k_2=-6$$.
 Запишем общее решение данного уравнения:
 $$y=C_1e^0+C_2e^{-6x}$$ или $$y=C_1+C_2e^{-6x}$$.
 Найдем частное решение данного уравнения. 
 Подставляя значения x=0 и y=1 в общее решение уравнения, получим: $$1=C_1+C_2e^0$$ , $$C_1+C_2=1$$ .
 Найдем производную функции, которая является общим решением уравнения:
 $$y'=-6C_2e^{-6x}$$ . 
 Подставляя значения x=0 и y'=6 в это равенство, получим
$$6=-6C_2 ,C_2=-1 . $$
 А так как 
$$C_1+C_2=1$$, то $$C_1=2$$
 Подставляя значения $$C_1=2$$ и $$C_2=-1$$ в общее решение уравнения, получим его частное решение: $$y=2-e^{-6x}$$ .
Выберите один из вариантов
Решением уравнения $$y"+4y=cos2x$$ является семейство интегральных кривых:
Выберите один из вариантов
Решение уравнения y"-5y'+7y=0 имеет вид:

Составим характеристическое уравнение: $$k^2-5k+7=0$$,
 откуда $$D=25-28=-3=3i^2$$ 
$$ k_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt3}{2},k_{1,2}=2,5\pm 0,5 \sqrt 3i$$ 
$$a=2,5 d=0,5 \sqrt3$$.
 Запишем общее решение данного уравнения: $$ y=e^{2,5x}(C_1cos0,5\sqrt3x+C_2sin0,5\sqrt3x) $$.
Выберите один из вариантов
Решением уравнения $$y"+2y'-3y=5x^2+2x-3$$ является семейство интегральных кривых:
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$y"=4y'-5y=14e^{2x}$$ имеет вид:
Выберите один из вариантов
Решение уравнения y"-8y'+7y=0 имеет вид:
Имеем однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение: $$k^2-8k+7=0$$, откуда $$k_1=1,k_2=7$$. Запишем общее решение данного уравнения: $$y=C_1e^x+C_2e^{7x}$$
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения 2xy"=y' имеет вид:
Пусть $$y'=t$$, тогда $$y"=\frac{dt}{dx}$$. 
Уравнение примет вид: $$\frac{2xdt}{dx}=t$$ или 2xdt=tdx.
 Разделим переменные и проинтегрируем его:
$$\frac{2dt}{t}=\frac{dx}{x} ,\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x},lnt=\frac{1}{2} lnt=\frac{1}{2}lnx+lnx+lnC_1 ,lnt=lnx^{0,5}+lnC_1,lntC_1x^{0,5},t=C_1x^{0,5}$$. 
Учитывая подстановку y'=t, получим:
 $$dy=C_1x^{0,5}dx, \int dy=C_1 \int x^{0,5}dx ,y=\frac{2C_1}{3}x^{1,5}+C_2$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения y"-8y'+16y=0 имеет вид:
Составим характеристическое уравнение:
 $$k^2-8k+16=0$$, откуда $$k_1=k_2=4$$.
 Запишем общее решение данного уравнения: 
 $$y=C_1e^{4x}+C_2xe^{4e}$$
Выберите один из вариантов