Дифференциальные уравнения второго порядка ИТ 1
Общее решение уравнения $$y''=12x-10$$ имеет вид:
1. Дифференциальным уравнением второго порядка называют уравнение вида:
$$f(x;y;y';y'')=0$$.
2. Уравнения вида $$y''=f(x)$$ можно решить, дважды его интегрируя.
Так как $$y''=\frac{dy'}{dx}$$ , то уравнение примет вид:
$$\frac{dy'}{dx}=12x-10$$; $$dy'=(12x-10)dx$$.
Проинтегрируем его:
$$\int dy'= \int (12x-10)dx $$; $$y'=6x^2-10x+C_1$$.
Так как $$y'=\frac{dy}{dx}$$, то запишем полученное уравнение в виде:
$$dy=(6x^2-10x+С_{1})dx $$.
Проинтегрируем последнее равенство:
$$\int dy = \int (6x^2-10x+C_1)dx$$; $$y=2x^3-5x^2+C_1x+C_2$$.
Значения интегралов:
$$\int kdx=k \int dx=kx+C$$;$$\int x^ndx=\frac{x^n+1}{n+1}+C$$.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$y''=cos^2 2x$$ имеет вид:
1. Уравнение вида $$y''=f(x)$$ можно решить, дважды его интегрируя.
2. Формула понижения степени:
$$cos^2x=\frac{1}{2}(1+cos2x)$$.
2. Формула понижения степени:
$$cos^2x=\frac{1}{2}(1+cos2x)$$.
Так как $$y''=\frac{dy'}{dx}$$, то уравнение примет вид:
$$dy'=cos^2 2xdx$$.
Проинтегрируем его:
$$\int dy'=\int cos^2 2xdx$$;
$$y'=\frac{1}{2}\int (1+cos4x)dx$$;
$$y'=\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}\int cos4 xd(4x)$$;
$$y'=\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}sin 4x+C_1$$.
Так как $$y'=\frac{dy}{dx}$$, то запишем полученное уравнение в виде
$$dy= \left ( \frac{1}{2}x+\frac{1}{8}sin 4x+C_1\right )dx$$
и проинтегрируем его:
$$y=\frac{x^2}{4}-\frac{cos4x}{32}+C_1x+C_2$$.
$$dy'=cos^2 2xdx$$.
Проинтегрируем его:
$$\int dy'=\int cos^2 2xdx$$;
$$y'=\frac{1}{2}\int (1+cos4x)dx$$;
$$y'=\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}\int cos4 xd(4x)$$;
$$y'=\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}sin 4x+C_1$$.
Так как $$y'=\frac{dy}{dx}$$, то запишем полученное уравнение в виде
$$dy= \left ( \frac{1}{2}x+\frac{1}{8}sin 4x+C_1\right )dx$$
и проинтегрируем его:
$$y=\frac{x^2}{4}-\frac{cos4x}{32}+C_1x+C_2$$.
Уравнение вида $$y''=f(x)$$ можно решить с помощью подстановки $$y'=t$$.
Выберите один из вариантов
Решение задачи Коши для уравнения $$y''+6y'=0$$ при $$y(0)=1$$, $$y'(0)=6$$ имеет вид:
Если $$ k_{1}\neq k_{2} \in R$$, то общее решение уравнения $$y’’+py’+qy=0$$ имеет вид:
$$y=C_{1}e^{k_{1}x}+C_{2}e^{k_{2}x}$$,
где $$k_{1}$$ и $$k_{2}$$ корни характеристического уравнения $$k^{2}+pk+q=0$$.
1. Составим и решим характеристическое уравнение:
$$k^2+6k=0$$, откуда $$k_1=0, k_2=-6$$.
2. Запишем общее решение данного дифференциального уравнения:
$$y=C_1e^0+C_2e^{-6x}$$ или $$y=C_1+C_2e^{-6x}$$.
3. Найдем его частное решение.
Подставляя значения $$x=0$$ и $$y=1$$ в общее решение уравнения, получим:
$$1=C_1+C_2e^0$$
, $$C_1+C_2=1$$ .
4. Найдем производную функции, которая является общим решением уравнения:
$$y'=-6C_2e^{-6x}$$
.
5. Найдем произвольные постоянные.
