Загрузка

Высшая математика

Радиус сходимости ряда $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{(n-3)^n}$$ равен:
Применим формулу:

$$R=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{c_n}}.$$

Так как $$c_n=\frac{1}{(n-3)^n}$$, а $$\frac{1}{c_n}=(n-3)^n,$$ то

$$R=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{(n-3)^n}=\lim_{n\rightarrow \infty}(n-3)=\infty$$.

Выберите один из вариантов
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{2^n}{(n+3)!}$$ расходится, то найдите его первый член, а если сходится, то найдите второй член:
Применим признак Даламбера:

$$1) a^n=\frac{2^n}{(n+3)!}$$, $$a_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{(n+4)!};$$

$$2) \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n+1}}{(n+4)!}\cdot \frac{(n+3)!}{2^n}=\frac{2\cdot (n+3)!}{(n+3)!(n+4)}=\frac{2}{(n+4)};$$

$$3)\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=2\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n+4}=2\cdot 0=0.$$

Так как $$0<1$$ , то ряд сходится.

Тогда, $$a_2=\frac{4}{5!}=\frac{1}{30}.$$

Выберите несколько вариантов ответов
Решение уравнения $$x^2y'+2xy-1=0$$ имеет вид:
Имеем дифференциальное линейное уравнение первого порядка.

Полагая $$y=uv$$ , $$y'=u'v+uv'$$ , получим:

$$x^2(u'v+uv')+2xuv=1$$,

$$x^2u'v+x^2uv'+2xuv=1$$,

$$x^2u'v+ux(xv'+2v)=1$$.

Полагая $$xv'+2v=0$$ , получим: $$x^2u'v=1$$ .

Решим уравнение $$xv'+2v=0$$ :

$$\frac{xdv}{dx}=-2v$$; $$xdv=-2vdx$$; $$\frac{dv}{v}=\frac{-2dx}{x}$$;

$$\int \frac{dv}{v}=-2\int \frac{dx}{x}$$; $$\ln v=-2\ln x$$; $$v=x^{-2}$$.

Решим уравнение $$x^2u'v=1$$ :

$$x^2u'x^{-2}=1; \frac{du}{dx}=1; \int du=\int dx; u=x+C.$$

Запишем общее решение уравнения:

$$y=uv; y=(x+C)x^{-2}$$.

Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y''-2y'+2y=0$$ имеет вид:
Составим и решим характеристическое уравнение:

$$k^2-2k+2=0$$, откуда

$$D=-4$$, $$\sqrt D=2i$$, $$k_{1,2}=\frac{2\pm 2i}{2}=1\pm i$$.

Запишем общее решение:

$$ y=e^{ax}(C_1\cos bx+C_2\sin bx)$$,

$$y=e^{x}(C_1\cos x+C_2\sin x).$$

Выберите один из вариантов
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{5^{n+1}}$$ сходится, то найдите его первый член, а если расходится, то найдите второй член:
Применим признак Даламбера:

$$1) a_n=\frac{n^2}{5^{n+1}}, a_{n+1}=\frac{(n+1)^2}{5^{n+2}};$$

$$2) \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2}{5^{n+2}}\cdot \frac{5^{n+1}}{n^2}=\frac{1}{5}\left ( \frac{n+1}{n} \right )^2$$;

$$3) \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{5}\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^2$$

$$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{5}(1+0)^2=\frac{1}{5}$$.

Так как $$\frac{1}{5}< 1$$ , то ряд сходится.

Тогда, $$a_1=\frac{1^2}{5^{1+1}}=0,04 .$$

Выберите несколько вариантов ответов
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{4n^2-3}{5+2n^2-n} \right )^n$$ расходится, то найдите его первый член, а если сходится, то найдите второй член:
Применим радикальный признак Коши:

$$\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{\left ( \frac{4n^2-3}{5+2n^2-n} \right )^n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{4n^2-3}{5+2n^2-n}=2.$$

Так как $$2>1$$ , то ряд расходится.

Тогда, $$a_1=\frac{1}{6}.$$

Выберите несколько вариантов ответов
Решение уравнения $$xydy+(x^2-y^2)dx=0$$ имеет вид:

Имеем однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Полагая $$y=ux$$ , $$dy=udx+xdu$$ , получим:

$$xux(udx+xdu)+(x^2-u^2x^2)dx=0$$,

$$x^2u(udx+xdu)+x^2(1-u^2)dx=0$$,

$$u(udx+xdu)+(1-u^2)dx=0$$,

$$u^2dx+uxdu+dx-u^2dx=0$$,

$$uxdu=-dx$$.

Разделим переменные и проинтегрируем полученное равенство:

$$\int udu=-\int \frac{dx}{x}$$,

$$\frac{u^2}{2}=-\ln \left | x \right |+C.$$

Учитывая, что $$u=\frac{y}{x}$$, получим:

$$\frac{y^2}{2x^2}=-\ln \left | x \right |+C$$.

Выберите один из вариантов
Частное решение дифференциального уравнения $$(x^2+1)dy-x(y+3)dx=0$$, удовлетворяющее начальным условиям $$y(0)=1$$ , имеет вид:
Запишем уравнение в виде:

$$(x^2+1)dy=x(y+3)dx$$.

Разделим переменные:

$$\frac{dy}{y+3}=\frac{xdx}{x^2+1}.$$

Проинтегрируем полученное равенство:

$$\int \frac{dy}{y+3}=\int \frac{xdx}{x^2+1},$$

$$\int \frac{d(y+3)}{y+3}=\int \frac{xd(x^2+1)}{(x^2+1)2x},$$

$$\ln \left | y+3 \right |=\frac{1}{2}\ln \left | x^2+1 \right |+\ln C,$$

$$y=C\sqrt{x^2+1}-3.$$

Учитывая, что $$y(0)=1$$ , найдем $$C$$:

$$1=C-3; C=4.$$

Найдем частное решение:

$$y=4\sqrt{x^2+1}-3.$$

Выберите один из вариантов
Частное решение дифференциального уравнения $$\frac{y'}{y^2}=x^2$$ , удовлетворяющее начальным условиям $$y(3)=1$$ , имеет вид:
Запишем уравнение в виде:

$$\frac{dy}{dx\cdot y^2}=x^2;\frac{dy}{y^2}=x^2dx.$$

Проинтегрируем полученное равенство:

$$\int \frac{dy}{y^2}=\int x^2dx,$$

$$-\frac{1}{y}=\frac{x^3}{3}+C.$$

Учитывая, что $$y(3)=1$$ , найдем $$C$$:

$$-\frac{1}{1}=\frac{3^3}{3}+C; C=-10.$$

Найдем частное решение:

$$-\frac{1}{y}=\frac{x^3}{3}-10.$$

Выберите один из вариантов
Интервал сходимости ряда $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(x-2)^n}{n\cdot 4^n}$$ имеет вид:
Так как имеем ряд вида $$\sum_{n=1}^{\infty }c_n(x-a)^n$$ , то $$c_n=\frac{1}{n\cdot 4^n}$$ , $$a=2$$ .

1. Найдем радиус сходимости ряда:

$$R=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{c_n}{c_{n+1}} \right |$$,

$$R=\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{(n+1)\cdot 4^{n+1}}{n\cdot 4^n} $$,

$$R=4\lim_{n\rightarrow \infty } \left ( 1+\frac{1}{n} \right )= 4(1+0)$$ .

2. Найдем интервал сходимости ряда:

$$(a-R; a+R),(2-4;2+4),(-2;6).$$

Выберите один из вариантов