Подставляя значения $$x=0$$ и $$y'=6$$ в равенство $$y'=-6C_2e^{-6x}$$, получим:
$$6=-6C_2$$, откуда $$C_2=-1$$.
А так как $$C_1+C_2=1$$, то $$C_1=2$$.
6. Подставляя значения $$C_1=2$$ и $$C_2=-1$$ в общее решение уравнения, получим его частное решение:
$$y=2-e^{-6x}$$ .
Решить задачу Коши – значит найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
$$y(x_{1})=y_{1}$$ и $$y'(x_{2})=y_{2}$$ .
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''+4y=0$$, удовлетворяющее начальным условиям $$y(0)=-1$$ и $$y'(π)=2$$, имеет вид:
Однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
$$y''+py'+qy=0$$.
Чтобы решить это уравнение необходимо составить и решить характеристическое уравнение:
$$k^2+pk+q=0$$.
Если $$k_{1,2}=a\pm ib\in C$$, то общее решение уравнения имеет вид:
$$y=e^{ax}(C_{1}cosbx+C_{2}sinbx)$$.
$$y''+py'+qy=0$$.
Чтобы решить это уравнение необходимо составить и решить характеристическое уравнение:
$$k^2+pk+q=0$$.
Если $$k_{1,2}=a\pm ib\in C$$, то общее решение уравнения имеет вид:
$$y=e^{ax}(C_{1}cosbx+C_{2}sinbx)$$.
1. Найдем общее решение данного уравнения.
Составим характеристическое уравнение:
$$k^2+4=0$$, $$k^2=-2$$, откуда $$k_{1,2}=\pm 2i$$.
Тогда: $$a=0$$; $$b=2$$.
Запишем общее решение данного уравнения:
$$y=e^{0}(C_{1}cos2x+C_{2}sin2x)$$ или $$y=C_{1}cos2x+C_{2}sin2x$$.
2. Найдем частное решение данного уравнения.
Подставляя значения $$x=0$$ и $$y=-1$$ в общее решение уравнения, получим:
$$-1=C_{1}\cdot1+C_{2}\cdot 0$$, откуда $$C_{1}=-1$$.
Найдем производную функции, которая является общим решением уравнения:
$$y'=-2C_{1}sin2x+2C_{2}cos2x$$.
Подставляя значения $$x=π$$ и $$y'=2$$ в это равенство, получим:
$$2=-2C_{1}\cdot0+2C_{2}\cdot 1$$, откуда $$C_{2}=1$$.
Подставляя значения $$C_{1}=-1$$ и $$C_{2}=1$$ в общее решение уравнения, получим его частное решение:
$$y=-cos2x+sin2x$$.
Составим характеристическое уравнение:
$$k^2+4=0$$, $$k^2=-2$$, откуда $$k_{1,2}=\pm 2i$$.
Тогда: $$a=0$$; $$b=2$$.
Запишем общее решение данного уравнения:
$$y=e^{0}(C_{1}cos2x+C_{2}sin2x)$$ или $$y=C_{1}cos2x+C_{2}sin2x$$.
2. Найдем частное решение данного уравнения.
Подставляя значения $$x=0$$ и $$y=-1$$ в общее решение уравнения, получим:
$$-1=C_{1}\cdot1+C_{2}\cdot 0$$, откуда $$C_{1}=-1$$.
Найдем производную функции, которая является общим решением уравнения:
$$y'=-2C_{1}sin2x+2C_{2}cos2x$$.
Подставляя значения $$x=π$$ и $$y'=2$$ в это равенство, получим:
$$2=-2C_{1}\cdot0+2C_{2}\cdot 1$$, откуда $$C_{2}=1$$.
Подставляя значения $$C_{1}=-1$$ и $$C_{2}=1$$ в общее решение уравнения, получим его частное решение:
$$y=-cos2x+sin2x$$.
Число, квадрат которого равен $$–1$$, обозначают буквой $$i$$ и называют мнимой единицей: $$i^2=-1$$.
Числа вида $$a\pm bi$$, где $$a$$ и $$b$$ – любые действительные числа, а число $$i$$ – мнимая единица, называют комплексными числами.
Числа вида $$a\pm bi$$, где $$a$$ и $$b$$ – любые действительные числа, а число $$i$$ – мнимая единица, называют комплексными числами.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$2xy''=y'$$ имеет вид:
Уравнение вида $$y''=f(x;y')$$ можно решить с помощью подстановки $$y'=t$$.
Пусть $$y'=t$$, тогда $$y''=\frac{dt}{dx}$$.
Уравнение примет вид:
$$\frac{2xdt}{dx}=t$$ или $$2xdt=tdx$$.
Разделим переменные и проинтегрируем его:
$$\frac{2dt}{t}=\frac{dx}{x} $$,
$$\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}$$,
$$lnt=\frac{1}{2} lnx+lnC_1$$,
$$lnt=lnx^{0,5}+lnC_1$$,
$$lnt=lnC_1x^{0,5}$$, $$t=C_1x^{0,5}$$.
Учитывая подстановку $$y'=t$$, получим:
$$dy=C_1x^{0,5}dx$$,
$$ \int dy=C_1 \int x^{0,5}dx$$,
$$y=\frac{2C_1}{3}x^{1,5}+C_2$$.
Общее решение уравнения $$f(x;y;y';y'')=0$$ имеет вид:
$$y=\phi(x;C_1;C_2)$$ или $$Ф(x;y;C_1;C_2)=0$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''-5y'+7y=0$$ имеет вид:
Если $$k_{1,2}=a\pm ib\in C$$, то общее решение уравнения $$y''+py'+qy=0$$ имеет вид:
$$y=e^{ax}(C_{1}\textrm{cos}bx+C_{2}\textrm{sin}bx)$$,
где $$k_{1}$$ и $$k_{2}$$ корни характеристического уравнения $$k^{2}+pk+q=0$$.
Составим и решим характеристическое уравнение:
$$k^2-5k+7=0$$, откуда $$D=25-28=-3=3i^2$$,
$$ k_{1,2}=\frac{5\pm i\sqrt3}{2}, k_{1,2}=2,5\pm 0,5 \sqrt 3i$$.
Тогда: $$a=2,5; b=0,5 \sqrt3$$.
Запишем общее решение данного дифференциального уравнения:
$$ y=e^{2,5x}(C_1\textrm{cos}0,5\sqrt3x+C_2\textrm{sin}0,5\sqrt3x) $$.
1. Квадратное уравнение $$ ax^{2}+bx+c=0$$ в случае $$ D< 0$$ действительных корней не имеет, но имеет комплексные корни.
2. Число, квадрат которого равен $$–1$$, обозначают буквой $$i$$ и называют мнимой единицей: $$i^{2}=-1$$.
3. Числа вида $$a\pm bi$$, где $$a$$ и $$b$$ – любые действительные числа, а число $$i$$ – мнимая единица, называют комплексными числами.
Число $$a$$ называют действительной частью комплексного числа, число $$b$$ – его мнимой частью.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$y''-12y'+10=0$$ имеет вид:
1. Дифференциальным уравнением второго порядка называют уравнение вида:
$$f(x;y;y';y'')=0$$.
2. Уравнения вида $$y''=f(x)$$ можно решить, дважды его интегрируя.
$$f(x;y;y';y'')=0$$.
2. Уравнения вида $$y''=f(x)$$ можно решить, дважды его интегрируя.
Так как $$y''=\frac{dy'}{dx}$$, то уравнение примет вид:
$$\frac{dy'}{dx}=12y'-10$$; $$dy'=(12y'-10)dx$$; $$\frac{dy'}{12y'-10}=dx$$.
Проинтегрируем его:
$$\frac{1}{12}\int \frac{d(12y'-10)}{12y'-10}=\int dx$$;
$$\textrm{ln} \left |12y'-10 \right |=12x+C_1$$;
$$12y'=e^{12x+C_1}+10$$.
Так как $$y'=\frac{dy}{dx}$$, то запишем полученное уравнение в виде:
$$12dy=(e^{12x+C_1}+10)dx$$.
Проинтегрируем его:
$$12\int dy =\frac{1}{12}\int e^{12x+C_1}d(12x+C_1)+10\int dx$$;
$$12y=\frac{1}{12}e^{12x+C_1}+10x+C_2$$.
$$\frac{dy'}{dx}=12y'-10$$; $$dy'=(12y'-10)dx$$; $$\frac{dy'}{12y'-10}=dx$$.
Проинтегрируем его:
$$\frac{1}{12}\int \frac{d(12y'-10)}{12y'-10}=\int dx$$;
$$\textrm{ln} \left |12y'-10 \right |=12x+C_1$$;
$$12y'=e^{12x+C_1}+10$$.
Так как $$y'=\frac{dy}{dx}$$, то запишем полученное уравнение в виде:
$$12dy=(e^{12x+C_1}+10)dx$$.
Проинтегрируем его:
$$12\int dy =\frac{1}{12}\int e^{12x+C_1}d(12x+C_1)+10\int dx$$;
$$12y=\frac{1}{12}e^{12x+C_1}+10x+C_2$$.
Данное уравнение можно решить с помощью подстановки $$y'=t$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$(x^2-1)y''=4xy'$$ имеет вид:
Имеем уравнение вида $$y''=f(x; y)$$, которое можно решить с помощью подстановки $$y'=t$$.
Пусть $$y'=t$$, тогда $$y''=\frac{dt}{dx}$$.
Уравнение примет вид:
$$\frac{(x^2-1)dt}{dx}=4xdt$$ или $$(x^2-1)dt=4x tdx$$.
Разделим переменные и проинтегрируем его:
$$\frac{dt}{t}=\frac{4xdx}{x^2-1}$$, $$\int \frac{dt}{t}=\int \frac{4xd(x^2-1)}{2x(x^2-1)}$$,
$$\textrm{ln}{t}=2\textrm{ln}{(x^2-1)}+\textrm{ln}{C_1}$$, откуда $$t=C_1(x^2-1)^2$$.
Учитывая подстановку $$y'=t$$, получим:
$$dy=C_1(x^2-1)^2dx$$,
$$\int dy=C_1\int (x^4-2x^2+1)dx$$,
$$y=C_1\left (\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+x\right )+C_2$$.
Уравнение примет вид:
$$\frac{(x^2-1)dt}{dx}=4xdt$$ или $$(x^2-1)dt=4x tdx$$.
Разделим переменные и проинтегрируем его:
$$\frac{dt}{t}=\frac{4xdx}{x^2-1}$$, $$\int \frac{dt}{t}=\int \frac{4xd(x^2-1)}{2x(x^2-1)}$$,
$$\textrm{ln}{t}=2\textrm{ln}{(x^2-1)}+\textrm{ln}{C_1}$$, откуда $$t=C_1(x^2-1)^2$$.
Учитывая подстановку $$y'=t$$, получим:
$$dy=C_1(x^2-1)^2dx$$,
$$\int dy=C_1\int (x^4-2x^2+1)dx$$,
$$y=C_1\left (\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+x\right )+C_2$$.
Свойства логарифмов:
$$\textrm{ln}{x^n}=n\cdot \textrm{ln}{x}$$;
$$\textrm{ln}{x^n}=n\cdot \textrm{ln}{x}$$;
$$\textrm{ln}x+\textrm{ln}C=\textrm{ln}Cx$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''-8y'+16y=0$$ имеет вид:
Если $$k_1 = k_2 \in R$$, то общее решение уравнения $$y''+py'+qy=0$$ имеет вид:
$$y=C_{1}e^{kx}+C_{2}xe^{kx}$$,
где $$k$$ двукратный корень характеристического уравнения $$k^{2}+pk+q=0$$.
Составим характеристическое уравнение:
$$k^2-8k+16=0$$, откуда $$k_1=k_2=4$$.
Запишем общее решение дифференциального уравнения:
$$y=C_1e^{4x}+C_2xe^{4e}$$.
Квадратное уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ в случае $$D=0$$ имеет двукратный действительный корень.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''-8y'+7y=0$$ имеет вид:
Однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
$$y''+py'+qy=0$$.
Чтобы решить это уравнение необходимо:
1) составить и решить характеристическое уравнение $$k^2+pk+q=0$$;
2) если $$k_1\ne k_2\in R$$, то общее решение уравнения записать в виде:
$$y=C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_2x}$$.
Имеем однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составим характеристическое уравнение:
$$k^2-8k+7=0$$, откуда $$k_1=1$$, $$k_2=7$$.
Запишем общее решение данного дифференциального уравнения:
$$y=C_1e^x+C_2e^{7x}$$.
Квадратное уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ в случае $$D>0$$ имеет два различных действительных корня .
Выберите один из вариантов